Во второй части исследуется геометрическая гипотеза двух близких ветвей одного внутреннего контура со средним масштабом \(r_e\). Внутренний угловой цикл имеет период \(4\pi\). Физический спин описывается отдельно принятым спинорным представлением; совпадение периодов не является доказательством их общего механизма.

Рассматриваются внутренняя метрическая норма, условная связь с внутренней скоростью, различие геометрической и энергетической частот, а также операторное описание магнитного момента и прецессии. Геометрия листов, пространство спина и внешнее движение имеют разные физические роли.

В первой части работы новый комплексный идемпотентный базис \[ \left\{ \ep,\;i\ep,\;\em,\;i\em \right\} \] был интерпретирован как внутреннее пространство состояний системы, не совпадающее непосредственно с обычным пространством-временем. Было показано, что взаимно дополнительные идемпотенты могут рассматриваться как проекторы на два внутренних состояния, а операторы перехода между ними естественно порождают полный набор матриц Паули.

Для нормированного чистого спинового состояния \[ |\Psi\rangle = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} \] билинейное выражение \[ \mathbf n = \langle\Psi| \boldsymbol{\sigma} |\Psi\rangle, \] задаёт единичный вектор поляризации. Его соответствие ориентации внутреннего контура принимается отдельным отображением. Оно само по себе не строит координаты пространства-времени.

Здесь сохраняется исследовательский вариант со средним радиусом \(r_e\). Он отличается от комптоновского зарядового контура среднего радиуса \(R=\hbar/(m_ec)\), рассмотренного в статье о магнитном моменте. Соотношение \(r_e=\alpha_{\mathrm{fs}}R\) связывает масштабы, но не доказывает существование двух физических контуров или отображение между ними. Формулы двух вариантов нельзя переносить друг в друга без такого отображения.

Основная цель — исследовать внутреннюю геометрическую модель, а не движение классической заряженной точки. Ветви относятся к внутреннему контуру; его ориентация может быть связана с поляризацией спина только дополнительным физическим правилом.

Рассмотрим нормированное чистое состояние в отдельно введённом спиновом пространстве: \[ \tag{1} |\Psi(\tau)\rangle = \begin{pmatrix} \psi_+(\tau) \\ \psi_-(\tau) \end{pmatrix}, \qquad \langle\Psi|\Psi\rangle=1, \] Параметр \(\tau\) ниже означает время в системе покоя центра электрона. Он не является автоматически собственным временем гипотетического носителя внутреннего движения.

В спиновом пространстве проекторы \[ \tag{2} \ep = \frac{I+\sigma_z}{2}, \qquad \em = \frac{I-\sigma_z}{2} \] выделяют две компоненты относительно выбранной оси. Их не следует отождествлять с геометрическими листами контура.

Внутреннее состояние можно также записать в алгебраической форме: \[ \tag{3} \Psi(\tau) = \psi_+(\tau)\ep + \psi_-(\tau)\em. \]

Состоянию (1) соответствует единичный пространственный вектор \[ \tag{4} \mathbf n(\tau) = \langle\Psi(\tau)| \boldsymbol{\sigma} |\Psi(\tau)\rangle, \] где \[ \tag{5} \boldsymbol{\sigma} = \left( \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z \right). \]

Вектор \(\mathbf n\) описывает спиновую поляризацию. Соответствие этой поляризации нормали внутреннего контура является гипотезой. Для смешанного спинового состояния длина вектора поляризации может быть меньше единицы; дальнейшее геометрическое построение относится к чистому полностью поляризованному состоянию.

В данном исследовательском варианте примем средний радиус равным классическому электромагнитному масштабу: \[ \tag{6} r_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{m_ec^2} = \alpha_{\mathrm{fs}} \frac{\hbar}{m_ec}. \] Это назначение радиуса, а не измеренный размер электрона.

