В предыдущей работе был предложен новый базис и построен вектор внутреннего движения, описывающий одновременно постоянную и периодическую составляющие движения материальной точки. Было показано, что такая геометрическая конструкция естественным образом разделяет поступательное движение и внутреннюю динамику, а также связывает собственную частоту с энергетическими характеристиками частицы.

В настоящей работе рассматривается временна́я эволюция этого вектора. Показано, что его дифференцирование непосредственно приводит к оператору внутренней энергии и позволяет получить временно́е уравнение Шрёдингера [1] без введения дополнительных постулатов. При этом сама идемпотента \(\em\) выполняет роль алгебраического проектора на вращательную компоненту, а при использовании ранее предложенной связи между полной внутренней энергией и энергией покоя выводится выражение для массы частицы через частоту внутреннего движения. Таким образом, новый базис объединяет в единой геометрической схеме внутреннюю частоту, энергию, массу и временну́ю структуру квантовой механики.

Ранее был введён идемпотентный базис \[ \tag{1} \left\{ \ep,\;i\ep,\;\em,\;i\em \right\}, \] для которого выполняются свойства \[ \tag{2} \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0. \] Такой базис позволяет представить движение как сочетание постоянной компоненты в направлении \(\ep\) и периодической компоненты, вращающейся в комплексной плоскости \((\em,i\em)\).

В настоящей работе рассматривается связь вектора внутреннего движения с энергией, массой и временны́м уравнением Шрёдингера. Будет показано, что дифференцирование вращательной компоненты естественным образом приводит к оператору энергии, а сама идемпотента \(\em\) выполняет роль алгебраического проектора на динамическую часть вектора.

При этом необходимо различать два уровня построения. Из дифференцирования непосредственно возникает энергетический масштаб \(\hbar\omega\). Масса покоя появляется лишь после дополнительного физического предположения, связывающего полную энергию внутреннего движения с выражением \(\gamma_{\mathrm{int}}mc^2\).

Рассмотрим вектор \[ \tag{3} J(t) = \ep + \em e^{-i\omega t}, \] где \(\omega\) — угловая частота внутреннего периодического процесса.

Компонента \(\ep\) не зависит от времени, тогда как компонента \[ \em e^{-i\omega t} \] вращается в комплексной плоскости \[ \left\{ \em,\;i\em \right\}. \] Разложение экспоненты даёт \[ \tag{4} J(t) = \ep + \em\cos\omega t - i\em\sin\omega t. \] Таким образом, конец второй компоненты движется по единичной окружности в плоскости \((\em,i\em)\).

В общем случае вращательная составляющая может содержать произвольную начальную фазу: \[ \tag{5} J_{\varphi}(t) = \ep + \em e^{-i(\omega t+\varphi)}, \] где \(\varphi\) — начальная фаза внутреннего движения.

Все векторы семейства \(J_{\varphi}(t)\) отличаются только выбором начала отсчёта времени. Действительно, при замене \[ \tag{6} t' = t+ \frac{\varphi}{\omega} \] получаем \[ \tag{7} e^{-i(\omega t+\varphi)} = e^{-i\omega t'}. \] Следовательно, изменение начальной фазы эквивалентно сдвигу начала отсчёта времени и не изменяет частоту, модуль и энергетические характеристики вращательной компоненты.

Поэтому без ограничения общности можно принять \[ \tag{8} \varphi=0 \] и использовать форму \[ \tag{9} J(t) = \ep + \em e^{-i\omega t}. \] Отрицательный знак в показателе экспоненты соответствует стандартному временно́му множителю стационарных состояний в квантовой механике и позволяет получить обычный знак во временно́м уравнении Шрёдингера.

Дифференцируя выражение (9) по времени, получаем \[ \tag{10} \frac{\partial J}{\partial t} = -i\omega\em e^{-i\omega t}. \] Постоянная компонента \(\ep\) при дифференцировании исчезает, поэтому производная выделяет только вращательную часть вектора.

