Во второй части работы предложена геометрическая модель внутреннего состояния электрона, основанная на предположении о существовании двух близких ветвей единой внутренней траектории. Показано, что такая двухлистная структура естественным образом согласуется с внутренним двухкомпонентным состоянием, описываемым новым идемпотентным базисом, и приводит к полной периодичности только после поворота на \(4\pi\). При этом геометрические ветви интерпретируются не как наблюдаемые пространственные орбиты, а как внутренние состояния, отображаемые в физическое пространство посредством операторов Паули.

На основе построенной модели исследуются её физические следствия: связь внутреннего движения с классическим радиусом электрона и постоянной тонкой структуры, операторное описание спина и магнитного момента, возникновение зеемановского расщепления и ларморовской прецессии. Особое внимание уделяется разделению геометрической структуры внутреннего движения и наблюдаемых квантовых состояний, что позволяет объединить геометрическую интерпретацию двухлистной орбиты с современным операторным аппаратом квантовой механики.

В первой части работы новый комплексный идемпотентный базис \[ \left\{ \ep,\;i\ep,\;\em,\;i\em \right\} \] был интерпретирован как внутреннее пространство состояний системы, не совпадающее непосредственно с обычным пространством-временем. Было показано, что взаимно дополнительные идемпотенты могут рассматриваться как проекторы на два внутренних состояния, а операторы перехода между ними естественно порождают полный набор матриц Паули.

Внутреннее двухкомпонентное состояние \[ |\Psi\rangle = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} \] отображается на трёхмерное направление посредством билинейного выражения \[ \mathbf n = \langle\Psi| \boldsymbol{\sigma} |\Psi\rangle, \] а затем — на локальный четырёхмерный вектор и физическое пространство-время.

В настоящей работе эта математическая конструкция применяется к гипотетической модели внутреннего движения электрона. Предполагается, что внутренняя динамика заряда состоит из двух близких ветвей, расположенных по разные стороны от среднего электромагнитного масштаба, соответствующего классическому радиусу электрона. Полный внутренний цикл включает последовательное прохождение обеих ветвей и завершается только после поворота на \(4\pi\).

Основная цель работы состоит не в отождествлении электрона с классической заряженной точкой, движущейся по обычной пространственной окружности, а в построении геометрической модели внутреннего состояния. Две орбиты рассматриваются как два листа одной внутренней траектории, а их ориентация в наблюдаемом трёхмерном пространстве определяется отображением внутреннего двухкомпонентного состояния.

Рассмотрим внутреннее состояние \[ \tag{1} |\Psi(\tau)\rangle = \begin{pmatrix} \psi_+(\tau) \\ \psi_-(\tau) \end{pmatrix}, \qquad \langle\Psi|\Psi\rangle=1, \] где \(\tau\) — параметр внутренней эволюции.

Идемпотенты \[ \tag{2} \ep = \frac{I+\sigma_z}{2}, \qquad \em = \frac{I-\sigma_z}{2} \] выделяют две внутренние компоненты состояния.

Внутреннее состояние можно также записать в алгебраической форме: \[ \tag{3} \Psi(\tau) = \psi_+(\tau)\ep + \psi_-(\tau)\em. \]

Состоянию (1) соответствует единичный пространственный вектор \[ \tag{4} \mathbf n(\tau) = \langle\Psi(\tau)| \boldsymbol{\sigma} |\Psi(\tau)\rangle, \] где \[ \tag{5} \boldsymbol{\sigma} = \left( \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z \right). \]

Вектор \(\mathbf n\) задаёт ориентацию внутренней траектории в наблюдаемом трёхмерном пространстве. Таким образом, сами идемпотентные компоненты не являются пространственными координатами, а определяют внутреннее состояние, которое затем отображается на физическое направление.

Пусть характерный средний радиус внутреннего движения равен классическому радиусу электрона: \[ \tag{6} r_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{m_ec^2} = \alpha_{\mathrm{fs}} \frac{\hbar}{m_ec}. \]

Введём две близкие ветви: \[ \tag{7} r_+ = r_e+\Delta r, \qquad r_- = r_e-\Delta r, \] где \[ \tag{8} \Delta r\ll r_e. \]

Средний радиус удовлетворяет \[ \tag{9} r_e = \frac{r_++r_-}{2}, \] а расстояние между ветвями равно \[ \tag{10} r_+-r_- = 2\Delta r. \]

Ветви предполагаются расположенными в одной локальной плоскости, нормаль к которой определяется вектором \(\mathbf n\). Поэтому при прохождении обеих ветвей сохраняется единая геометрическая ось внутреннего движения.