Введём две близкие ветви: \[ \tag{7} r_+ = r_e+\Delta r, \qquad r_- = r_e-\Delta r, \] где \[ \tag{8} \Delta r\ll r_e. \]

Средний радиус удовлетворяет \[ \tag{9} r_e = \frac{r_++r_-}{2}, \] а расстояние между ветвями равно \[ \tag{10} r_+-r_- = 2\Delta r. \]

Ветви предполагаются расположенными в одной локальной плоскости, нормаль к которой определяется вектором \(\mathbf n\). Поэтому при прохождении обеих ветвей сохраняется единая геометрическая ось внутреннего движения.

Две окружности не следует рассматривать как две независимые классические орбиты. Они являются двумя участками одной внутренней траектории: \[ \tag{11} r_+ \longrightarrow r_- \longrightarrow r_+. \]

После прохождения первой ветви система переходит на второй лист внутреннего состояния, а возвращение в исходную конфигурацию происходит только после прохождения второй ветви.

Для описания двух близких ветвей введём внутренний угловой параметр \[ \tag{12} \chi\in[0,4\pi). \]

Радиальную координату зададим выражением \[ \tag{13} r(\chi) = r_e + \Delta r \cos\frac{\chi}{2}. \]

Тогда \[ \tag{14} r(0) = r_e+\Delta r = r_+, \] \[ \tag{15} r(2\pi) = r_e-\Delta r = r_-, \] \[ \tag{16} r(4\pi) = r_e+\Delta r = r_+. \]

Таким образом, после изменения параметра на \(2\pi\) система переходит с одной ветви на другую, а полный радиальный цикл завершается только после изменения параметра на \(4\pi\).

В локальной плоскости, ортогональной вектору \(\mathbf n\), введём два единичных вектора \[ \tag{17} \mathbf e_1, \qquad \mathbf e_2, \qquad \mathbf e_1\times\mathbf e_2 = \mathbf n. \]

Тогда внутреннюю траекторию можно записать как \[ \tag{18} \mathbf R_{\mathrm{int}}(\chi) = r(\chi) \left( \mathbf e_1\cos\chi + \mathbf e_2\sin\chi \right). \]

Выражение (18) задаёт плавно модулированную радиальную кривую, а не две точные окружности с отдельными радиальными соединениями. При \(\Delta r\to0\) её пространственный образ становится окружностью радиуса \(r_e\), проходящейся дважды за интервал \(4\pi\). Различение внутренних листов в этом пределе требует дополнительной метки состояния.

При ненулевом \(\Delta r\) радиальная функция имеет период \(4\pi\), а азимут — период \(2\pi\). Это периодичность выбранной параметризации. Возможные совпадения пространственных точек не означают совпадение полного внутреннего состояния и не доказывают топологическую устойчивость частицы.

Для описания листов введём отдельное пространство \(\mathcal H_\Gamma\simeq\mathbb C^2\) с базисом \(|\Gamma_+\rangle,|\Gamma_-\rangle\) и проекторами \(P_{\Gamma,\pm}=|\Gamma_\pm\rangle\langle\Gamma_\pm|\). Схематическая последовательность обхода записывается как \[ \tag{19} P_{\Gamma,+}\xrightarrow{\;2\pi\;}P_{\Gamma,-}\xrightarrow{\;2\pi\;}P_{\Gamma,+}. \]

Проекторы \(P_{\Gamma,\pm}\) маркируют листы. Спиновые проекторы \(\ep,\em\) из (2) действуют в другом пространстве \(\mathcal H_s\). Двухлистное продолжение может описываться множителем \(Q_\Gamma\), согласованным со статьёй о глубоком расщеплении; заряд задаётся независимым сектором.

В листовом пространстве матрицы \(\boldsymbol\tau\), алгебраически аналогичные матрицам Паули, задают \[ \tag{20} \tau_z=P_{\Gamma,+}-P_{\Gamma,-}, \] и \[ \tag{21} \tau_x=S_{\Gamma,+}+S_{\Gamma,-}, \] где \(S_{\Gamma,+}=|\Gamma_+\rangle\langle\Gamma_-|\), \(S_{\Gamma,-}=S_{\Gamma,+}^{\dagger}\).