Умножим выражение (10) на \(i\hbar\): \[ \tag{11} i\hbar \frac{\partial J}{\partial t} = \hbar\omega\em e^{-i\omega t}. \] Правая часть имеет размерность энергии и содержит стандартный квантовый энергетический множитель \[ \tag{12} W = \hbar\omega. \]

Таким образом, дифференцирование вектора \(J(t)\) непосредственно приводит к энергетическому масштабу внутреннего периодического процесса. Однако выражение \(\hbar\omega\) пока является полной энергией вращательной компоненты, а не непосредственно энергией покоя частицы.

Благодаря свойствам идемпотент \[ \ep\em=0, \qquad \em^2=\em, \] умножение вектора \(J(t)\) на \(\em\) выделяет его вращательную составляющую: \[ \tag{13} \em J(t) = \em \left( \ep+ \em e^{-i\omega t} \right). \]

Раскрывая произведение, получаем \[ \tag{14} \em J(t) = \em\ep + \em^2e^{-i\omega t} = \em e^{-i\omega t}. \] Следовательно, сама идемпотента \(\em\) уже выполняет роль алгебраического проектора на динамический сектор вектора. Вводить дополнительный проектор для этого не требуется.

С учётом выражения (14) результат дифференцирования можно переписать как \[ \tag{15} \frac{\partial J}{\partial t} = -i\omega\em J. \] После умножения на \(i\hbar\) получаем \[ \tag{16} i\hbar \frac{\partial J}{\partial t} = \hbar\omega\em J. \]

Стандартное временно́е уравнение Шрёдингера [1] имеет вид \[ \tag{17} i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = \widehat H\Psi, \] где \(\widehat H\) — гамильтониан системы.

Сравнивая выражения (16) и (17), определим гамильтониан внутреннего движения: \[ \tag{18} \widehat H_{\mathrm{int}} = \hbar\omega\em. \] Тогда уравнение для вектора \(J(t)\) принимает форму \[ \tag{19} i\hbar \frac{\partial J}{\partial t} = \widehat H_{\mathrm{int}}J. \]

Подстановка гамильтониана (18) даёт \[ \tag{20} i\hbar \frac{\partial J}{\partial t} = \hbar\omega\em J. \] Это уравнение совпадает по структуре с временны́м уравнением Шрёдингера, но имеет важную особенность: гамильтониан возникает непосредственно из геометрии идемпотентного базиса.

Его действие на постоянную компоненту равно \[ \tag{21} \widehat H_{\mathrm{int}}\ep = \hbar\omega\em\ep = 0, \] тогда как действие на вращательную компоненту даёт \[ \tag{22} \widehat H_{\mathrm{int}} \left( \em e^{-i\omega t} \right) = \hbar\omega \em e^{-i\omega t}. \]

Таким образом, вектор \(J(t)\) состоит из двух энергетически различных секторов. Постоянная компонента \(\ep\) имеет нулевую энергию относительно внутреннего гамильтониана, а вращательная компонента является собственным состоянием с собственным значением \[ \tag{23} W=\hbar\omega. \]

Если представить вектор в идемпотентных координатах \[ \tag{24} J(t) \longleftrightarrow \begin{pmatrix} 1\\ e^{-i\omega t} \end{pmatrix}, \] то умножение на \(\em\) соответствует матрице \[ \tag{25} \em \longleftrightarrow \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \]

Тогда гамильтониан внутреннего движения имеет вид \[ \tag{26} \widehat H_{\mathrm{int}} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&\hbar\omega \end{pmatrix}. \] Уравнение Шрёдингера записывается как \[ \tag{27} i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} 1\\ e^{-i\omega t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&\hbar\omega \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ e^{-i\omega t} \end{pmatrix}. \]

Левая часть равна \[ \tag{28} i\hbar \begin{pmatrix} 0\\ -i\omega e^{-i\omega t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \hbar\omega e^{-i\omega t} \end{pmatrix}, \] что полностью совпадает с правой частью. Матричная запись явно показывает разделение постоянного и динамического секторов.

Из выражения (23) следует, что вращательная компонента характеризуется полной энергией \[ \tag{29} W = \hbar\omega = h\nu, \] где \[ \tag{30} \omega=2\pi\nu. \] Это стандартное квантовое соотношение между частотой периодического процесса и энергией.