Две окружности не следует рассматривать как две независимые классические орбиты. Они являются двумя участками одной внутренней траектории: \[ \tag{11} r_+ \longrightarrow r_- \longrightarrow r_+. \]

После прохождения первой ветви система переходит на второй лист внутреннего состояния, а возвращение в исходную конфигурацию происходит только после прохождения второй ветви.

Для описания двух близких ветвей введём внутренний угловой параметр \[ \tag{12} \chi\in[0,4\pi). \]

Радиальную координату зададим выражением \[ \tag{13} r(\chi) = r_e + \Delta r \cos\frac{\chi}{2}. \]

Тогда \[ \tag{14} r(0) = r_e+\Delta r = r_+, \] \[ \tag{15} r(2\pi) = r_e-\Delta r = r_-, \] \[ \tag{16} r(4\pi) = r_e+\Delta r = r_+. \]

Таким образом, после изменения параметра на \(2\pi\) система переходит с одной ветви на другую, а полный радиальный цикл завершается только после изменения параметра на \(4\pi\).

В локальной плоскости, ортогональной вектору \(\mathbf n\), введём два единичных вектора \[ \tag{17} \mathbf e_1, \qquad \mathbf e_2, \qquad \mathbf e_1\times\mathbf e_2 = \mathbf n. \]

Тогда внутреннюю траекторию можно записать как \[ \tag{18} \mathbf R_{\mathrm{int}}(\chi) = r(\chi) \left( \mathbf e_1\cos\chi + \mathbf e_2\sin\chi \right). \]

Выражение (18) описывает непрерывную кривую с медленным переходом между двумя близкими радиальными ветвями. При \(\Delta r\rightarrow0\) она переходит в обычную окружность радиуса \(r_e\).

Поскольку радиальная координата содержит половинный угол \(\chi/2\), геометрическое состояние траектории обладает периодом \(4\pi\), хотя её азимутальная часть содержит обычный угол \(\chi\).

Первую ветвь внутренней траектории сопоставим состоянию \(\ep\), а вторую — состоянию \(\em\): \[ \tag{19} \ep \xrightarrow{\;2\pi\;} \em \xrightarrow{\;2\pi\;} \ep. \]

При этом \(\ep\) и \(\em\) обозначают не две разные пространственные плоскости, а два листа одной внутренней геометрии.

Оператор \[ \tag{20} \sigma_z = \ep-\em \] различает эти листы, тогда как \[ \tag{21} \sigma_x = S_++S_- \] осуществляет их перестановку.

Оператор \[ \tag{22} \sigma_y = -i(S_+-S_-) \] описывает переход между ветвями с дополнительным комплексным фазовым сдвигом.

Таким образом, геометрический переход между двумя ветвями и операторный переход между двумя идемпотентными компонентами являются двумя описаниями одной внутренней двулистной структуры.

Внутреннее двухкомпонентное состояние преобразуется при вращении оператором \[ \tag{23} U(\mathbf n,\theta) = \exp \left[ -\frac{i\theta}{2} \mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} \right]. \]

Используя тождество \[ \tag{24} \left( \mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} \right)^2 = I, \] получаем \[ \tag{25} U(\mathbf n,\theta) = I\cos\frac{\theta}{2} - i \left( \mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} \right) \sin\frac{\theta}{2}. \]

После поворота на \(2\pi\) \[ \tag{26} U(\mathbf n,2\pi) = -I, \] поэтому \[ \tag{27} |\Psi(2\pi)\rangle = -|\Psi(0)\rangle. \]

После поворота на \(4\pi\) \[ \tag{28} U(\mathbf n,4\pi) = I, \] и \[ \tag{29} |\Psi(4\pi)\rangle = |\Psi(0)\rangle. \]

Таким образом, двухлистная геометрия траектории согласуется со спинорной периодичностью: после первого оборота система переходит на сопряжённый лист и получает общий фазовый множитель \(-1\), а после второго оборота возвращается в исходное состояние.

Следует подчеркнуть, что знак волновой функции сам по себе не изменяет билинейный пространственный вектор: \[ \tag{30} \langle-\Psi| \boldsymbol{\sigma} |-\Psi\rangle = \langle\Psi| \boldsymbol{\sigma} |\Psi\rangle. \] Поэтому после поворота на \(2\pi\) наблюдаемое направление \(\mathbf n\) остаётся тем же, хотя внутреннее состояние изменяет знак.

