Наблюдаемое движение звёзд в галактиках указывает на присутствие дополнительного гравитационного вклада, который нельзя получить только из видимого вещества. Обычно этот вклад объясняют невидимым веществом — тёмной материей. В настоящей работе рассматривается другая, пока гипотетическая возможность: дополнительную гравитацию создаёт не совокупность новых частиц, а когерентная скалярная мода внутренней волновой геометрии.

Такая постановка близка к моделям скалярной и волновой тёмной материи, но здесь возможное поле связывается с идемпотентной структурой оператора \(J\). Важно сразу отделить эту моду от электромагнитного скалярного потенциала. Далее для неё используется обозначение \(\chi\), а для обычного гравитационного потенциала — \(\Phi_g\).

Предлагаемая конструкция пока не является законченной теорией тёмной материи. Её задача скромнее: показать, какой геометрический канал мог бы создавать наблюдаемый гравитационный профиль и почему постоянная тонкой структуры неожиданно задаёт характерный масштаб галактических скоростей.

В основе алгебраической модели лежат два взаимно ортогональных идемпотента: \[ \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0, \qquad \ep+\em=1. \tag{1} \] Они задают две независимые внутренние комплексные плоскости. Однако эти плоскости не следует буквально отождествлять с одной временной и одной пространственной координатой. Они описывают внутреннюю фазовую структуру волны, тогда как наблюдаемые время и трёхмерное направление возникают после её проекции во внешнее пространство.

Общее внутреннее состояние можно представить как \[ \Psi=\ep\psi_+ + \em\psi_-. \tag{2} \] Разность фаз и ориентация этих компонент могут проявляться во внешней проекции как зарядовые, магнитные и поляризационные свойства. Но алгебра допускает также величины, одинаково относящиеся к обеим плоскостям и потому не задающие выделенного внешнего направления. Макроскопическую когерентную моду такого типа обозначим через \(\chi\).

Здесь \(\chi\) — не временная компонента электромагнитного 4-потенциала и не новое обозначение электрического потенциала. Это самостоятельная эффективная скалярная характеристика внутреннего состояния. Её точное выражение через \(\psi_+\) и \(\psi_-\) должно быть получено на следующем этапе развития модели.

Электромагнитная волна имеет поперечную внешнюю проекцию: изменения электрического и магнитного каналов распространяются в пространстве и непосредственно взаимодействуют с зарядом. Скалярная мода не обязана иметь такую поперечную проекцию. Поэтому она может не излучать и не поглощать обычные фотоны непосредственно.

При этом отсутствие прямой электромагнитной видимости не означает отсутствия энергии. Если поле \(\chi\) обладает градиентом, временной динамикой или внутренней энергией, оно может вносить вклад в общий тензор энергии-импульса и тем самым изменять геометрию пространства-времени. Свет в таком случае взаимодействует с ним гравитационно — через искривление траектории, то есть через гравитационное линзирование.

На уровне эффективного описания скалярной моде можно сопоставить действие \[ S_\chi=\int d^4x\,\sqrt{-g} \left[ -\frac12 g^{\mu\nu} \partial_\mu\chi\,\partial_\nu\chi -V(\chi) \right]. \tag{3} \] Эта запись не выводит поле из оператора \(J\), а лишь показывает минимальную форму его макроскопической динамики. Функция \(V(\chi)\), нормировка поля и возможная масса здесь пока не задаются.

Сначала отделим наблюдаемый результат от его возможной микроскопической причины. Пусть \(\Phi_g(r)\) — полный гравитационный потенциал в сферически-симметричном приближении. Для кругового движения выполняется \[ \frac{v_c^2(r)}{r}=\frac{d\Phi_g}{dr}. \tag{4} \] Если на некотором диапазоне расстояний скорость практически не зависит от радиуса, \[ v_c(r)\simeq v_{\rm flat}, \tag{5} \] то интегрирование (4) даёт логарифмический потенциал: \[ \boxed{ \Phi_g(r)=v_{\rm flat}^2 \ln\left(\frac{r}{r_s}\right)+\operatorname{const} }. \tag{6} \] Здесь \(r_s\) задаёт начало отсчёта потенциала. Формула (6) не является специальным свойством поля \(\chi\): она представляет собой прямое следствие плоской кривой вращения.

