2026-07-17
Геометрическое происхождение обобщённого закона Ридберга в И-базисе
Введение
В настоящей работе в новом комплексно расширенном идемпотентном базисе (И-базисе) выводится обобщённый закон Ридберга [1], связывающий частоту спектрального перехода с геометрией внутренних состояний частицы.
Дискретные энергетические уровни при этом не вводятся как независимый квантовый постулат: они возникают из условия замыкания внутреннего периодического движения, которое приводит к появлению целочисленного параметра
\(
n
\).
На этой основе последовательно устанавливается зависимость энергии частицы от геометрического угла внутреннего движения, определяется энергия перехода между двумя состояниями и получается обобщённая формула спектральных частот.
Классический закон Ридберга рассматривается далее как частный случай этой более общей геометрической зависимости.
Основой модели служит внутренний вектор частицы, построенный в базисе
\(\{\ep,i\ep,\em,i\em\}\).
Его вращательная компонента определяет внутреннее состояние, а общий геометрический угол движения задаёт наблюдаемую скорость и полную энергию частицы. Переход между двумя допустимыми состояниями сопровождается выделением разности энергий в виде волны с частотой \(f\).
Исходные свойства и-базиса, связь внутреннего вращения с сохранением нормы и геометрическое происхождение массы рассмотрены в предыдущих работах:
1. Алгебраическая основа и-базиса
Рассмотрим два взаимно дополнительных идемпотента \(\ep\) и \(\em\), удовлетворяющих соотношениям
\[
\tag{1}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Комплексное расширение каждого идемпотентного направления образует четырёхмерный действительный базис
\[
\tag{2}
\left\{
\ep,
\;i\ep,
\;\em,
\;i\em
\right\}.
\]
Внутреннее состояние частицы зададим безразмерным вектором
\[
\tag{3}
J(t)
=
\ep
+
\em e^{-i\omega t}.
\]
Первая компонента остаётся постоянной, а вторая вращается в комплексной плоскости \(\{\em,i\em\}\). Разложение экспоненты даёт
\[
\tag{4}
J(t)
=
\ep
+
\em\cos\omega t
-
i\em\sin\omega t.
\]
2. Масса как характеристика внутреннего вращения
Производная внутреннего вектора равна
\[
\tag{5}
\frac{dJ}{dt}
=
-i\omega\em e^{-i\omega t}.
\]
Её норма постоянна:
\[
\tag{6}
\left\|
\frac{dJ}{dt}
\right\|
=
\omega.
\]
Масса частицы определяется скоростью изменения внутреннего состояния:
\[
\tag{7}
m
=
\frac{\hbar}{c^2}
\left\|
\frac{dJ}{dt}
\right\|.
\]
Подстановка выражения (6) приводит к соотношению
\[
\tag{8}
mc^2
=
\hbar\omega.
\]
Таким образом, масса связана не с абсолютным значением внутренней фазы, а с постоянной угловой скоростью её изменения.
3. Полный вектор движения
Полный вектор скорости частицы представим в виде
\[
\tag{9}
V(t)
=
c e^{i\theta}J(t),
\]
где \(\theta\) — геометрический угол, определяющий распределение движения между внутренней и наблюдаемой составляющими. Норма полного вектора сохраняется:
\[
\tag{10}
\left|V(t)\right|
=
c.
\]
Наблюдаемая скорость является проекцией полного движения:
\[
\tag{11}
v
=
c\sin\theta.
\]
Отсюда
\[
\tag{12}
\beta
=
\frac{v}{c}
=
\sin\theta.
\]
Геометрический аналог фактора Лоренца имеет вид
\[
\tag{13}
\gamma
=
\frac{1}{\cos\theta}
=
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
\]
Полная энергия частицы тогда определяется выражением
\[
\tag{14}
E(\theta)
=
\gamma mc^2
=
\frac{mc^2}{\cos\theta}.
\]
4. Энергия перехода между состояниями
Каждому допустимому состоянию частицы соответствует определённая геометрия её внутреннего движения.
В предыдущем разделе было показано, что полная энергия такого состояния определяется углом
\(
\theta
\)
и задаётся формулой (14).
Следовательно, переход между двумя устойчивыми состояниями сопровождается изменением полной энергии частицы.
Пусть частица переходит из состояния
\(
1
\)
в состояние
\(
2
\).
Если энергия первого состояния больше энергии второго, то возникающая разность энергий должна быть передана окружающему пространству.