Пусть один геометрический оборот по одной ветви занимает время \[ \tag{31} T_{\mathrm{orb}} = \frac{2\pi}{\omega_{\mathrm{orb}}}. \]

Полный двухлистный цикл состоит из двух оборотов: \[ \tag{32} T_{4\pi} = 2T_{\mathrm{orb}}. \]

Поэтому частота полного состояния равна \[ \tag{33} \nu_{4\pi} = \frac{1}{T_{4\pi}} = \frac{\nu_{\mathrm{orb}}}{2}. \]

Чтобы избежать неоднозначности, в дальнейшем будем различать: \[ \tag{34} \omega_{\mathrm{orb}} \] — угловую частоту прохождения одной ветви, и \[ \tag{35} \omega_{4\pi} = \frac{\omega_{\mathrm{orb}}}{2} \] — угловую частоту полного внутреннего состояния.

В предлагаемой модели связь с массой электрона предполагается устанавливать через частоту полного состояния: \[ \tag{36} m_ec^2 = \hbar\omega_{4\pi}. \]

Тогда частота одного оборота равна \[ \tag{37} \omega_{\mathrm{orb}} = 2\omega_{4\pi} = \frac{2m_ec^2}{\hbar}. \]

Выражение (36) является постулатом модели. Оно связывает энергию покоя не с отдельным прохождением одной ветви, а с полным возвращением внутреннего состояния после периода \(4\pi\).

Ранее постоянная тонкой структуры была интерпретирована как величина, обратная внутреннему лоренц-фактору: \[ \tag{38} \alpha_{\mathrm{fs}} = \frac{1}{\gamma_{\mathrm{int}}}. \]

Тогда \[ \tag{39} \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}, \] и \[ \tag{40} \beta_{\mathrm{int}} = \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}. \]

Внутренняя скорость имеет вид \[ \tag{41} v_{\mathrm{int}} = c\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}. \]

Численно \[ \tag{42} v_{\mathrm{int}} \approx 0.99997337c. \]

Если локальная угловая скорость меняется вместе с радиусом, то условие постоянства линейной скорости можно записать как \[ \tag{43} \dot\chi(\tau) = \frac{v_{\mathrm{int}}} {r(\chi)}. \]

На внешней ветви угловая скорость немного меньше, а на внутренней — немного больше: \[ \tag{44} \dot\chi_+ = \frac{v_{\mathrm{int}}}{r_+}, \qquad \dot\chi_- = \frac{v_{\mathrm{int}}}{r_-}. \]

Такой выбор позволяет сохранить одну и ту же внутреннюю скорость на обеих близких ветвях и избежать сверхсветового движения на внешней ветви.

Времена прохождения ветвей равны \[ \tag{45} T_+ = \frac{2\pi r_+}{v_{\mathrm{int}}}, \qquad T_- = \frac{2\pi r_-}{v_{\mathrm{int}}}. \]

Полный период составляет \[ \tag{46} T_{4\pi} = T_++T_-. \]

Используя \[ r_++r_-=2r_e, \] получаем \[ \tag{47} T_{4\pi} = \frac{4\pi r_e} {v_{\mathrm{int}}}. \]

Следовательно, частота полного внутреннего состояния равна \[ \tag{48} \nu_{4\pi} = \frac{v_{\mathrm{int}}} {4\pi r_e}, \] а угловая частота \[ \tag{49} \omega_{4\pi} = 2\pi\nu_{4\pi} = \frac{v_{\mathrm{int}}} {2r_e}. \]

При этом средняя угловая частота одного геометрического оборота равна \[ \tag{50} \omega_{\mathrm{orb}} = 2\omega_{4\pi} = \frac{v_{\mathrm{int}}}{r_e}. \]

Таким образом, симметричное расположение двух ветвей относительно \(r_e\) приводит к тому, что полный период не зависит от величины \(\Delta r\) в первом приближении. Он определяется средним радиусом и внутренней скоростью.

Подставляя выражение \[ r_e = \alpha_{\mathrm{fs}} \frac{\hbar}{m_ec} \] и скорость \[ v_{\mathrm{int}} = c\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \] в формулу (49), получаем \[ \tag{51} \omega_{4\pi} = \frac{m_ec^2} {2\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar} \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}. \]

Соответственно, \[ \tag{52} \hbar\omega_{4\pi} = \frac{m_ec^2} {2\alpha_{\mathrm{fs}}} \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}. \]

Это выражение не совпадает с постулатом \[ m_ec^2 = \hbar\omega_{4\pi}. \] Следовательно, классический радиус, внутренняя скорость, определяемая через \(\alpha_{\mathrm{fs}}\), и отождествление энергии покоя с полной \(4\pi\)-частотой не могут быть одновременно независимыми предположениями.

