2026-07-17
Геометрическое происхождение закона Ридберга
Почему энергии атома водорода подчиняются закону 1/n2? В стандартной квантовой механике эта зависимость следует из решения уравнения Шрёдингера для кулоновского поля. В настоящей работе предлагается геометрический путь: уровень n образуется внутренним расщеплением фазового пространства на n2 эквивалентных компонент, нормировка их общего фазового масштаба уменьшает угол отдельной компоненты как 1/n, а энергия в первом приближении оказывается квадратичной по этому углу.
Далее квадратичное приближение продолжается до полной ортогональной проекции. В результате обычный закон Ридберга возникает как первый член более общей косинусной зависимости. Построение относится к внутреннему состоянию неподвижной связанной системы; внешнее движение атома здесь не рассматривается.
\[\tag{1}
\boxed{
N_n=n^2
\quad\longrightarrow\quad
\theta_n=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n}
\quad\longrightarrow\quad
B_n=\mu c^2\bigl(\sec\theta_n-1\bigr)
}.
\]
Алгебраическое расщепление даёт число компонент n2. Переход от этого числа к фазовому углу требует сохранения общей квадратичной фазовой нормы, а переход от угла к полной энергии — правила ортогональной проекции. Эти два правила являются физическими постулатами предлагаемой модели.
1. Геометрическое расщепление уровня
Геометрическое построение атомных состояний подробно рассмотрено в статье «Атомные орбитали как проекции расщеплённого фазового пространства». Здесь используем только необходимый для энергетического вывода результат.
Уровню с главным квантовым числом n соответствует n−1 бинарных расщеплений в каждом из двух независимых внутренних направлений. После перестановочной симметризации размерности этих направлений равны
\[\tag{2}
\dim\mathcal A_n=n,
\qquad
\dim\mathcal B_n=n.
\]
Их совместное пространство содержит
\[\tag{3}
\boxed{
N_n
=\dim(\mathcal A_n*\mathcal B_n)
=n\cdot n=n^2
}.
\]
Эти компоненты группируются в угловые подпространства размерностей 1, 3, 5 и далее:
\[\tag{4}
\boxed{
N_n=n^2
=\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)
=1+3+5+\ldots +(2n-1)
}.
\]
После пространственной проекции им соответствуют состояния с
\[\tag{5}
l=0,1,\ldots,n-1,
\qquad
m=-l,-l+1,\ldots,l.
\]
Таким образом, число n2 является размерностью внутреннего пространства пространственных орбиталей уровня. Ориентации спина в число \(N_n\) не включаются.
2. Нормировка фазового угла
Пусть полному внутреннему фазовому масштабу первого уровня соответствует безразмерный угол
\[\tag{6}
\theta_1=\alpha_{\mathrm{fs}}.
\]
При расщеплении уровня этот масштаб не исчезает, а распределяется между \(N_n\) взаимно ортогональными компонентами. Поэтому примем сохранение общей квадратичной фазовой нормы:
\[\tag{7}
\boxed{
\sum_{q=1}^{N_n}\theta_{n,q}^{,2}
=\theta_1^2
=\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}.
\]
До учёта дополнительных взаимодействий компоненты одного уровня геометрически эквивалентны. Следовательно,
\[\tag{8}
\theta_{n,1}=\theta_{n,2}=\ldots=\theta_{n,N_n}=\theta_n.
\]
Тогда условие нормировки принимает вид
\[\tag{9}
N_n\theta_n^2=\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
С учётом \(N_n=n^2\) получаем основной геометрический результат:
\[\tag{10}
\boxed{
\theta_n
=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{\sqrt{N_n}}
=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n}
}.
\]
Квадрат в законе Ридберга возникает здесь в два связанных этапа: число ортогональных компонент растёт как n2, а нормированный фазовый угол отдельной компоненты уменьшается как 1/n.
Условие (7) означает сохранение нормы внутреннего фазового состояния, а не деление физической энергии одного электрона между n2 различными орбиталями. Компоненты образуют пространство возможных проекций одного уровня.
3. Закон 1/n² в первом приближении
Для малого фазового угла изменение энергии ортогональной проекции начинается с квадратичного члена. Поэтому в первом приближении модуль энергии связи запишем как
\[\tag{11}
B_n^{(2)}=\frac12\mu c^2\theta_n^2,
\]
где \(\mu\) — приведённая масса электрона и ядра:
\[\tag{12}
\mu=\frac{m_eM}{m_e+M}.
\]
Подстановка геометрического угла (10) даёт
\[\tag{13}
\boxed{
B_n^{(2)}
=\frac{\mu c^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2n^2}
}.