Предполагая, что эта энергия распространяется в виде электромагнитной волны, получаем
\[
\tag{15}
hf
=
E_1-E_2.
\]
Теперь подставим в это выражение формулу (14) для каждого из состояний.
Тогда энергия перехода приобретает вид
\[
\tag{16}
hf
=
mc^2
\left(
\frac{1}{\cos\theta_1}
-
\frac{1}{\cos\theta_2}
\right).
\]
Полученная формула показывает, что частота испускаемой или поглощаемой волны определяется исключительно изменением внутреннего состояния частицы.
Таким образом, волна возникает не как самостоятельный физический объект, а как следствие перехода между двумя геометрически различными конфигурациями внутреннего движения.
До этого момента рассматривалась только геометрия частицы.
Формула (16) впервые связывает эту геометрию с распространяющейся волной.
Следовательно, волновой процесс появляется как прямое следствие изменения внутреннего состояния частицы.
Однако выражение (16) ещё не объясняет происхождение линейчатого спектра.
Если углы
\(
\theta_1
\)
и
\(
\theta_2
\)
могли бы принимать произвольные значения, частота также изменялась бы непрерывно.
Поэтому следующим шагом необходимо показать, что внутреннее движение допускает только дискретный набор устойчивых состояний.
Именно это условие приводит к появлению целочисленного параметра
\(
n
\)
и позволяет вывести обобщённую формулу Ридберга.
5. Замкнутые внутренние состояния
Введём фазовый параметр \(\varphi\) и рассмотрим семейство внутренних состояний
\[
\tag{17}
J_n(\varphi)
=
\ep
+
\em e^{-in\varphi}.
\]
После полного оборота \(\varphi=2\pi\) внутренний вектор должен вернуться в исходное состояние:
\[
\tag{18}
J_n(2\pi)
=
J_n(0).
\]
Для вращательной компоненты это означает
\[
\tag{19}
e^{-i2\pi n}
=
1.
\]
Условие выполняется для целых положительных значений
\[
\tag{20}
n
=
1,2,3,\ldots
\]
Таким образом, натуральное число \(n\) возникает как число внутренних оборотов фазы при одном полном цикле параметра \(\varphi\). Дискретность состояния является следствием топологического условия замыкания.
6. Сохранение массы в дискретных состояниях
Производная вектора \(J_n\) по времени равна
\[
\tag{21}
\frac{dJ_n}{dt}
=
-in\dot{\varphi}_n
\em e^{-in\varphi_n}.
\]
Её норма определяется произведением числа оборотов на угловую скорость фазового параметра:
\[
\tag{22}
\left\|
\frac{dJ_n}{dt}
\right\|
=
n\left|\dot{\varphi}_n\right|.
\]
Поскольку масса одной и той же частицы не должна зависеть от номера состояния, величина (22) должна оставаться постоянной:
\[
\tag{23}
n\left|\dot{\varphi}_n\right|
=
\Omega
=
\text{const}.
\]
Отсюда
\[
\tag{24}
\left|\dot{\varphi}_n\right|
=
\frac{\Omega}{n}.
\]
Следовательно, при увеличении числа внутренних оборотов скорость изменения общего фазового параметра уменьшается обратно пропорционально \(n\).
7. Скорость и угол дискретного состояния
Предположим, что наблюдаемая скорость частицы пропорциональна скорости изменения фазового параметра:
\[
\tag{25}
v_n
\propto
\left|\dot{\varphi}_n\right|.
\]
Тогда из выражения (24) следует
\[
\tag{26}
v_n
=
\frac{v_1}{n}.
\]
Для основного состояния примем характерную скорость
\[
\tag{27}
v_1
=
\alpha_{\mathrm{fs}}c,
\]
где \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) — постоянная тонкой структуры, полученная нами ранее из Лоренц-фактора.
Поэтому
\[
\tag{28}
v_n
=
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}c}{n}.
\]
С учётом геометрической связи \(v_n=c\sin\theta_n\) получаем
\[
\tag{29}
\sin\theta_n
=
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n}.
\]
Допустимые углы движения, следовательно, определяются дискретным рядом
\[
\tag{30}
\theta_n
=
\arcsin
\left(
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n}
\right).
\]
8. Точная энергия дискретного состояния
Из выражения (29) следует
\[
\tag{31}
\cos\theta_n
=
\sqrt{
1-
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{n^2}
}.