Оператор \[ \tag{22} \tau_y=-i(S_{\Gamma,+}-S_{\Gamma,-}). \] описывает переход с дополнительным фазовым множителем. Он не является компонентой физического спина.

При независимом описании листов и спина пространство имеет вид \(\mathcal H_\Gamma\otimes\mathcal H_s\). Отождествление этих двух бинарных факторов не принимается. Возможная связь должна задаваться отображением или оператором взаимодействия.

Для физических вращений спинового состояния примем стандартный закон \[ \tag{23} U(\mathbf n,\theta) = \exp \left[ -\frac{i\theta}{2} \mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} \right]. \] Угол \(\theta\) относится к повороту относительно лабораторной оси и отличается от внутреннего параметра \(\chi\).

Используя тождество \[ \tag{24} \left( \mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} \right)^2 = I, \] получаем \[ \tag{25} U(\mathbf n,\theta) = I\cos\frac{\theta}{2} - i \left( \mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} \right) \sin\frac{\theta}{2}. \]

После поворота на \(2\pi\) \[ \tag{26} U(\mathbf n,2\pi) = -I, \] поэтому \[ \tag{27} |\Psi(2\pi)\rangle = -|\Psi(0)\rangle. \]

После поворота на \(4\pi\) \[ \tag{28} U(\mathbf n,4\pi) = I, \] и \[ \tag{29} |\Psi(4\pi)\rangle = |\Psi(0)\rangle. \]

Из принятого закона (23) следует общий спинорный знак после физического поворота на \(2\pi\). Из геометрии (13) следует иной результат — восстановление радиального состояния после внутреннего цикла \(4\pi\). Их соответствие требует отдельного доказательства; переход между листами сам по себе не создаёт общий множитель \(-1\).

Следует подчеркнуть, что знак волновой функции сам по себе не изменяет билинейный пространственный вектор: \[ \tag{30} \langle-\Psi| \boldsymbol{\sigma} |-\Psi\rangle = \langle\Psi| \boldsymbol{\sigma} |\Psi\rangle. \] Поэтому после поворота на \(2\pi\) наблюдаемое направление \(\mathbf n\) остаётся тем же, хотя внутреннее состояние изменяет знак.

В круговом приближении определим среднее время одного оборота: \[ \tag{31} T_{\mathrm{orb}} = \frac{2\pi}{\omega_{\mathrm{orb}}}. \]

Без времени соединяющих переходов полный цикл содержит два средних оборота: \[ \tag{32} T_{4\pi} = 2T_{\mathrm{orb}}. \]

Поэтому частота полного состояния равна \[ \tag{33} \nu_{4\pi} = \frac{1}{T_{4\pi}} = \frac{\nu_{\mathrm{orb}}}{2}. \]

Чтобы избежать неоднозначности, в дальнейшем будем различать: \[ \tag{34} \omega_{\mathrm{orb}} \] — угловую частоту прохождения одной ветви, и \[ \tag{35} \omega_{4\pi} = \frac{\omega_{\mathrm{orb}}}{2} \] — угловую частоту полного внутреннего состояния.

Энергетическую частоту определим независимо от периода контура: \[ \tag{36} m_ec^2=\hbar\omega_E,\qquad\omega_E=\frac{m_ec^2}{\hbar}. \]

Геометрическая частота полного цикла и средняя частота оборота связаны как \[ \tag{37} \omega_{\mathrm{orb}}=2\omega_{4\pi},\qquad\omega_{4\pi}\not\equiv\omega_E. \] Их связь с \(\omega_E\) будет рассмотрена отдельно.

Равенство (36) определяет \(\omega_E\) через энергию покоя. Прежнее отождествление \(\omega_E=\omega_{4\pi}\) здесь не принимается. Внутренняя геометрическая периодичность сама по себе не определяет массу.