\]
Определим энергетический масштаб первого уровня:
\[\tag{14}
E_{\mathrm R}=\frac12\mu c^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Тогда
\[\tag{15}
\boxed{
B_n^{(2)}
=\frac{E_{\mathrm R}}{n^2}
=\frac{E_{\mathrm R}}{N_n}
}.
\]
Энергетический уровень относительно границы ионизации имеет отрицательный знак:
\[\tag{16}
\boxed{
\mathcal E_n^{(2)}=-B_n^{(2)}
=-\frac{\mu c^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2n^2}
}.
\]
Таким образом, известная зависимость 1/n2 получается непосредственно из геометрии расщепления:
\[\tag{17}
\boxed{
n-1\text{ расщеплений}
\longrightarrow N_n=n^2
\longrightarrow \theta_n^2=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{N_n}
\longrightarrow B_n^{(2)}=\frac{E_{\mathrm R}}{n^2}
}.
\]
4. Полная ортогональная проекция
Формула (11) является приближением при малом \(\theta_n\). Для получения полного геометрического выражения рассмотрим прямоугольную проекцию внутренней энергии.
Пусть \(E_n^{\mathrm{geom}}\) — вспомогательная полная величина внутреннего фазового состояния, а \(\mu c^2\) — её неизменная базовая проекция. Тогда
\[\tag{18}
\boxed{
E_n^{\mathrm{geom}}\cos\theta_n=\mu c^2
}.
\]
Отсюда
\[\tag{19}
E_n^{\mathrm{geom}}=\frac{\mu c^2}{\cos\theta_n}.
\]
Модуль энергии связи определим как разность полной внутренней величины и её базовой проекции:
\[\tag{20}
B_n=E_n^{\mathrm{geom}}-\mu c^2.
\]
Используя формулы (19) и (10), получаем
\[\tag{21}
\boxed{
B_n
=\mu c^2
\left[
\frac{1}{\cos\theta_n}-1
\right]
=\mu c^2
\left[
\frac{1}{\cos(\alpha_{\mathrm{fs}}/n)}-1
\right]
}.
\]
Величина \(E_n^{\mathrm{geom}}\) не называется полной наблюдаемой энергией связанного электрона. Она является вспомогательной геометрической величиной, разность которой с общей базовой проекцией \(\mu c^2\) задаёт положительный модуль связи. Наблюдаемый уровень относительно границы ионизации равен
\[\tag{22}
\boxed{\mathcal E_n=-B_n}.
\]
При \(n\to\infty\) фазовый угол и энергия связи исчезают:
\[\tag{23}
\lim_{n\to\infty}\theta_n=0,
\qquad
\lim_{n\to\infty}B_n=0,
\qquad
\lim_{n\to\infty}\mathcal E_n=0.
\]
Закон 1/n2 сам по себе не определяет единственное нелинейное продолжение. Косинусная форма (21) следует именно из дополнительного правила прямоугольной проекции (18). Поэтому главный член имеет более общий статус, чем предлагаемые высшие поправки.
5. Переход к закону 1/n²
Разложение секанса при малом аргументе имеет вид
\[\tag{24}
\frac1{\cos x}
=1+\frac{x^2}{2}
+\frac{5x^4}{24}
+\frac{61x^6}{720}
+\cdots.
\]
Подставляя \(x=\alpha_{\mathrm{fs}}/n\) в формулу (21), находим
\[\tag{25}
B_n
=\mu c^2
\left[
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2n^2}
+\frac{5\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{24n^4}
+\frac{61\alpha_{\mathrm{fs}}^6}{720n^6}
+\cdots
\right].
\]
Первый член точно совпадает с геометрическим приближением (13):
\[\tag{26}
\boxed{
B_n
=\frac{\mu c^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2n^2}
+O\!\left(\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{n^4}\right)
}.
\]
Тем самым полная проекция не заменяет исходный геометрический закон, а продолжает его:
\[\tag{27}
\boxed{
\frac{E_{\mathrm R}}{n^2}
\quad\longrightarrow\quad
\mu c^2
\left[
\frac1{\cos(\alpha_{\mathrm{fs}}/n)}-1
\right]
}.
\]
6. Обобщённый закон Ридберга
Рассмотрим переход электрона с верхнего уровня \(n_2\) на нижний уровень \(n_1\), где
\[\tag{28}
n_2>n_1.
\]
Поскольку \(B_{n_1}>B_{n_2}\), нижнее состояние связано сильнее. Энергия испускаемого фотона равна разности модулей связи:
\[\tag{29}
hf=B_{n_1}-B_{n_2}.