В рамках рассматриваемой модели предполагается, что эта энергия соответствует полной релятивистской энергии внутреннего движения: \[ \tag{31} W = \gamma_{\mathrm{int}}mc^2, \] где \(m\) — масса покоя частицы, а \(\gamma_{\mathrm{int}}\) — гипотетический лоренц-фактор внутренней динамики.

Объединяя выражения (29) и (31), получаем \[ \tag{32} \hbar\omega = \gamma_{\mathrm{int}}mc^2. \] Отсюда масса покоя равна \[ \tag{33} m = \frac{\hbar\omega} {\gamma_{\mathrm{int}}c^2}. \]

Следовательно, масса возникает как характеристика внутреннего периодического процесса и определяется его частотой, но с учётом отношения между полной внутренней энергией и энергией покоя.

В предыдущей работе было предложено соотношение \[ \tag{34} \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}, \] где \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) — постоянная тонкой структуры, а \(\gamma_{\mathrm{int}}\) — внутренний Лоренц-фактор.

Тогда выражение для массы принимает вид \[ \tag{35} m = \frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar\omega} {c^2}. \] Соответственно, энергия покоя равна \[ \tag{36} mc^2 = \alpha_{\mathrm{fs}}\hbar\omega. \]

Поскольку \[ \tag{37} W = \hbar\omega, \] можно записать \[ \tag{38} mc^2 = \frac{W} {\gamma_{\mathrm{int}}} = \alpha_{\mathrm{fs}}W. \] Таким образом, энергия покоя представляет собой часть полной энергии внутреннего движения, определяемую множителем \(\alpha_{\mathrm{fs}}\).

Итоговая связь между частотой и массой имеет вид \[ \tag{39} \boxed{ m = \frac{\hbar\omega} {c^2 \gamma_{\mathrm{int}}} = \frac{\hbar\omega} {c^2} \alpha_{\mathrm{fs}} }. \]

Обратное выражение позволяет определить внутреннюю частоту через массу: \[ \tag{40} \omega = \frac{mc^2} {\hbar} \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{mc^2} {\hbar \alpha_{\mathrm{fs}}}. \] Для обычной частоты получаем \[ \tag{41} \nu = \frac{mc^2}{h} \gamma_{\mathrm{int}}. \]

Поскольку гамильтониан внутреннего движения равен \[ \widehat H_{\mathrm{int}} = \hbar\omega\em, \] можно определить оператор полной энергетической массы: \[ \tag{42} \widehat M_{\mathrm{int}} = \frac{\widehat H_{\mathrm{int}}} {c^2}. \] Тогда \[ \tag{43} \widehat M_{\mathrm{int}} = \frac{\hbar\omega} {c^2}\em. \]

Однако этот оператор соответствует полной внутренней энергии \(W\), а не непосредственно массе покоя. Для получения оператора массы покоя необходимо учесть внутренний лоренц-фактор: \[ \tag{44} \widehat M_0 = \frac{1}{\gamma_{\mathrm{int}}} \widehat M_{\mathrm{int}}. \] Отсюда \[ \tag{45} \widehat M_0 = \frac{\hbar\omega} {\gamma_{\mathrm{int}}c^2}\em. \]

С учётом связи \[ \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}, \] получаем \[ \tag{46} \widehat M_0 = \frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar\omega} {c^2}\em. \] Его собственное значение на вращательной компоненте равно массе покоя: \[ \tag{47} \widehat M_0 \left( \em e^{-i\omega t} \right) = m\em e^{-i\omega t}. \]

Полученный результат допускает следующую последовательную интерпретацию. Вектор \[ J(t) = \ep + \em e^{-i\omega t} \] содержит постоянную и вращательную составляющие. Дифференцирование устраняет постоянную компоненту и выделяет внутренний периодический процесс.

Умножение производной на \(i\hbar\) преобразует угловую частоту в энергетический масштаб: \[ \tag{48} i\hbar \frac{\partial J}{\partial t} = \hbar\omega\em J. \] Поэтому величина \(\hbar\omega\) возникает непосредственно из временно́й эволюции вращательной компоненты.