В работах о бесконечном расщеплении и энергетическом инварианте норма самоподобного состояния получается после задания метрики и коэффициента перехода. Для внутреннего уровня введём независимый коэффициент \(\rho_{\mathrm{int}}\): \(\boldsymbol\Gamma_{\rho}=\sum_{n\ge0}\rho_{\mathrm{int}}^n\boldsymbol\xi_n\), \(\|\boldsymbol\Gamma_{\rho}\|=(1-\rho_{\mathrm{int}}^2)^{-1/2}=\kappa_{\mathrm{int}}\). Отдельно примем метрическую гипотезу \[ \tag{38} \alpha_{\mathrm{fs}} = \frac{1}{\kappa_{\mathrm{int}}}. \]

Эта гипотеза даёт \[ \tag{39} \kappa_{\mathrm{int}} = \frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}, \] и \[ \tag{40} \rho_{\mathrm{int}} = \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}. \] Значение \(\kappa_{\mathrm{int}}=1/\alpha_{\mathrm{fs}}\) не выбирается самой теоремой о расщеплении: оно задано дополнительно.

Для дальнейшей кинематической оценки дополнительно примем отображение \(v_{\mathrm{int}}=c\rho_{\mathrm{int}}\): \[ \tag{41} v_{\mathrm{int}} = c\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}. \] Оно не следует из метрической нормы. Здесь \(v_{\mathrm{int}}\) — предполагаемая скорость вдоль внутреннего контура относительно времени \(\tau\).

При принятой гипотезе численно \[ \tag{42} v_{\mathrm{int}} \approx 0.99997337c. \] Внешний фактор \(\gamma_{\mathrm{ext}}=(1-v_{\mathrm{центр}}^2/c^2)^{-1/2}\) относится к движению всего электрона и в системе покоя центра равен единице. Он не отождествляется с \(\kappa_{\mathrm{int}}\).

Для плавной кривой (18) при фиксированной плоскости \(|d\mathbf R_{\mathrm{int}}/d\chi|=\sqrt{r^2+(dr/d\chi)^2}\). Поэтому постоянная скорость вдоль кривой требует \[ \tag{43} \dot\chi(\tau)=\frac{v_{\mathrm{int}}}{\sqrt{r(\chi)^2+[r^{\prime}(\chi)]^2}}. \]

На точных круговых ветвях радиальная производная равна нулю, и получаются \[ \tag{44} \dot\chi_+ = \frac{v_{\mathrm{int}}}{r_+}, \qquad \dot\chi_- = \frac{v_{\mathrm{int}}}{r_-}. \] Эти выражения являются круговым приближением, а не точным законом для (18).

Включение радиальной составляющей обеспечивает заданную полную скорость \(v_{\mathrm{int}}\) вдоль (18). Для медленно меняющейся плоскости дополнительно возникают члены от производных базисных векторов; далее ими пренебрегаем при условии разделения временных масштабов.

Для двух круговых частей, без соединяющих переходов, времена равны \[ \tag{45} T_+ = \frac{2\pi r_+}{v_{\mathrm{int}}}, \qquad T_- = \frac{2\pi r_-}{v_{\mathrm{int}}}. \]

Для плавной кривой точный период при постоянной скорости задаётся интегралом; сумма круговых времён даёт его ведущее приближение: \[ \tag{46} T_{4\pi}=\frac1{v_{\mathrm{int}}}\int_0^{4\pi}\sqrt{r(\chi)^2+[r^{\prime}(\chi)]^2}\,d\chi\simeq T_++T_-. \]

Используя \(r_++r_-=2r_e\), в круговом приближении получаем \[ \tag{47} T_{4\pi} \simeq \frac{4\pi r_e} {v_{\mathrm{int}}}. \]

