В предыдущих работах были независимо получены два результата, связь между которыми первоначально оставалась неочевидной. Первый из них описывает непрерывную степень гиперболической единицы, а второй — внутреннее вращение в комплексно расширенном идемпотентном базисе.

Дальнейшее развитие модели показало, что непрерывная степень гиперболической единицы является не только способом записи внутреннего вращения. Две взаимно дополнительные степени \[ \j^a, \qquad (-\j)^b \] естественно описывают два независимых процесса: внутреннее состояние частицы и её внешнее движение. Поэтому центральным объектом становится полный оператор \[ \tag{1} \boxed{ J(t)=\j^a(-\j)^b }, \] где параметр \(a\) относится к внутреннему состоянию, а параметр \(b\) — к внешнему движению.

Основой этой конструкции служат два тождества: \[ \tag{2} \boxed{ \j^a = \ep+\em e^{i\pi a} }, \] \[ \tag{3} \boxed{ (-\j)^b = \ep e^{i\pi b}+\em }. \] где: \(\ep, \em\) — идемпотенты [1-2], образованные гиперболической единицей \(\j\) [3].

Их произведение разделяет две независимые комплексные фазы между двумя идемпотентными компонентами: \[ \tag{4} \boxed{ \j^a(-\j)^b = \ep e^{i\pi b} + \em e^{i\pi a} }. \]

Таким образом, гиперболическая единица задаёт не одну, а две взаимно дополнительные геометрии вращения. Степень \(\j^a\) поворачивает компоненту \(\em\), оставляя \(\ep\) неподвижной, тогда как степень \((-\j)^b\) поворачивает компоненту \(\ep\), оставляя \(\em\) неподвижной. Полный оператор \(J(t)\) объединяет обе фазы в одном четырёхмерном состоянии.

Рассмотрим гиперболическую единицу \(\j\), для которой \[ \tag{5} \j^2=1. \] Введём два взаимно дополнительных идемпотента: \[ \tag{6} \ep = \frac{1+\j}{2}, \qquad \em = \frac{1-\j}{2}. \]

Они удовлетворяют соотношениям \[ \tag{7} \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0, \] а также \[ \tag{8} 1=\ep+\em, \qquad \j=\ep-\em. \]

Гиперболическая алгебра тем самым распадается на два независимых идемпотентных направления. После комплексного расширения каждому из них соответствует собственная комплексная плоскость, и возникает действительный четырёхмерный базис \[ \tag{9} \left\{ \ep, \;i\ep, \;\em, \;i\em \right\}. \]

Для непрерывной степени гиперболической единицы ранее была получена формула \[ \tag{10} \j^a = \frac12 \left[ \left(1+e^{i\pi a}\right) + \j\left(1-e^{i\pi a}\right) \right]. \] При целых значениях \(a\) она воспроизводит обычные степени: \[ \tag{11} \j^0=1, \qquad \j^1=\j, \qquad \j^2=1. \]

Подставим в выражение (10) равенства \[ \j=\ep-\em, \qquad 1=\ep+\em. \] После раскрытия скобок и сокращения противоположных слагаемых получаем \[ \tag{12} \boxed{ \j^a = \ep+\em e^{i\pi a} }. \]

Тождество (12) показывает, что компонента \(\ep\) остаётся постоянной, а компонента \(\em\) вращается в собственной комплексной плоскости \[ \tag{13} \left\{\em,\;i\em\right\}. \] Разложение по действительной и мнимой частям имеет вид \[ \tag{14} \j^a = \ep + \em\cos(\pi a) + i\em\sin(\pi a). \]

Следовательно, \(\j^a\) является оператором внутреннего вращения: он сохраняет одну идемпотентную компоненту и непрерывно изменяет фазу другой.

