В предыдущих работах были независимо получены два результата, происхождение связи между которыми оставалось неочевидным. Первый из них описывает непрерывную степень гиперболической единицы, а второй — внутреннее вращение в новом идемпотентном базисе.

В настоящей работе показывается, что оба результата представляют собой одно и то же математическое выражение. После перехода к идемпотентному базису дробная степень гиперболической единицы принимает вид \[ \tag{1} \large{ \j^\alpha = \ep + \em\, e^{i\pi\alpha} }. \] Это тождество является основным результатом работы. Из него непосредственно следуют представление вектора внутреннего вращения, его групповое свойство, обратный элемент, производная и дифференциальное уравнение движения.

Формула (1) означает, что непрерывная степень гиперболической единицы эквивалентна комплексному вращению одной из двух идемпотентных компонент. Тем самым гиперболическая степень получает простой геометрический смысл: она описывает внутреннее вращение в комплексно расширенном идемпотентном базисе.

Рассмотрим гиперболическую единицу \(\j\), для которой \[ \tag{2} \j^2=1. \] Введём два взаимно дополнительных идемпотента: \[ \tag{3} \ep = \frac{1+\j}{2}, \qquad \em = \frac{1-\j}{2}. \]

Они удовлетворяют соотношениям \[ \tag{4} \ep ^2 = \ep , \qquad \em ^2 = \em , \qquad \ep \em = 0, \] а также \[ \tag{5} 1 = \ep + \em , \qquad \j = \ep - \em . \]

Таким образом, гиперболическая алгебра естественно распадается на два независимых идемпотентных направления. После комплексного расширения каждому из них соответствует собственная комплексная плоскость, и возникает действительный четырёхмерный базис \[ \tag{6} \left\{ \ep , \;i\ep , \;\em , \;i\em \right\}. \]

Ранее для дробной степени гиперболической единицы была получена формула \[ \tag{7} \j^\alpha = \frac12 \left[ \left( 1+e^{i\pi\alpha} \right) + \j \left( 1-e^{i\pi\alpha} \right) \right]. \] При целых значениях \(\alpha\) она воспроизводит обычные степени гиперболической единицы: \[ \tag{8} \j^0=1, \qquad \j^1=\j, \qquad \j^2=1. \]

Формула (7) задаёт непрерывную траекторию, проходящую через значения \(1\) и \(\j\). Однако её геометрический смысл становится значительно яснее после перехода к идемпотентному представлению.

Подставим в выражение (7) соотношение \[ \j = \ep - \em . \] Тогда \[ \tag{9} \j^\alpha = \frac12 \left[ 1 + e^{i\pi\alpha} + \left( \ep - \em \right) \left( 1-e^{i\pi\alpha} \right) \right]. \]

Используя равенство \[ 1 = \ep + \em , \] раскроем выражение: \[ \tag{10} \begin{aligned} \j^\alpha &= \frac12 \Big[ \ep + \em + e^{i\pi\alpha}\ep + e^{i\pi\alpha}\em \\ &\qquad + \ep - \ep e^{i\pi\alpha} - \em + \em e^{i\pi\alpha} \Big]. \end{aligned} \]

После сокращения противоположных слагаемых остаётся \[ \tag{11} \boxed{ \j^\alpha = \ep + \em e^{i\pi\alpha} }. \]

Тождество (11) показывает, что дробная степень гиперболической единицы состоит из двух независимых частей. Компонента \(\ep \) остаётся постоянной, тогда как компонента \(\em \) умножается на комплексную фазу \(e^{i\pi\alpha}\).

Следовательно, непрерывная степень гиперболической единицы описывает не изменение обеих компонент алгебры, а вращение только одной из них. Именно это свойство связывает гиперболическую степень с внутренним вращением в новом базисе.

Разложим комплексную экспоненту в формуле (11): \[ \tag{12} \j^\alpha = \ep + \em \cos\pi\alpha + i\em \sin\pi\alpha. \]

При изменении параметра \(\alpha\) первая компонента остаётся неподвижной вдоль направления \(\ep \), тогда как вторая движется по единичной окружности в плоскости \[ \tag{13} \left\{ \em , \;i\em \right\}. \]

Таким образом, дробная степень \(\j^\alpha\) описывает внутреннее вращение одной идемпотентной компоненты относительно другой. Направление \(\ep \) играет роль неподвижной составляющей, а пара \[ \left\{ \em , \;i\em \right\} \] образует собственную комплексную плоскость вращения.