Следовательно, частота полного внутреннего состояния равна \[ \tag{48} \nu_{4\pi} \simeq \frac{v_{\mathrm{int}}} {4\pi r_e}, \] а угловая частота \[ \tag{49} \omega_{4\pi} \simeq 2\pi\nu_{4\pi} \simeq \frac{v_{\mathrm{int}}} {2r_e}. \]

При этом средняя угловая частота одного геометрического оборота равна \[ \tag{50} \omega_{\mathrm{orb}} \simeq 2\omega_{4\pi} \simeq \frac{v_{\mathrm{int}}}{r_e}. \]

Для плавной кривой поправка к длине начинается с порядка \((\Delta r/r_e)^2\). Для двух точных окружностей сумма длин не зависит от расщепления, однако соединяющие участки могут добавлять член первого порядка. Это разные геометрии; формулы для радиальных переходов комптоновского контура здесь не применяются автоматически.

Подставляя выражение \[ r_e = \alpha_{\mathrm{fs}} \frac{\hbar}{m_ec} \] и скорость \[ v_{\mathrm{int}} = c\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \] в формулу (49), получаем \[ \tag{51} \omega_{4\pi} \simeq \frac{m_ec^2} {2\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar} \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}. \]

Соответственно, \[ \tag{52} \hbar\omega_{4\pi} \simeq \frac{m_ec^2} {2\alpha_{\mathrm{fs}}} \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}. \]

Отношение (55) показывает, что геометрическая частота не равна энергетической. В действующем изложении постулат \(m_ec^2=\hbar\omega_{4\pi}\) исключён; (36) определяет только \(\omega_E\).

При принятых радиусе и скорости можно записать \(\omega_E\simeq[2\alpha_{\mathrm{fs}}/\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}]\omega_{4\pi}\). Это следствие определений в круговом приближении, а не динамический вывод массы. Возможная поперечно-доплеровская интерпретация требует определения источника, наблюдателя и сравниваемых времён.

Введём две различные частоты: \[ \tag{53} \omega_{\mathrm{geom}} \simeq \frac{v_{\mathrm{int}}} {2r_e} \] — частоту геометрического \(4\pi\)-цикла, и \[ \tag{54} \omega_E = \frac{m_ec^2}{\hbar} \] — энергетическую частоту покоя электрона.

Их отношение равно \[ \tag{55} \frac{\omega_{\mathrm{geom}}}{\omega_E} \simeq \frac{ \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} }{ 2\alpha_{\mathrm{fs}} }. \]

Следовательно, для прямого отождествления этих частот потребовалось бы изменить характерный радиус или правило связи между геометрическим периодом и энергией.

Геометрический цикл и энергетическая частота сохраняют разные определения. Его связь со спинорными вращениями также не устанавливается только совпадением периода.

Если дополнительно задан физический ток, для заряда \(-e\) на круге радиуса \(r\) положительный масштаб магнитного момента равен \[ \tag{56} \mu_{\mathrm{circ}} = \frac{e\omega r^2}{2}. \] Здесь \(\omega\) — частота переноса заряда, а не произвольная фазовая частота.

Для отрицательного заряда момент направлен противоположно геометрической нормали обхода: \[ \tag{57} \boldsymbol{\mu} = -\mu\mathbf n. \] Связь этой нормали с физическим спином задаётся отдельно.

Для сравнения определим условные моменты одного заряда при отдельном круговом обходе каждой ветви: \[ \tag{58} \mu_+ = \frac{e\omega_+r_+^2}{2}, \qquad \mu_- = \frac{e\omega_-r_-^2}{2}. \] Это не два одновременно независимых заряда электрона.