Для согласования модели необходимо выбрать два исходных соотношения, а третье рассматривать как следствие или как приближённую связь. В настоящей работе геометрическая периодичность отделяется от энергетической гипотезы, чтобы не скрывать возникающий дополнительный коэффициент.

Введём две различные частоты: \[ \tag{53} \omega_{\mathrm{geom}} = \frac{v_{\mathrm{int}}} {2r_e} \] — частоту геометрического \(4\pi\)-цикла, и \[ \tag{54} \omega_E = \frac{m_ec^2}{\hbar} \] — энергетическую частоту покоя электрона.

Их отношение равно \[ \tag{55} \frac{\omega_{\mathrm{geom}}}{\omega_E} = \frac{ \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} }{ 2\alpha_{\mathrm{fs}} }. \]

Следовательно, для прямого отождествления этих частот потребовалось бы изменить характерный радиус или правило связи между геометрическим периодом и энергией.

Поэтому в дальнейшем геометрический двухлистный цикл используется прежде всего для описания спинорной периодичности, тогда как связь массы с внутренней частотой сохраняется как отдельная динамическая гипотеза.

Движение заряда по замкнутой траектории создаёт круговой ток. Для одного полного геометрического оборота по окружности радиуса \(r\) классический магнитный момент имеет вид \[ \tag{56} \mu_{\mathrm{circ}} = \frac{e\omega r^2}{2}. \]

Для отрицательного заряда направление магнитного момента противоположно направлению механического углового момента: \[ \tag{57} \boldsymbol{\mu} = -\mu\mathbf n. \]

Поскольку обе ветви лежат в одной локальной плоскости и проходятся в одном направлении, их магнитные моменты направлены вдоль одной оси. Они различаются только по модулю: \[ \tag{58} \mu_+ = \frac{e\omega_+r_+^2}{2}, \qquad \mu_- = \frac{e\omega_-r_-^2}{2}. \]

При постоянной линейной скорости \[ \omega_pm = \frac{v_{\mathrm{int}}}{r_pm}, \] поэтому \[ \tag{59} \mu_pm = \frac{ev_{\mathrm{int}}r_pm}{2}. \]

Средний магнитный момент равен \[ \tag{60} \overline{\mu} = \frac{\mu_++\mu_-}{2} = \frac{ev_{\mathrm{int}}}{4} \left( r_++r_- \right). \]

Используя \[ r_++r_-=2r_e, \] получаем \[ \tag{61} \overline{\mu} = \frac{ev_{\mathrm{int}}r_e}{2}. \]

Подстановка \[ v_{\mathrm{int}} = c\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \] и \[ r_e = \alpha_{\mathrm{fs}} \frac{\hbar}{m_ec} \] даёт \[ \tag{62} \overline{\mu} = \alpha_{\mathrm{fs}} \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \frac{e\hbar}{2m_e}. \]

Следовательно, \[ \tag{63} \overline{\mu} = \alpha_{\mathrm{fs}} \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \mu_B. \]

Классический круговой ток по двум близким ветвям сам по себе не воспроизводит магнетон Бора. Для получения масштаба \[ \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \] необходим дополнительный внутренний коэффициент.

В предыдущей модели таким коэффициентом был внутренний лоренц-фактор: \[ \tag{64} \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}. \]

После его учёта получаем \[ \tag{65} \mu^{(0)} = \gamma_{\mathrm{int}} \overline{\mu} = \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}\mu_B. \]

Поскольку \[ \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \approx 0.99997337, \] результат близок к магнетону Бора, но не совпадает с ним точно: \[ \tag{66} \mu^{(0)} \approx 0.99997337\mu_B. \]

Таким образом, использование физической скорости, немного меньшей \(c\), приводит к небольшой геометрической поправке. Точное получение магнетона Бора требует либо иной нормировки магнитного момента, либо дополнительного релятивистского правила преобразования внутреннего тока.

Геометрическая периодичность \(4\pi\) сама по себе не определяет величину углового момента. Поэтому оператор спина вводится на внутреннем пространстве состояний: \[ \tag{67} \hat{\mathbf S} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma}. \]

Его компоненты удовлетворяют \[ \tag{68} \left[ \hat S_i,\hat S_j \right] = i\hbar \varepsilon_{ijk} \hat S_k. \]

Квадрат оператора спина равен \[ \tag{69} \hat{\mathbf S}^2 = \frac{3}{4}\hbar^2I. \]

Собственные значения проекции на выбранное направление: \[ \tag{70} S_{\mathbf n} = \pm\frac{\hbar}{2}. \]

В предлагаемой модели матрицы Паули возникают как операторы преобразования двух идемпотентных компонент. Однако коэффициент \(\hbar/2\) остаётся квантовой нормировкой оператора спина и пока не выводится непосредственно из размеров двух орбит.