Поскольку \[ \tag{15} -\j = -\ep+\em = \ep e^{i\pi}+\em, \] для непрерывной степени \((-\j)^b\) естественно получается взаимно дополнительное представление \[ \tag{16} \boxed{ (-\j)^b = \ep e^{i\pi b}+\em }. \]

В отличие от \(\j^a\), этот оператор оставляет постоянной компоненту \(\em\), а компоненту \(\ep\) вращает в плоскости \[ \tag{17} \left\{\ep,\;i\ep\right\}. \] Действительно, \[ \tag{18} (-\j)^b = \ep\cos(\pi b) + i\ep\sin(\pi b) + \em. \]

Таким образом, операторы \(\j^a\) и \((-\j)^b\) симметричны относительно перестановки идемпотентных направлений: \[ \tag{19} \begin{aligned} \j^a &:\quad \ep\;\text{неподвижна}, \quad \em\;\text{вращается}, \\[1mm] (-\j)^b &:\quad \em\;\text{неподвижна}, \quad \ep\;\text{вращается}. \end{aligned} \]

Перемножим два взаимно дополнительных оператора: \[ \tag{20} J(a,b) = \j^a(-\j)^b. \] Используя ортогональность идемпотентов, получаем \[ \tag{21} \begin{aligned} J(a,b) &= \left(\ep+\em e^{i\pi a}\right) \left(\ep e^{i\pi b}+\em\right) \\[1mm] &= \ep e^{i\pi b} + \em e^{i\pi a}. \end{aligned} \] Следовательно, \[ \tag{22} \boxed{ J(a,b) = \j^a(-\j)^b = \ep e^{i\pi b} + \em e^{i\pi a} }. \]

Формула (22) является главным результатом настоящего обобщения. Она показывает, что полное состояние содержит две независимые фазы: \[ \tag{23} \phi_{\rm ext}=\pi b, \qquad \phi_{\rm int}=\pi a. \] Внешняя фаза принадлежит плоскости \(\{\ep,i\ep\}\), а внутренняя — плоскости \(\{\em,i\em\}\).

В отличие от прежней конструкции, где рассматривалась только степень \(\j^a\), теперь обе идемпотентные компоненты могут независимо вращаться. Одномерное движение частицы при этом отображается в расширенном базисе как двухфазное состояние, а наблюдаемая картина возникает как его проекция на физически выбранные компоненты.

В новой модели параметр внутреннего состояния определяется как \[ \tag{24} a=\varpi t, \qquad \pi\varpi=\omega, \] откуда \[ \tag{25} \pi a=\omega t. \]

Параметр внешнего движения задаётся относительной скоростью \[ \tag{26} b = \frac{\arcsin\beta}{\pi}, \qquad \beta=\frac{v}{c}, \] где в общем случае \(v=v(t)\). Поэтому \[ \tag{27} \pi b=\arcsin\beta. \]

Подстановка (24) и (26) в формулу (22) даёт \[ \tag{28} \boxed{ J(t) = \j^{\varpi t} (-\j)^{\arcsin\beta(t)/\pi} }. \] В идемпотентной форме \[ \tag{29} \boxed{ J(t) = \ep e^{i\arcsin\beta(t)} + \em e^{i\omega t} }. \]

Так как \[ \tag{30} e^{i\arcsin\beta} = \sqrt{1-\beta^2}+i\beta = \frac1\gamma+i\beta, \] где \[ \gamma=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}, \] получаем наглядное разложение \[ \tag{31} \boxed{ J(t) = \ep\left(\frac1\gamma+i\beta\right) + \em\left(\cos\omega t+i\sin\omega t\right) }. \]

Первая идемпотентная компонента содержит параметры внешнего движения \(\beta\) и \(1/\gamma\), а вторая — внутреннюю фазу \(\omega t\). Поэтому произведение \(\j^a(-\j)^b\) не смешивает две физические роли, а сохраняет их в ортогональных подпространствах одного состояния.