\]
Подставляя полное выражение (21), получаем обобщённый закон:
\[\tag{30}
\boxed{
hf
=\mu c^2
\left[
\frac1{\cos(\alpha_{\mathrm{fs}}/n_1)}
-
\frac1{\cos(\alpha_{\mathrm{fs}}/n_2)}
\right]
}.
\]
С учётом \(f=c/\lambda\) находим волновую форму:
\[\tag{31}
\boxed{
\frac1\lambda
=\frac{\mu c}{h}
\left[
\frac1{\cos(\alpha_{\mathrm{fs}}/n_1)}
-
\frac1{\cos(\alpha_{\mathrm{fs}}/n_2)}
\right]
}.
\]
В первом приближении формула (30) переходит в
\[\tag{32}
hf
\approx
\frac{\mu c^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2}
\left(
\frac1{n_1^2}-\frac1{n_2^2}
\right).
\]
Определим постоянную Ридберга для ядра массы M:
\[\tag{33}
\boxed{
R_M=\frac{\mu c\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2h}
}.
\]
Тогда получаем обычный закон Ридберга:
\[\tag{34}
\boxed{
\frac1\lambda
\approx
R_M
\left(
\frac1{n_1^2}-\frac1{n_2^2}
\right)
}.
\]
При \(M\to\infty\) приведённая масса стремится к массе электрона, и
\[\tag{35}
\boxed{
R_\infty=\frac{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2h}
}.
\]
7. Высшие геометрические поправки и статус вывода
С учётом первого дополнительного члена энергия спектрального перехода равна
\[\tag{36}
\begin{aligned}
hf\approx{}&
\frac{\mu c^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2}
\left(
\frac1{n_1^2}-\frac1{n_2^2}
\right)
\\[1mm]
&+
\frac{5\mu c^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{24}
\left(
\frac1{n_1^4}-\frac1{n_2^4}
\right)
+\cdots.
\end{aligned}
\]
Первое слагаемое воспроизводит установленную формулу Ридберга. Второе и последующие слагаемые являются собственными поправками выбранной косинусной проекции. Они зависят только от n, поэтому сами по себе не снимают вырождение между состояниями с различными l и m и не могут автоматически отождествляться с тонкой структурой реального спектра.
| Элемент построения | Статус |
|---|---|
| Два симметричных направления размерности n | результат геометрии орбиталей |
| Число компонент \(N_n=n^2\) | математическое следствие независимого умножения |
| Сохранение \(\sum_q\theta_{n,q}^2=\alpha_{\mathrm{fs}}^2\) | постулат фазовой нормировки |
| Угол \(\theta_n=\alpha_{\mathrm{fs}}/n\) | следствие нормировки эквивалентных компонент |
| Закон \(B_n^{(2)}=E_{\mathrm R}/n^2\) | следствие квадратичной энергии малого угла |
| Проекция \(E_n^{\mathrm{geom}}\cos\theta_n=\mu c^2\) | геометрический постулат полной модели |
| Косинусная функция \(B_n=\mu c^2(\sec\theta_n-1)\) | следствие принятого правила проекции |
| Обычный закон Ридберга | главный член разложения |
| Высшие косинусные поправки | гипотеза, требующая экспериментальной проверки |
Итоговая последовательность имеет вид
\[\tag{37}
\boxed{
\begin{aligned}
n-1\text{ расщеплений}
&\longrightarrow N_n=n^2,
\\[1mm]
N_n\theta_n^2=\alpha_{\mathrm{fs}}^2
&\longrightarrow \theta_n=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}}{n},
\\[1mm]
B_n^{(2)}=\frac12\mu c^2\theta_n^2
&\longrightarrow B_n^{(2)}=\frac{E_{\mathrm R}}{n^2},
\\[1mm]
E_n^{\mathrm{geom}}\cos\theta_n=\mu c^2
&\longrightarrow B_n=\mu c^2(\sec\theta_n-1),
\\[1mm]
B_{n_1}-B_{n_2}
&\longrightarrow hf.
\end{aligned}}
\]
Таким образом, зависимость 1/n2 связывается с числом внутренних фазовых компонент уровня, а более общий косинусный закон — с полной геометрией их ортогональной энергетической проекции. Строгий динамический вывод правил фазовой нормировки и полной проекции остаётся задачей дальнейшего развития модели.
Используемые материалы
- Википедия. Формула Ридберга.
- NIST. Atomic Data for Hydrogen.
- NIST. Atomic Spectra Database.