Тем самым гиперболическая единица перестаёт быть только алгебраическим объектом. Её непрерывная степень описывает внутреннюю эволюцию системы подобно тому, как комплексная экспонента \(e^{i\varphi}\) описывает вращение на обычной комплексной плоскости.

Положим \[ \tag{14} \alpha = \varpi t, \] где \(t\) — время, а \(\varpi\) — параметр, имеющий размерность частоты. Тогда формула (11) принимает вид \[ \tag{15} \j^{\varpi t} = \ep + \em e^{i\pi\varpi t}. \]

Введём обычную угловую частоту \[ \tag{16} \omega = \pi\varpi. \] Тогда \[ \tag{17} \boxed{ \j^{\varpi t} = \ep + \em e^{i\omega t} }. \]

Если \[ \tag{18} \omega = 2\pi f, \] то из формулы (16) следует \[ \tag{19} \varpi = 2f. \] Следовательно, показатель степени гиперболической единицы изменяется со скоростью, численно равной удвоенной обычной частоте вращения.

Рассмотрим вектор \[ \tag{20} J(t) = \ep + \em e^{i\omega t}. \] Сравнение выражений (17) и (20) даёт \[ \tag{21} \boxed{ J(t) = \j^{\varpi t} }, \qquad \omega = \pi\varpi. \]

Таким образом, вектор внутреннего вращения является непрерывной степенью гиперболической единицы. Ранее эти выражения могли рассматриваться как две различные конструкции, однако формула (21) показывает их точное тождество.

При \(t=0\) имеем \[ \tag{22} J(0) = \ep + \em = 1. \] Через половину периода, когда \(\omega t=\pi\), получаем \[ \tag{23} J(t) = \ep - \em = \j. \] Через полный период \[ \tag{24} J(t) = \ep + \em = 1. \]

Следовательно, гиперболическая единица \(\j\) соответствует состоянию, достигаемому после поворота второй идемпотентной компоненты на угол \(\pi\). Она представляет собой половину полного оборота внутреннего вращения: \[ \tag{25} \j = \ep + \em e^{i\pi}. \]

Благодаря ортогональности идемпотентов произведение двух состояний имеет вид \[ \tag{26} \begin{aligned} J(t_1)J(t_2) &= \left( \ep + \em e^{i\omega t_1} \right) \left( \ep + \em e^{i\omega t_2} \right) \\ &= \ep + \em e^{i\omega(t_1+t_2)}. \end{aligned} \]

Поэтому \[ \tag{27} \boxed{ J(t_1)J(t_2) = J(t_1+t_2) }. \] В эквивалентной форме \[ \tag{28} \j^{\varpi t_1} \j^{\varpi t_2} = \j^{\varpi(t_1+t_2)}. \]

Следовательно, внутреннее вращение образует однопараметрическую коммутативную группу. Параметры времени складываются, а соответствующие им состояния перемножаются.

Из идемпотентной формы непосредственно следует \[ \tag{29} J^{-1}(t) = \ep + \em e^{-i\omega t}. \] Действительно, \[ \tag{30} \begin{aligned} J(t)J^{-1}(t) &= \left( \ep + \em e^{i\omega t} \right) \left( \ep + \em e^{-i\omega t} \right) \\ &= \ep + \em = 1. \end{aligned} \]

Поэтому \[ \tag{31} J^{-1}(t) = J(-t) = \j^{-\varpi t}. \] Обращение элемента соответствует изменению направления внутреннего вращения.

Прямое дифференцирование выражения (20) даёт \[ \tag{32} \frac{dJ}{dt} = i\omega \em e^{i\omega t}. \]

Поскольку \[ \tag{33} \em J(t) = \em \left( \ep + \em e^{i\omega t} \right) = \em e^{i\omega t}, \] формулу (32) можно записать в операторной форме: \[ \tag{34} \boxed{ \frac{dJ}{dt} = i\omega \em J(t) }. \]

Проектор \(\em \) в правой части необходим. Он показывает, что производная определяется только вращающейся компонентой, тогда как направление \(\ep \) остаётся постоянным.