Две ветви объясняют двулистность и периодичность внутреннего состояния, а значение спина определяется операторной структурой пространства состояний.

Магнитный момент электрона связывается со спином выражением \[ \tag{71} \hat{\boldsymbol{\mu}} = -g_e \frac{e}{2m_e} \hat{\mathbf S}. \]

С учётом \[ \hat{\mathbf S} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} \] получаем \[ \tag{72} \hat{\boldsymbol{\mu}} = -\frac{g_e}{2} \mu_B \boldsymbol{\sigma}. \]

Для дираковского значения \[ \tag{73} g_e=2 \] имеем \[ \tag{74} \hat{\boldsymbol{\mu}} = -\mu_B \boldsymbol{\sigma}. \]

При этом проекции магнитного момента на направление \(\mathbf n\) равны \[ \tag{75} \mu_{\mathbf n} = \mp\frac{g_e}{2}\mu_B. \]

Следует различать классический магнитный момент кругового тока и квантовый оператор магнитного момента. Первый связан с геометрией внутренней траектории, а второй действует на двухкомпонентное состояние и определяет наблюдаемые магнитные проекции.

В настоящей модели предполагается, что классическая внутренняя траектория задаёт геометрическую основу магнитного момента, тогда как его точное значение и ориентация определяются оператором (71).

Во внешнем магнитном поле \(\mathbf B\) гамильтониан взаимодействия имеет вид \[ \tag{76} \hat H_B = -\hat{\boldsymbol{\mu}} \cdot \mathbf B. \]

Подставляя выражение (72), получаем \[ \tag{77} \hat H_B = \frac{g_e\mu_B}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf B. \]

Знак гамильтониана зависит от принятого обозначения заряда электрона и направления оператора магнитного момента. Физически существенной является разность собственных энергий.

Для поля, направленного вдоль оси \(z\), \[ \tag{78} \mathbf B = B\mathbf e_z, \] гамильтониан принимает вид \[ \tag{79} \hat H_B = \frac{g_e\mu_BB}{2} \sigma_z. \]

Его собственные значения: \[ \tag{80} E_+ = +\frac{g_e\mu_BB}{2}, \qquad E_- = -\frac{g_e\mu_BB}{2}. \]

Расщепление уровней равно \[ \tag{81} \Delta E = E_+-E_- = g_e\mu_BB. \]

Таким образом, внешнее магнитное поле расщепляет не две геометрические окружности как таковые, а два собственных состояния оператора \[ \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf B. \]

Геометрические ветви \(r_+\) и \(r_-\) задают двулистную внутреннюю структуру, тогда как состояния с энергиями \(E_+\) и \(E_-\) являются квантовыми проекциями этой структуры относительно внешнего поля.

Пусть начальное состояние представляет собой суперпозицию собственных состояний магнитного гамильтониана: \[ \tag{82} |\Psi(0)\rangle = a|+\rangle + b|-\rangle. \]

Его временная эволюция имеет вид \[ \tag{83} |\Psi(t)\rangle = a e^{-iE_+t/\hbar} |+\rangle + b e^{-iE_-t/\hbar} |-\rangle. \]

Разность фаз двух компонент равна \[ \tag{84} \Delta\phi(t) = \frac{E_+-E_-}{\hbar}t. \]

Используя выражение (81), получаем \[ \tag{85} \Delta\phi(t) = \frac{g_e\mu_BB}{\hbar}t. \]

Следовательно, угловая частота прецессии равна \[ \tag{86} \omega_{\mathrm{prec}} = \frac{g_e\mu_BB}{\hbar}. \]

Поскольку \[ \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}, \] получаем \[ \tag{87} \omega_{\mathrm{prec}} = \frac{g_ee}{2m_e}B. \]

Для дираковского значения \(g_e=2\) \[ \tag{88} \omega_{\mathrm{prec}} = \frac{eB}{m_e}. \]

Прецессирует не обязательно сама внутренняя окружность как твёрдый геометрический объект. Прецессирует отображённый вектор \[ \tag{89} \mathbf n(t) = \langle\Psi(t)| \boldsymbol{\sigma} |\Psi(t)\rangle. \]

Его эволюция удовлетворяет уравнению \[ \tag{90} \frac{d\mathbf n}{dt} = \frac{g_e\mu_B}{\hbar} \mathbf n\times\mathbf B. \]

Таким образом, медленная пространственная прецессия возникает как следствие накопления относительной фазы между двумя внутренними компонентами состояния.