При постоянной линейной скорости \[ \omega_\pm = \frac{v_{\mathrm{int}}}{r_\pm}, \] поэтому \[ \tag{59} \mu_\pm = \frac{ev_{\mathrm{int}}r_\pm}{2}. \]

Для одного заряда, последовательно проходящего полный путь, физическое усреднение должно учитывать время. При \(q=-e\) положительный масштаб усреднённого момента в плоскости равен \[ \tag{60} \overline\mu=\frac{e}{2T_{4\pi}}\int_0^{4\pi}r(\chi)^2\,d\chi\simeq\frac{ev_{\mathrm{int}}(r_+^2+r_-^2)}{2(r_++r_-)}. \] Последняя запись использует две круговые части без переходов. Арифметическое среднее отдельных моментов (58) совпадает с ней только в ведущем порядке по расщеплению.

При \(r_++r_-=2r_e\) ведущий магнитный масштаб равен \[ \tag{61} \overline{\mu} \simeq \frac{ev_{\mathrm{int}}r_e}{2}. \]

Подстановка \[ v_{\mathrm{int}} = c\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \] и \[ r_e = \alpha_{\mathrm{fs}} \frac{\hbar}{m_ec} \] даёт \[ \tag{62} \overline{\mu} \simeq \alpha_{\mathrm{fs}} \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \frac{e\hbar}{2m_e}. \]

Следовательно, \[ \tag{63} \overline{\mu} \simeq \alpha_{\mathrm{fs}} \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \mu_B. \]

Токовая оценка (63) не воспроизводит \(\mu_B\). Для согласования необходимо физическое магнитное отображение, а не произвольный нормирующий множитель. Нормировка полного заряда \(-e\) и закон сохранения тока должны быть заданы по всему контуру.

В прежнем варианте предлагалось использовать внутренний коэффициент \[ \tag{64} \kappa_{\mathrm{int}} = \frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}. \]

При формальном выборе магнитного отображения \(\mu^{(0)}=\kappa_{\mathrm{int}}\overline\mu\) получается \[ \tag{65} \mu^{(0)} \simeq \kappa_{\mathrm{int}} \overline{\mu} \simeq \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}\mu_B. \] Это дополнительное предположение, не следующее из теоремы о метрической норме или из закона преобразования тока.

Поскольку \[ \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \approx 0.99997337, \] результат близок к магнетону Бора, но не совпадает с ним точно: \[ \tag{66} \mu^{(0)} \approx 0.99997337\mu_B. \]

Даже такое условное отображение не даёт точно \(\mu_B\). Оно сохраняется здесь как исследовательский вариант. В комптоновской конструкции другой радиус и скорость дают иной токовый расчёт; связь двух вариантов пока не установлена.

Геометрическая периодичность \(4\pi\) сама по себе не определяет величину углового момента. Поэтому оператор спина вводится на внутреннем пространстве состояний: \[ \tag{67} \hat{\mathbf S} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma}. \]

Его компоненты удовлетворяют \[ \tag{68} \left[ \hat S_i,\hat S_j \right] = i\hbar \varepsilon_{ijk} \hat S_k. \]

Квадрат оператора спина равен \[ \tag{69} \hat{\mathbf S}^2 = \frac{3}{4}\hbar^2I. \]

Собственные значения проекции на выбранное направление: \[ \tag{70} S_{\mathbf n} = \pm\frac{\hbar}{2}. \]

Матрицы \(\boldsymbol\sigma\) действуют в отдельном спиновом пространстве. Матрицы \(\boldsymbol\tau\) действуют в пространстве листов. Нормировка \(\hbar/2\) и закон физических вращений приняты отдельно; квантовый модуль спина равен \(\sqrt3\hbar/2\), а проекции — \(\pm\hbar/2\).

Две ветви задают внутреннюю геометрическую периодичность. Стандартное спиновое представление задаёт наблюдаемые вращения и проекции. Их физическое соответствие остаётся задачей модели.