Тем самым формула (34) является дифференциальным уравнением внутреннего вращения. Его решение при начальном условии \(J(0)=1\) имеет вид \[ \tag{35} J(t) = \ep + \em e^{i\omega t} = \j^{\varpi t}. \]

Повторное дифференцирование даёт \[ \tag{36} \frac{d^2J}{dt^2} = -\omega^2 \em e^{i\omega t}. \] Поскольку \[ \em J(t) = \em e^{i\omega t}, \] получаем \[ \tag{37} \boxed{ \frac{d^2J}{dt^2} + \omega^2 \em J(t) = 0 }. \]

Для большей наглядности введём вращающуюся компоненту \[ \tag{38} J_{\mathrm{rot}}(t) = \em J(t) = \em e^{i\omega t}. \] Тогда уравнение (37) принимает обычную форму гармонического осциллятора: \[ \tag{39} \boxed{ \frac{d^2J_{\mathrm{rot}}}{dt^2} + \omega^2J_{\mathrm{rot}}(t) = 0 }. \]

Таким образом, колебательная динамика действует только в подпространстве \[ \left\{ \em , \;i\em \right\}, \] тогда как компонента \(\ep \) остаётся неизменной.

Комплексная экспонента \[ e^{i\omega t} \] описывает равномерное вращение на обычной комплексной плоскости. Выражение \[ \tag{40} \j^{\varpi t} = \ep + \em e^{i\omega t} \] описывает аналогичное вращение в комплексно расширенном идемпотентном пространстве.

Однако вращается не весь элемент алгебры. Направление \(\ep \) остаётся постоянным, а направление \(\em \) образует вместе с \(i\em \) собственную комплексную плоскость вращения.

В этом представлении гиперболическая единица соответствует повороту вращающейся компоненты на угол \(\pi\): \[ \tag{41} \j = \ep + \em e^{i\pi} = \ep - \em . \]

Такой подход объединяет гиперболическую и комплексную структуры. Гиперболическая единица задаёт различие между двумя идемпотентными направлениями, тогда как комплексная единица \(i\) обеспечивает непрерывное вращение внутри плоскости одной из идемпотент.

Главный результат работы можно интерпретировать как идемпотентный аналог формулы Эйлера. В обычной комплексной алгебре выражение \(e^{i\varphi}\) описывает вращение единичного вектора. В рассматриваемой алгебре выражение \(\j^\alpha\) сохраняет компоненту \(\ep \) и поворачивает компоненту \(\em \) на угол \(\pi\alpha\).

В работе установлено точное тождество \[ \tag{42} \boxed{ \j^\alpha = \ep + \em e^{i\pi\alpha} }, \] которое связывает дробную степень гиперболической единицы с внутренним вращением в комплексно расширенном идемпотентном базисе.

После введения временно́го параметра \(\alpha=\varpi t\) получена компактная запись \[ \tag{43} \boxed{ J(t) = \j^{\varpi t} = \ep + \em e^{i\omega t} }, \qquad \omega = \pi\varpi. \] Она показывает, что ранее введённый вектор внутреннего вращения является не отдельной конструкцией, а непрерывной степенью гиперболической единицы.

Из основного тождества непосредственно следуют групповое свойство \[ J(t_1)J(t_2) = J(t_1+t_2), \] обратный элемент \[ J^{-1}(t) = J(-t), \] а также дифференциальное уравнение \[ \frac{dJ}{dt} = i\omega \em J(t). \]

Вращающаяся компонента \[ J_{\mathrm{rot}}(t) = \em J(t) \] удовлетворяет уравнению гармонического осциллятора \[ \frac{d^2J_{\mathrm{rot}}}{dt^2} + \omega^2J_{\mathrm{rot}}(t) = 0. \] Следовательно, динамика внутреннего вращения полностью локализована в комплексной плоскости \[ \left\{ \em , \;i\em \right\}. \]

Таким образом, дробная степень \(\j^\alpha\) получает непосредственный геометрический смысл. Она описывает неподвижную компоненту \(\ep \) и равномерно вращающуюся компоненту \[ \em e^{i\pi\alpha}, \] объединяя гиперболическую единицу, комплексную фазу и внутреннее движение в одной алгебраической конструкции.