Обе компоненты в формуле (22) имеют единичный модуль: \[ \left|e^{i\pi a}\right|=1, \qquad \left|e^{i\pi b}\right|=1. \] Поэтому полный оператор удовлетворяет условию \[ \tag{32} \boxed{ |J(a,b)|=1 }. \]

Если определить оператор скорости как \[ \tag{33} \boxed{ V(t)=cJ(t) }, \] то \[ \tag{34} |V(t)|=c. \] Изменение внешней скорости не изменяет полного модуля состояния, а лишь перераспределяет его геометрические компоненты. В рамках модели это соответствует постулату сохранения полной энергии \[ \tag{35} E_{\rm ext}+E_{\rm int}=\mathrm{const}. \]

Для двух состояний \(J(a_1,b_1)\) и \(J(a_2,b_2)\) имеем \[ \tag{36} \begin{aligned} J(a_1,b_1)J(a_2,b_2) &= \left(\ep e^{i\pi b_1}+\em e^{i\pi a_1}\right) \left(\ep e^{i\pi b_2}+\em e^{i\pi a_2}\right) \\[1mm] &= \ep e^{i\pi(b_1+b_2)} + \em e^{i\pi(a_1+a_2)}. \end{aligned} \]

Следовательно, \[ \tag{37} \boxed{ J(a_1,b_1)J(a_2,b_2) = J(a_1+a_2,b_1+b_2) }. \] В степенной форме \[ \tag{38} \j^{a_1}(-\j)^{b_1} \j^{a_2}(-\j)^{b_2} = \j^{a_1+a_2}(-\j)^{b_1+b_2}. \]

Таким образом, полный оператор образует двухпараметрическую коммутативную группу. Внутренние параметры складываются независимо от внешних, а внешние — независимо от внутренних.

Из формулы (22) непосредственно следует \[ \tag{39} J^{-1}(a,b) = \ep e^{-i\pi b} + \em e^{-i\pi a}. \] Поэтому \[ \tag{40} \boxed{ J^{-1}(a,b) = J(-a,-b) = \j^{-a}(-\j)^{-b} }. \] Действительно, \[ \tag{41} J(a,b)J(-a,-b) = \ep+\em = 1. \]

Пусть \[ a=a(t), \qquad b=b(t). \] Тогда из формулы (22) \[ \tag{42} \frac{dJ}{dt} = i\pi\dot b\,\ep e^{i\pi b} + i\pi\dot a\,\em e^{i\pi a}. \]

Поскольку \[ \ep J=\ep e^{i\pi b}, \qquad \em J=\em e^{i\pi a}, \] производную можно записать в операторной форме: \[ \tag{43} \boxed{ \frac{dJ}{dt} = i\pi \left( \dot b\,\ep + \dot a\,\em \right)J }. \]

Для внутренней фазы \[ \dot a=\varpi, \qquad \pi\dot a=\omega. \] Для внешней фазы \[ \tag{44} \pi\dot b = \frac{d}{dt}\arcsin\beta = \frac{\dot\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} = \gamma\dot\beta. \] Поэтому \[ \tag{45} \boxed{ \frac{dJ}{dt} = i \left( \gamma\dot\beta\,\ep + \omega\em \right)J }. \]

Формула (45) разделяет два вклада. Слагаемое \(i\gamma\dot\beta\,\ep J\) описывает изменение внешнего движения, а слагаемое \(i\omega\em J\) — внутреннее вращение. При постоянной скорости \(\dot\beta=0\) внешняя компонента фиксирована, и остаётся прежнее уравнение внутренней динамики.

Если \[ \beta=\mathrm{const}, \qquad b=\mathrm{const}, \] то \[ \tag{46} J(t) = \ep e^{i\arcsin\beta} + \em e^{i\omega t}, \] а производная равна \[ \tag{47} \boxed{ \frac{dJ}{dt} = i\omega\em J(t) }. \]

Повторное дифференцирование даёт \[ \tag{48} \frac{d^2J}{dt^2} = -\omega^2\em J(t), \] или \[ \tag{49} \boxed{ \frac{d^2J}{dt^2} + \omega^2\em J(t) = 0 }. \]

Следовательно, при равномерном внешнем движении внутренняя компонента по-прежнему удовлетворяет уравнению гармонического осциллятора, но теперь она входит в более общее состояние, содержащее одновременно и постоянную внешнюю фазу.