Магнитный момент электрона связывается со спином выражением \[ \tag{71} \hat{\boldsymbol{\mu}} = -g_e \frac{e}{2m_e} \hat{\mathbf S}. \]

С учётом \[ \hat{\mathbf S} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} \] получаем \[ \tag{72} \hat{\boldsymbol{\mu}} = -\frac{g_e}{2} \mu_B \boldsymbol{\sigma}. \]

Для дираковского значения \[ \tag{73} g_e=2 \] имеем \[ \tag{74} \hat{\boldsymbol{\mu}} = -\mu_B \boldsymbol{\sigma}. \]

При этом проекции магнитного момента на направление \(\mathbf n\) равны \[ \tag{75} \mu_{\mathbf n} = \mp\frac{g_e}{2}\mu_B. \]

Следует различать классический магнитный момент кругового тока и квантовый оператор магнитного момента. Первый связан с геометрией внутренней траектории, а второй действует на двухкомпонентное состояние и определяет наблюдаемые магнитные проекции.

Оператор (71) вводится как стандартное магнитное описание спина. Его использование воспроизводит зеемановское расщепление при заданном \(g_e\), но не выводит \(g_e\) из геометрии или метрического множителя.

Во внешнем магнитном поле \(\mathbf B\) гамильтониан взаимодействия имеет вид \[ \tag{76} \hat H_B = -\hat{\boldsymbol{\mu}} \cdot \mathbf B. \]

Подставляя выражение (72), получаем \[ \tag{77} \hat H_B = \frac{g_e\mu_B}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf B. \]

Знак гамильтониана зависит от принятого обозначения заряда электрона и направления оператора магнитного момента. Физически существенной является разность собственных энергий.

Для поля, направленного вдоль оси \(z\), \[ \tag{78} \mathbf B = B\mathbf e_z, \] гамильтониан принимает вид \[ \tag{79} \hat H_B = \frac{g_e\mu_BB}{2} \sigma_z. \]

Его собственные значения: \[ \tag{80} E_+ = +\frac{g_e\mu_BB}{2}, \qquad E_- = -\frac{g_e\mu_BB}{2}. \]

Расщепление уровней равно \[ \tag{81} \Delta E = E_+-E_- = g_e\mu_BB. \]

Таким образом, внешнее магнитное поле расщепляет не две геометрические окружности как таковые, а два собственных состояния оператора \[ \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf B. \]

Состояния с энергиями \(E_+,E_-\) принадлежат спиновому пространству. Геометрические листы принадлежат отдельному внутреннему фактору.

Пусть начальное состояние представляет собой суперпозицию собственных состояний магнитного гамильтониана: \[ \tag{82} |\Psi(0)\rangle = a|+\rangle + b|-\rangle. \]

Его временная эволюция имеет вид \[ \tag{83} |\Psi(t)\rangle = a e^{-iE_+t/\hbar} |+\rangle + b e^{-iE_-t/\hbar} |-\rangle. \]

Разность фаз двух компонент равна \[ \tag{84} \Delta\phi(t) = \frac{E_+-E_-}{\hbar}t. \]

Используя выражение (81), получаем \[ \tag{85} \Delta\phi(t) = \frac{g_e\mu_BB}{\hbar}t. \]

Следовательно, угловая частота прецессии равна \[ \tag{86} \omega_{\mathrm{prec}} = \frac{g_e\mu_BB}{\hbar}. \]

Поскольку \[ \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}, \] получаем \[ \tag{87} \omega_{\mathrm{prec}} = \frac{g_ee}{2m_e}B. \]

Для дираковского значения \(g_e=2\) \[ \tag{88} \omega_{\mathrm{prec}} = \frac{eB}{m_e}. \]

Прецессирует не обязательно сама внутренняя окружность как твёрдый геометрический объект. Прецессирует отображённый вектор \[ \tag{89} \mathbf n(t) = \langle\Psi(t)| \boldsymbol{\sigma} |\Psi(t)\rangle. \]

Для принятого положительного коэффициента в гамильтониане (77) эволюция поляризации имеет вид \[ \tag{90} \frac{d\mathbf n}{dt}=\frac{g_e\mu_B}{\hbar}\mathbf B\times\mathbf n. \]

Таким образом, медленная пространственная прецессия возникает как следствие накопления относительной фазы между двумя внутренними компонентами состояния.