Пусть локальная плоскость внутренней траектории задаётся векторами \[ \mathbf e_1(t), \qquad \mathbf e_2(t), \] а её нормаль равна \[ \tag{91} \mathbf n(t) = \mathbf e_1(t) \times \mathbf e_2(t). \]

Тогда полную внутреннюю траекторию можно записать как \[ \tag{92} \mathbf R_{\mathrm{int}}(\chi,t) = r(\chi) \left[ \mathbf e_1(t)\cos\chi + \mathbf e_2(t)\sin\chi \right]. \]

Параметр \(\chi\) описывает быстрое внутреннее движение по двум ветвям, а зависимость базисных векторов от времени описывает медленное изменение ориентации всей внутренней плоскости.

Таким образом, в модели присутствуют два различных временных масштаба: \[ \tag{93} \omega_{\mathrm{int}} \gg \omega_{\mathrm{prec}}. \]

Быстрое движение связано с внутренним прохождением двухлистной траектории, а медленное — с прецессией её отображения во внешнем магнитном поле.

Важно не отождествлять напрямую: \[ r_+ \quad\text{и}\quad r_- \] с состояниями \[ |+\rangle \quad\text{и}\quad |-\rangle. \]

Первая пара относится к геометрическим листам внутренней траектории, а вторая — к собственным состояниям оператора магнитной проекции.

Возможная связь между ними задаётся отображением: \[ \tag{94} \left( r_+,r_- \right) \longrightarrow |\Psi\rangle \longrightarrow \mathbf n \longrightarrow \mu_{\mathbf n}. \]

То есть геометрическая двулистность формирует двухкомпонентное внутреннее пространство, а направление внешнего поля выбирает в этом пространстве два собственных квантовых состояния.

При изменении направления магнитного поля изменяются не сами радиусы \(r_+\) и \(r_-\), а базис собственных состояний \[ \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf B. \]

Величина \(\Delta r\) пока не определяется операторной структурой модели. Для её физического вывода необходимо задать внутренний потенциал или геометрическое условие устойчивости.

Например, можно предположить существование эффективного потенциала \[ \tag{95} U(r), \] имеющего два близких минимума: \[ \tag{96} \left. \frac{dU}{dr} \right|_{r=r_+} = 0, \qquad \left. \frac{dU}{dr} \right|_{r=r_-} = 0. \]

При этом устойчивость требует \[ \tag{97} \left. \frac{d^2U}{dr^2} \right|_{r=r_+} >0, \qquad \left. \frac{d^2U}{dr^2} \right|_{r=r_-} >0. \]

В простейшем симметричном виде такой потенциал можно записать как \[ \tag{98} U(r) = \lambda \left[ (r-r_e)^2-(\Delta r)^2 \right]^2, \] где \(\lambda>0\).

Минимумы потенциала находятся в точках \[ \tag{99} r=r_e\pm\Delta r. \]

Выражение (98) является лишь модельным примером. Оно показывает, каким образом две близкие ветви могут возникать как устойчивые состояния одной внутренней радиальной координаты.

Переход между двумя ветвями можно описывать либо непрерывной траекторией (13), либо операторной динамикой двухкомпонентного состояния.

В операторном виде внутренний гамильтониан может быть записан как \[ \tag{100} \hat H_{\mathrm{int}} = E_0I + \Delta_0\sigma_z + \kappa\sigma_x, \] где:

\(E_0\) — средняя энергия внутреннего состояния;

\(\Delta_0\) — возможная собственная асимметрия двух ветвей;

\(\kappa\) — амплитуда перехода между ними.

Если ветви полностью симметричны, \[ \tag{101} \Delta_0=0, \] то \[ \tag{102} \hat H_{\mathrm{int}} = E_0I+\kappa\sigma_x. \]

Тогда собственными состояниями являются симметричная и антисимметричная комбинации: \[ \tag{103} |\Psi_s\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \left( |\ep\rangle+|\em\rangle \right), \] \[ \tag{104} |\Psi_a\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \left( |\ep\rangle-|\em\rangle \right). \]

Их энергии равны \[ \tag{105} E_s = E_0+\kappa, \qquad E_a = E_0-\kappa. \]

Внутреннее расщепление составляет \[ \tag{106} \Delta E_{\mathrm{int}} = 2\kappa. \]

Это расщепление существует независимо от внешнего магнитного поля и относится к собственному переходу между геометрическими ветвями. Его не следует смешивать с зеемановским расщеплением \[ \Delta E_B = g_e\mu_BB. \]

С учётом внешнего магнитного поля общий гамильтониан можно записать как \[ \tag{107} \hat H = E_0I + \Delta_0\sigma_z + \kappa\sigma_x + \frac{g_e\mu_B}{2} \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf B. \]