Идемпотента \(\em\) одновременно является элементом базиса и проектором на динамический сектор. Это свойство позволяет записать гамильтониан без введения дополнительного оператора: \[ \tag{49} \widehat H_{\mathrm{int}} = \hbar\omega\em. \]

Масса, однако, не является прямым результатом одного только дифференцирования. Из производной непосредственно следует полная внутренняя энергия \[ W=\hbar\omega. \] Переход к массе требует дополнительного физического соотношения \[ W=\gamma_{\mathrm{int}}mc^2. \] Именно это предположение связывает внутреннюю частоту с наблюдаемой массой покоя.

В рамках данной модели частота является первичной характеристикой внутреннего движения, полная энергия определяется как \(\hbar\omega\), а масса покоя представляет собой проекцию или долю этой энергии: \[ \tag{50} mc^2 = \frac{\hbar\omega} {\gamma_{\mathrm{int}}}. \]

Рассмотренное решение можно обобщить, введя постоянные комплексные амплитуды: \[ \tag{51} \Psi(t) = A\ep + B\em e^{-i\omega t}, \] где \(A\) и \(B\) не зависят от времени.

Дифференцирование даёт \[ \tag{52} i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hbar\omega B\em e^{-i\omega t}. \] С другой стороны, \[ \tag{53} \em\Psi = B\em e^{-i\omega t}. \] Поэтому \[ \tag{54} i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hbar\omega\em\Psi. \]

Следовательно, уравнение \[ \tag{55} i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = \widehat H_{\mathrm{int}}\Psi, \qquad \widehat H_{\mathrm{int}} = \hbar\omega\em, \] выполняется не только для нормированного вектора \(J(t)\), но и для всего семейства состояний, состоящих из постоянной \(\ep\)-компоненты и гармонической \(\em\)-компоненты.

Полученное уравнение описывает только временну́ю эволюцию внутренней периодической компоненты. В нём пока отсутствуют пространственные производные, потенциальная энергия и взаимодействие с внешними полями. Поэтому выражение \[ i\hbar \frac{\partial J}{\partial t} = \hbar\omega\em J \] следует рассматривать как временно́е уравнение для свободного внутреннего состояния с фиксированной частотой.

Для построения более общего уравнения потребуется определить пространственный оператор в том же идемпотентном базисе и установить связь между частотой, импульсом и внешними взаимодействиями. Только после этого можно будет сопоставлять полученную конструкцию с полным пространственно-временны́м уравнением Шрёдингера.

Тем не менее уже на данном этапе видно, что стандартная временна́я структура квантовой механики возникает непосредственно из гармонической зависимости вращательной компоненты нового базиса.

Дифференцирование вектора \[ J(t) = \ep + \em e^{-i\omega t} \] выделяет его вращательную составляющую и приводит к выражению \[ i\hbar \frac{\partial J}{\partial t} = \hbar\omega\em J. \] Поскольку идемпотента \(\em\) уничтожает постоянную компоненту \(\ep\) и сохраняет вращательную компоненту, она сама выполняет роль проектора на динамический сектор.

На этой основе гамильтониан внутреннего движения определяется без введения дополнительных операторов: \[ \widehat H_{\mathrm{int}} = \hbar\omega\em. \] Полученное уравнение \[ i\hbar \frac{\partial J}{\partial t} = \widehat H_{\mathrm{int}}J \] совпадает по форме с временны́м уравнением Шрёдингера. При этом энергетическое собственное значение вращательной компоненты равно \(\hbar\omega\).

Масса покоя возникает после дополнительного предположения о связи полной энергии внутреннего движения с релятивистской энергией: \[ \hbar\omega = \gamma_{\mathrm{int}}mc^2. \] Отсюда \[ m = \frac{\hbar\omega} {c^2 \gamma_{\mathrm{int}}}. \]

Таким образом, в предлагаемой модели внутренняя частота определяет полную энергию периодического процесса, а масса покоя является производной характеристикой, связанной с этой энергией посредством внутреннего лоренц-фактора. Новый идемпотентный базис при этом естественным образом разделяет постоянный и динамический секторы и приводит к временно́й структуре уравнения Шрёдингера.