Обычная комплексная экспонента \(e^{i\varphi}\) описывает вращение на одной комплексной плоскости. Оператор \(\j^a\) переносит это вращение в плоскость \(\{\em,i\em\}\), а оператор \((-\j)^b\) — в плоскость \(\{\ep,i\ep\}\).

Их произведение \[ \tag{50} J(a,b) = \ep e^{i\pi b} + \em e^{i\pi a} \] описывает два независимых вращения в двух ортогональных комплексных плоскостях четырёхмерного базиса. Геометрически это уже не одна окружность, а двухфазное состояние на произведении двух единичных окружностей.

При этом модель сохраняет исходный постулат одномерности движения точки. Расширенная геометрия не означает, что частица одновременно движется по нескольким пространственным координатам. Она служит математическим отображением одномерного процесса в структуру полного состояния, из которой наблюдаемая трёхмерная картина может быть получена посредством проекции.

Внутренняя фаза \(\pi a=\omega t\) описывает собственную эволюцию частицы. Внешняя фаза \(\pi b=\arcsin(v/c)\) кодирует её кинематическое состояние. Ортогональность идемпотентов позволяет этим двум процессам сосуществовать без взаимного смешивания.

Полный оператор можно представить в форме обобщённой формулы Эйлера: \[ \tag{51} J(a,b) = \Cos(a,b) + i\Sin(a,b), \] где \[ \tag{52} \boxed{ \Cos(a,b) = \ep\cos(\pi b) + \em\cos(\pi a) }, \] \[ \tag{53} \boxed{ \Sin(a,b) = \ep\sin(\pi b) + \em\sin(\pi a) }. \]

Здесь сплит-косинус и сплит-синус одновременно содержат внешнюю и внутреннюю фазы, но сохраняют их распределение между двумя идемпотентными плоскостями. Подробные свойства этих функций рассматриваются отдельно в работах «От формулы Эйлера к сплит-геометрии» и во второй части.

Непрерывная степень гиперболической единицы имеет идемпотентное представление \[ \tag{54} \j^a = \ep+\em e^{i\pi a}, \] которое описывает вращение внутренней компоненты в плоскости \(\{\em,i\em\}\).

Взаимно дополнительная степень \[ \tag{55} (-\j)^b = \ep e^{i\pi b}+\em \] вращает внешнюю компоненту в плоскости \(\{\ep,i\ep\}\).

Их произведение образует полный оператор состояния \[ \tag{56} \boxed{ J(t) = \j^a(-\j)^b = \ep e^{i\pi b} + \em e^{i\pi a} }, \] где \[ \tag{57} \pi a=\omega t, \qquad \pi b=\arcsin\!\left(\frac{v}{c}\right). \]

Параметр \(a\) описывает внутреннее состояние частицы, а параметр \(b\) — её внешнее движение. Эти процессы представлены двумя независимыми фазами, принадлежащими ортогональным идемпотентным подпространствам.

Для полного оператора выполняются групповое свойство \[ J(a_1,b_1)J(a_2,b_2) = J(a_1+a_2,b_1+b_2), \] обратимость \[ J^{-1}(a,b)=J(-a,-b), \] и сохранение нормы \[ |J(a,b)|=1. \]

В общем случае его эволюция описывается уравнением \[ \tag{58} \boxed{ \frac{dJ}{dt} = i \left( \gamma\dot\beta\,\ep + \omega\em \right)J }. \] При постоянной внешней скорости оно сводится к уравнению внутреннего вращения \[ \frac{dJ}{dt} = i\omega\em J. \]

Таким образом, геометрия гиперболической единицы получает более общий смысл. Степень \(\j^a\) уже не является полным состоянием сама по себе, а представляет его внутреннюю составляющую. Полное состояние возникает как произведение двух взаимно дополнительных операторов \[ \boxed{ \j^a(-\j)^b }, \] объединяющее внутреннее вращение, внешнее движение и закон сохранения полной нормы в одной алгебраической конструкции.