Вектор коэффициентов при матрицах Паули имеет вид \[ \tag{108} \mathbf h = \left( \kappa+\frac{g_e\mu_B}{2}B_x, \; \frac{g_e\mu_B}{2}B_y, \; \Delta_0+\frac{g_e\mu_B}{2}B_z \right). \]

Тогда \[ \tag{109} \hat H = E_0I + \mathbf h\cdot\boldsymbol{\sigma}. \]

Собственные энергии равны \[ \tag{110} E_\pm = E_0 \pm |\mathbf h|. \]

Полное расщепление: \[ \tag{111} \Delta E = 2|\mathbf h|. \]

Эта формула показывает, что внутреннее геометрическое взаимодействие между ветвями и внешнее магнитное поле складываются в одном двухкомпонентном операторном пространстве.

Ранее относительное отличие физического радиуса от светового предела оценивалось как \[ \tag{112} 1- \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \approx \frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2}. \]

Это позволяет рассмотреть гипотезу \[ \tag{113} \frac{\Delta r}{r_e} = \frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2}. \]

Тогда \[ \tag{114} \Delta r = \frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2} r_e. \]

Численно \[ \tag{115} \frac{\Delta r}{r_e} \approx 2.66\cdot10^{-5}. \]

Это означает, что две ветви практически неразличимы в масштабе \(r_e\).

Однако выражение (113) пока является геометрическим предположением. Для его обоснования необходимо вывести \(\Delta r\) из внутреннего потенциала, уравнения движения или условия энергетического минимума.

Экспериментальный магнитный момент электрона отличается от дираковского значения небольшой аномальной поправкой: \[ \tag{116} g_e = 2(1+a_e). \]

В рамках данной геометрической модели можно исследовать, связано ли малое различие радиусов \[ \frac{\Delta r}{r_e}\ll1 \] с величиной \(a_e\).

Однако прямое отождествление \[ \tag{117} a_e \sim \frac{\Delta r}{r_e} \] не следует из построенной алгебры и требует отдельного динамического вывода.

Поэтому в настоящей работе двойная орбита используется для объяснения двулистной геометрии и внутреннего перехода, но не рассматривается как уже полученное объяснение аномального магнитного момента.

Предложенная модель имеет несколько качественных общих черт с эффектом zitterbewegung, возникающим в теории Дирака.

Во-первых, обе конструкции предполагают быстрое внутреннее движение, отделённое от наблюдаемого движения центра частицы.

Во-вторых, внутреннее состояние является двухкомпонентным и требует операторов, смешивающих различные компоненты.

В-третьих, наблюдаемое пространственное направление возникает как билинейное выражение от внутреннего состояния, а не как прямая координата внутреннего базиса.

При этом предлагаемая двухорбитальная геометрия не выводится из уравнения Дирака и не является его заменой. Она рассматривается как возможная геометрическая интерпретация внутренней двулистной структуры спинорного состояния.

Если буквально трактовать внутреннюю траекторию как движение точечного заряда в обычном пространстве, ускоренное движение должно сопровождаться электромагнитным излучением.

Поэтому в рамках настоящей модели внутренняя орбита рассматривается прежде всего как траектория в пространстве состояний, а не как классическая траектория локализованной заряженной точки.

Наблюдаемое электромагнитное поле определяется усреднённым внутренним состоянием и его операторным магнитным моментом.

Такое толкование позволяет избежать прямого применения классической формулы излучения к внутренней фазовой координате, однако строгий механизм отсутствия излучения должен быть выведен из полного динамического уравнения.

В настоящей модели величина \[ r_e = \frac{e^2} {4\pi\varepsilon_0m_ec^2} \] не рассматривается как установленная пространственная граница электрона.

Она интерпретируется как характерный внутренний электромагнитный масштаб, относительно которого расположены две близкие ветви: \[ r_-=r_e-\Delta r, \qquad r_+=r_e+\Delta r. \]

Такой подход позволяет сохранить совместимость с представлением электрона как точечного объекта во внешнем пространстве-времени: внутренняя орбита относится к пространству состояний и проявляется в физическом мире через магнитный момент, ориентацию и фазовую эволюцию.