В ньютоновском пределе эффективная плотность источника определяется уравнением Пуассона: \[ \nabla^2\Phi_g=4\pi G\rho_{\rm eff}. \tag{7} \] Подстановка (6) даёт \[ \boxed{ \rho_{\rm eff}(r)= \frac{v_{\rm flat}^2}{4\pi G r^2} }. \tag{8} \] Соответствующая масса внутри радиуса \(r\) равна \[ M_{\rm eff}(r)= \frac{v_{\rm flat}^2}{G}r. \tag{9} \]

Линейный рост (9) показывает границы применимости логарифмического решения. Оно может описывать галактическое гало только в конечном диапазоне радиусов. На больших расстояниях когерентность поля должна нарушаться, профиль должен изменяться или одно гало должно переходить в общее поле группы галактик. Иначе полная масса оказалась бы неограниченной.

Если дополнительный гравитационный вклад создаётся полем \(\chi\), то его стационарное распределение должно приводить к эффективной плотности (8). Однако нельзя просто положить \[ \rho_\chi\propto(\nabla\Phi_g)^2, \] поскольку \(\Phi_g\) является уже результирующим гравитационным потенциалом, а не самим полем \(\chi\). Кроме того, квадрат гравитационного градиента имеет размерность плотности энергии лишь после введения соответствующей нормировки.

Правильная последовательность должна быть следующей:

1. из внутренней геометрии выводится поле \(\chi\) и его энергия;
2. по энергии поля находится его гравитационный вклад;
3. решается совместная задача для барионного вещества и \(\chi\);
4. из полученного \(\Phi_g(r)\) вычисляется кривая вращения.

В настоящей работе выполнен обратный, феноменологический шаг: по наблюдаемой плоской кривой установлено, какой профиль должно воспроизвести будущее уравнение поля.

Постоянная тонкой структуры уже появляется в модели как коэффициент проекции внутренней частоты на наблюдаемую энергию и массу. Поэтому естественно проверить, может ли она участвовать и в макроскопической проекции скалярной моды.

Комбинация \[ \Phi_*=\afs^3c^2 \tag{10} \] имеет размерность гравитационного потенциала. Ей соответствует скорость \[ \boxed{ v_*=\sqrt{\Phi_*} =\afs^{3/2}c \approx187\;\text{км/с} }. \tag{11} \] При вычислении важно различать \[ \afs^{3/2}\approx6.24\times10^{-4}, \qquad \afs^3\approx3.89\times10^{-7}. \tag{12} \]

Значение (11) действительно попадает в характерный диапазон скоростей крупных спиральных галактик. Но его нельзя считать универсальной скоростью: наблюдаемые галактики имеют разные массы, размеры и скорости вращения. Поэтому на данном этапе допустима только параметризация \[ v_{\rm flat}^2=\eta_g\,\afs^3c^2, \tag{13} \] где безразмерная величина \(\eta_g\) должна определяться распределением барионной материи, граничными условиями и состоянием скалярной моды.

Формула (10) пока является гипотезой о характерном масштабе, а не завершённым выводом. Сам факт появления нужного порядка величины заслуживает внимания, но геометрическая причина степени \(\afs^3\) ещё должна быть найдена. Ссылка только на порядок поправок квантовой электродинамики такого вывода не заменяет.

Одной постоянной скорости недостаточно для описания реальных галактик. Наблюдения показывают тесную связь между распределением обычного вещества и полным центростремительным ускорением. Кроме того, барионная масса галактики связана с асимптотической скоростью приближённым законом \[ M_b\propto v_{\rm flat}^4. \tag{14} \]

Следовательно, поле \(\chi\) не может образовывать совершенно одинаковый фон вокруг всех галактик. Оно должно либо возбуждаться барионной материей, либо изменять своё стационарное распределение под действием создаваемой ею геометрии. Именно механизм появления зависимости (14) является главным следующим шагом модели.