\]
Фактор Лоренца для состояния \(n\) равен
\[
\tag{32}
\gamma_n
=
\frac{1}{\cos\theta_n}
=
\frac{1}{
\sqrt{
1-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2/n^2
}
}.
\]
После умножения числителя и знаменателя на \(n\) получаем эквивалентную форму
\[
\tag{33}
\gamma_n
=
\frac{n}{
\sqrt{
n^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}.
\]
Полная энергия состояния равна
\[
\tag{34}
E_n
=
mc^2\gamma_n
=
mc^2
\frac{n}{
\sqrt{
n^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}.
\]
При \(n\to\infty\) угол \(\theta_n\to0\), фактор \(\gamma_n\to1\), а энергия \(E_n\to mc^2\). Поэтому \(mc^2\) является предельной энергией свободного состояния в данной геометрической схеме.
9. Обобщённый закон Ридберга
Подставляя дискретные энергии (34) в закон перехода (16), получаем точную спектральную формулу
\[
\tag{35}
hf
=
mc^2
\left(
\frac{n_1}{
\sqrt{
n_1^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}
-
\frac{n_2}{
\sqrt{
n_2^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}
\right).
\]
Для излучения положительной энергии предполагается, что начальное состояние имеет большую энергию. При принятой нумерации это соответствует условию \(n_1 < n_2\).
Так как \(f=c/\lambda\), формулу (35) можно записать в виде
\[
\tag{36}
\frac{1}{\lambda}
=
\frac{mc}{h}
\left(
\frac{n_1}{
\sqrt{
n_1^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}
-
\frac{n_2}{
\sqrt{
n_2^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}
\right).
\]
Выражение (36) можно рассматривать как обобщённый закон Ридберга, содержащий точную геометрическую зависимость от постоянной тонкой структуры.
10. Переход к классическому закону Ридберга
Поскольку \(\alpha_{\mathrm{fs}}\ll1\), разложим множитель \(\gamma_n\) в ряд:
\[
\tag{37}
\gamma_n
=
\left(
1-
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{n^2}
\right)^{-1/2}.
\]
Используя биномиальное разложение, получаем
\[
\tag{38}
\gamma_n
=
1
+
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2n^2}
+
\frac{3\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{8n^4}
+
\frac{5\alpha_{\mathrm{fs}}^6}{16n^6}
+
\cdots.
\]
В первом приближении
\[
\tag{39}
E_n
\approx
mc^2
+
\frac{mc^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2n^2}.
\]
Постоянная часть \(mc^2\) сокращается при вычислении разности энергий. Поэтому
\[
\tag{40}
hf
\approx
\frac{mc^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2}
\left(
\frac{1}{n_1^2}
-
\frac{1}{n_2^2}
\right).
\]
Переходя от частоты к длине волны, получаем
\[
\tag{41}
\frac{1}{\lambda}
=
R
\left(
\frac{1}{n_1^2}
-
\frac{1}{n_2^2}
\right),
\]
где
\[
\tag{42}
R
=
\frac{mc\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2h}.
\]
Формулы (41) и (42) совпадают по структуре с классическим законом Ридберга и его постоянной в приближении бесконечно тяжёлого ядра.
11. Учёт движения ядра
Для реального атома электрон и ядро движутся относительно общего центра масс. Поэтому вместо массы электрона необходимо использовать приведённую массу
\[
\tag{43}
\mu
=
\frac{m_eM}{m_e+M},
\]
где \(M\) — масса ядра. Тогда точная геометрическая формула принимает вид
\[
\tag{44}
hf
=
\mu c^2
\left(
\frac{n_1}{
\sqrt{
n_1^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}
-
\frac{n_2}{
\sqrt{
n_2^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}
\right),
\]
а постоянная Ридберга для данного ядра равна
\[
\tag{45}
R_M
=
\frac{\mu c\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2h}.
\]
При \(M\to\infty\) приведённая масса стремится к массе электрона, и выражение (45) переходит в формулу (42).
12. Высшие геометрические поправки
Точная формула (35) содержит не только главный член порядка \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\), но и бесконечную последовательность более высоких поправок. С учётом следующего члена разложения имеем
\[
\tag{46}
hf
\approx
\frac{mc^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2}
\left(
\frac{1}{n_1^2}
-
\frac{1}{n_2^2}
\right)
+
\frac{3mc^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{8}
\left(
\frac{1}{n_1^4}
-
\frac{1}{n_2^4}
\right)
+
\cdots.