Полученную конструкцию можно представить в виде последовательности: \[ \tag{118} \boxed{ \begin{array}{c} \text{два идемпотентных состояния} \\[4pt] \ep,\em \\[8pt] \downarrow \\[8pt] \text{две близкие внутренние ветви} \\[4pt] r_+,r_- \\[8pt] \downarrow \\[8pt] \text{полный цикл} \\[4pt] \ep \xrightarrow{2\pi} \em \xrightarrow{2\pi} \ep \\[8pt] \downarrow \\[8pt] \text{спинорная периодичность} \\[4pt] |\Psi(2\pi)\rangle = -|\Psi(0)\rangle \\[4pt] |\Psi(4\pi)\rangle = |\Psi(0)\rangle \\[8pt] \downarrow \\[8pt] \text{оператор спина} \\[4pt] \hat{\mathbf S} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} \\[8pt] \downarrow \\[8pt] \text{магнитный момент} \\[4pt] \hat{\boldsymbol{\mu}} = -g_e \frac{e}{2m_e} \hat{\mathbf S} \\[8pt] \downarrow \\[8pt] \text{зеемановское расщепление} \\[4pt] \Delta E = g_e\mu_BB \\[8pt] \downarrow \\[8pt] \text{прецессия} \\[4pt] \omega_{\mathrm{prec}} = \frac{g_e\mu_BB}{\hbar} \end{array} } \]

В этой последовательности геометрическая двухлистность и операторная динамика выполняют разные, но согласованные функции. Двойная орбита задаёт внутреннюю топологию состояния, а матрицы Паули описывают его преобразования и отображение в наблюдаемое трёхмерное пространство.

Построенная схема позволяет согласованно описать двухлистную внутреннюю геометрию, периодичность \(4\pi\), двухкомпонентное состояние, оператор спина, магнитное расщепление и прецессию.

При этом остаются вопросы, которые в настоящей работе не считаются решёнными.

Во-первых, расстояние \(\Delta r\) между двумя ветвями пока не выведено из фундаментального уравнения.

Во-вторых, коэффициент \(\hbar/2\) в операторе спина вводится как квантовая нормировка и не получен непосредственно из размеров внутренней траектории.

В-третьих, точное значение магнитного момента и коэффициента \(g_e\) определяется операторным законом и пока не выводится полностью из классического кругового тока.

В-четвёртых, геометрическая частота двухлистного цикла и энергетическая частота покоя электрона не совпадают автоматически. Их связь требует дополнительного динамического уравнения.

В-пятых, внутренняя орбита должна рассматриваться как элемент пространства состояний, а не как непосредственно наблюдаемая классическая траектория заряда.

В работе предложена геометрическая модель внутреннего состояния электрона, основанная на двух близких ветвях, расположенных по разные стороны от среднего электромагнитного масштаба \(r_e\). Ветви описываются единой непрерывной траекторией \[ r(\chi) = r_e + \Delta r \cos\frac{\chi}{2}, \] которая возвращается в исходное радиальное состояние только после изменения параметра на \(4\pi\).

Две ветви сопоставляются взаимно дополнительным идемпотентным состояниям \[ \ep \quad\text{и}\quad \em. \] Переход \[ \ep \xrightarrow{2\pi} \em \xrightarrow{2\pi} \ep \] задаёт двулистную внутреннюю геометрию и согласуется со спинорным преобразованием \[ |\Psi(2\pi)\rangle = -|\Psi(0)\rangle, \qquad |\Psi(4\pi)\rangle = |\Psi(0)\rangle. \]

Пространственная ориентация внутренней траектории определяется не самими радиусами, а отображением двухкомпонентного состояния: \[ \mathbf n = \langle\Psi| \boldsymbol{\sigma} |\Psi\rangle. \] Поэтому внутреннее движение может оставаться одномерным и двухлистным, тогда как его проявление в наблюдаемом мире имеет произвольную ориентацию в трёхмерном пространстве.

Оператор спина \[ \hat{\mathbf S} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} \] и оператор магнитного момента \[ \hat{\boldsymbol{\mu}} = -g_e \frac{e}{2m_e} \hat{\mathbf S} \] позволяют получить два магнитных состояния, зеемановское расщепление \[ \Delta E = g_e\mu_BB \] и частоту прецессии \[ \omega_{\mathrm{prec}} = \frac{g_e\mu_BB}{\hbar}. \]

При этом две геометрические ветви не отождествляются напрямую с состояниями spin-up и spin-down. Они формируют внутреннее двухкомпонентное пространство, в котором направление внешнего поля выбирает собственные состояния магнитной проекции.

Модель показывает, что двойная орбита может служить геометрическим образом двулистной спинорной структуры, а матрицы Паули — естественным аппаратом её преобразования и отображения в физический мир. Однако окончательное получение расстояния между ветвями, магнитного момента, коэффициента \(g_e\), энергетической частоты и устойчивости внутреннего состояния требует дальнейшего динамического развития модели.