В терминах волнового электричества можно предположить, что множество замкнутых волн обычного вещества создаёт не только локальные электрические и гравитационные градиенты, но и общий медленно меняющийся скалярный компонент внутренней фазы. При достаточной когерентности этот компонент способен продолжаться далеко за пределы видимого диска. Пока это качественная интерпретация; для неё необходимо вывести уравнение суперпозиции и условие когерентности.

Скалярную моду \(\chi\) принципиально важно не отождествлять с электромагнитным скалярным потенциалом \(\varphi_{\rm em}\). Электромагнитный потенциал зависит от выбора калибровки, тогда как физическая плотность тёмной материи должна быть наблюдаемой через её гравитационное действие и не зависеть от такого выбора.

Поэтому в предлагаемой картине существуют три разных уровня:

• \(\varphi_{\rm em}\) и \(\mathbf A\) описывают электромагнитное поле;
• \(\chi\) описывает предполагаемую внутреннюю скалярную моду;
• \(\Phi_g\) является результирующим гравитационным потенциалом, создаваемым барионной материей и энергией \(\chi\).

Их разделение устраняет неоднозначность и позволяет независимо проверять каждый уровень модели.

Плоская кривая вращения является необходимой, но далеко не единственной проверкой. Чтобы геометрическая скалярная мода могла претендовать на роль тёмной материи, модель должна объяснить:

1. различные кривые вращения галактик и их связь с барионной массой;
2. гравитационное линзирование тем же распределением, которое управляет движением звёзд;
3. поведение скалярной компоненты при столкновениях скоплений галактик;
4. рост космологических неоднородностей и образование крупномасштабной структуры;
5. переход от галактического профиля к межгалактическому фону;
6. отсутствие недопустимых эффектов в Солнечной системе.

Особенно существенны столкновения скоплений, в которых распределение линзирующей массы может быть отделено от основной массы горячего газа. Если \(\chi\) является самостоятельным полем с собственной динамикой, оно в принципе может сохранять такое отделённое распределение. Если же оно определяется только мгновенной плотностью барионов, объяснить подобные наблюдения будет значительно сложнее.

Из характерной галактической скорости нельзя непосредственно вывести параметр Хаббла, разделив её на некоторый «типичный» радиус галактики. Радиусы галактик различаются, а параметр Хаббла характеризует глобальное расширение пространства. Для его получения необходимо знать космологическую плотность поля \(\chi\), его давление и эволюцию в расширяющейся метрике.

По этой причине настоящая работа не объединяет тёмную материю и тёмную энергию и не предлагает формулу для \(H_0\). Такая связь может обсуждаться только после вывода потенциала \(V(\chi)\) и решения космологических уравнений. Галактический результат (6)–(13) от этого не зависит.

В рамках идемпотентной волновой геометрии можно предположить существование когерентной скалярной моды \(\chi\), которая не имеет обычной поперечной электромагнитной проекции, но обладает энергией и поэтому создаёт гравитационное действие.

Из плоской кривой вращения однозначно следует логарифмический потенциал \[ \Phi_g(r)=v_{\rm flat}^2 \ln\left(\frac r{r_s}\right), \] а соответствующая эффективная плотность имеет профиль \[ \rho_{\rm eff}(r)= \frac{v_{\rm flat}^2}{4\pi G r^2}. \] Именно этот профиль должно воспроизвести будущее уравнение скалярной моды.

Постоянная тонкой структуры задаёт примечательный характерный масштаб \[ v_*=\afs^{3/2}c\approx187\;\text{км/с}, \] но пока не определяет индивидуальную скорость каждой галактики. Для завершения модели необходимо вывести коэффициент \(\eta_g\), зависимость от барионной массы, динамику поля \(\chi\) и его поведение при гравитационном линзировании и столкновениях скоплений.

Таким образом, тёмная материя здесь рассматривается не как уже доказанное следствие алгебры и не как электромагнитный скалярный потенциал, а как проверяемая гипотеза: часть внутренней волновой геометрии может сохраняться в непоперечном когерентном канале и проявляться во внешнем пространстве преимущественно через гравитацию.