\]
Первое слагаемое воспроизводит обычный закон Ридберга. Последующие члены являются собственными геометрическими поправками модели и возникают непосредственно из точного выражения для \(\gamma_n\).
Относительный масштаб первой поправки определяется величиной порядка \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\), поэтому она значительно меньше основного спектрального члена.
13. Геометрический смысл квантового числа
В рассматриваемой модели число \(n\) имеет сразу несколько взаимосвязанных интерпретаций. Оно определяет число оборотов внутренней фазы, уменьшает скорость фазового параметра, задаёт наблюдаемую скорость частицы и фиксирует геометрический угол состояния.
\[
\tag{47}
n
\longrightarrow
\left|\dot{\varphi}_n\right|
=
\frac{\Omega}{n}
\longrightarrow
v_n
=
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}c}{n}
\longrightarrow
\sin\theta_n
=
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n}.
\]
Дискретность энергии, следовательно, является не отдельным требованием, а результатом совместного действия трёх условий: замыкания внутренней траектории, сохранения массы и геометрической связи между скоростью и углом движения.
14. Граничные состояния
При \(n=1\) скорость и угол максимальны:
\[
\tag{48}
v_1
=
\alpha_{\mathrm{fs}}c,
\qquad
\theta_1
=
\arcsin\alpha_{\mathrm{fs}}.
\]
При увеличении \(n\) скорость уменьшается, угол стремится к нулю, а энергия приближается к \(mc^2\):
\[
\tag{49}
\lim_{n\to\infty}v_n
=
0,
\qquad
\lim_{n\to\infty}\theta_n
=
0,
\qquad
\lim_{n\to\infty}E_n
=
mc^2.
\]
Такое предельное состояние можно интерпретировать как отделение частицы от связанной дискретной структуры, когда геометрическая добавка к энергии исчезает.
15. Итоговая система соотношений
Основные результаты модели можно представить в компактной форме:
\[
\tag{50}
J_n(\varphi)
=
\ep
+
\em e^{-in\varphi},
\qquad
n
=
1,2,3,\ldots
\]
\[
\tag{51}
n\left|\dot{\varphi}_n\right|
=
\Omega,
\qquad
v_n
=
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}c}{n}.
\]
\[
\tag{52}
\sin\theta_n
=
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n},
\qquad
\gamma_n
=
\frac{n}{
\sqrt{
n^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}.
\]
\[
\tag{53}
E_n
=
mc^2
\frac{n}{
\sqrt{
n^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}.
\]
\[
\tag{54}
hf
=
mc^2
\left(
\frac{n_1}{
\sqrt{
n_1^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}
-
\frac{n_2}{
\sqrt{
n_2^2-
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
}
\right).
\]
\[
\tag{55}
\frac{1}{\lambda}
\approx
R
\left(
\frac{1}{n_1^2}
-
\frac{1}{n_2^2}
\right).
\]
Выводы
В работе предложено геометрическое построение дискретных состояний частицы в и-базисе. Натуральное квантовое число возникает из условия замыкания внутренней фазы, а обратная зависимость скорости от \(n\) следует из сохранения нормы производной внутреннего вектора и, следовательно, массы частицы.
Связь наблюдаемой скорости с геометрическим углом приводит к соотношению \(\sin\theta_n=\alpha_{\mathrm{fs}}/n\). На его основе получен точный фактор \(\gamma_n\) и дискретный энергетический ряд, не требующий предварительного введения классической формулы уровней атома водорода.
Разность точных энергий двух состояний образует обобщённый закон Ридберга.
В первом приближении по постоянной тонкой структуры он переходит в обычную спектральную формулу с постоянной Ридберга \(R=mc\alpha_{\mathrm{fs}}^2/(2h)\).
Замена массы электрона на приведённую массу естественно учитывает движение ядра.
Точная формула содержит также члены более высоких порядков по \(\alpha_{\mathrm{fs}}\). В рамках модели они интерпретируются как геометрические поправки, возникающие из полного, а не приближённого выражения для энергии состояния.
Таким образом, закон Ридберга связывается с тремя основными геометрическими принципами: замкнутостью внутреннего движения, сохранением массы и проекционным характером наблюдаемой скорости. И-базис позволяет объединить эти принципы в единую систему и получить спектральную зависимость как следствие внутренней геометрии частицы.
Используемые материалы
- Википедия. Формула Ридберга.