Пусть локальная плоскость внутренней траектории задаётся векторами \[ \mathbf e_1(t), \qquad \mathbf e_2(t), \] а её нормаль равна \[ \tag{91} \mathbf n(t) = \mathbf e_1(t) \times \mathbf e_2(t). \]

Тогда полную внутреннюю траекторию можно записать как \[ \tag{92} \mathbf R_{\mathrm{int}}(\chi,t) = r(\chi) \left[ \mathbf e_1(t)\cos\chi + \mathbf e_2(t)\sin\chi \right]. \]

Параметр \(\chi\) описывает быстрое внутреннее движение по двум ветвям, а зависимость базисных векторов от времени описывает медленное изменение ориентации всей внутренней плоскости.

Таким образом, в модели присутствуют два различных временных масштаба: \[ \tag{93} \omega_{\mathrm{int}} \gg \omega_{\mathrm{prec}}. \]

Быстрое движение связано с внутренним прохождением двухлистной траектории, а медленное — с прецессией её отображения во внешнем магнитном поле.

Важно не отождествлять напрямую: \[ r_+ \quad\text{и}\quad r_- \] с состояниями \[ |+\rangle \quad\text{и}\quad |-\rangle. \]

Первая пара относится к листам, а вторая — к собственным состояниям спиновой магнитной проекции. Это независимые признаки, пока не задана их динамическая связь.

Возможная связь представляется символически, но не считается уже построенной: \[ \tag{94} \text{геометрические листы}\ \mathcal H_\Gamma\quad\xrightarrow{\;\text{отдельное отображение}\;}\quad\text{спиновое состояние}\ \mathcal H_s\quad\longrightarrow\quad\mathbf n,\ \mu_{\mathbf n}. \]

Направление внешнего поля выбирает спиновый базис, а не автоматически базис геометрических листов. Полное состояние может содержать корреляции этих факторов после задания взаимодействия.

При изменении направления магнитного поля изменяются не сами радиусы \(r_+\) и \(r_-\), а базис собственных состояний \[ \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf B. \]

Величина \(\Delta r\) пока не определяется операторной структурой модели. Для её физического вывода необходимо задать внутренний потенциал или геометрическое условие устойчивости.

Например, можно предположить существование эффективного потенциала \[ \tag{95} U(r), \] имеющего два близких минимума: \[ \tag{96} \left. \frac{dU}{dr} \right|_{r=r_+} = 0, \qquad \left. \frac{dU}{dr} \right|_{r=r_-} = 0. \]

При этом устойчивость требует \[ \tag{97} \left. \frac{d^2U}{dr^2} \right|_{r=r_+} >0, \qquad \left. \frac{d^2U}{dr^2} \right|_{r=r_-} >0. \]

В простейшем симметричном виде такой потенциал можно записать как \[ \tag{98} U(r) = \lambda \left[ (r-r_e)^2-(\Delta r)^2 \right]^2, \] где \(\lambda>0\).

Минимумы потенциала находятся в точках \[ \tag{99} r=r_e\pm\Delta r. \]

Выражение (98) является лишь модельным примером. Оно показывает, каким образом две близкие ветви могут возникать как устойчивые состояния одной внутренней радиальной координаты.

Геометрическая кривая (13) является кинематическим описанием. Операторный переход между листами — отдельная модель; её совпадение с выбранной кривой требует динамического отображения.

В листовом пространстве введём модельный эрмитов гамильтониан \[ \tag{100} \hat H_\Gamma=E_0I_\Gamma+\Delta_0\tau_z+\kappa\tau_x, \] Здесь матрицы \(\boldsymbol\tau\) не являются операторами физического спина.

\(E_0\) — средняя энергия внутреннего состояния;

\(\Delta_0\) — возможная собственная асимметрия двух ветвей;

\(\kappa\) — вещественная амплитуда перехода с размерностью энергии. Она отличается от безразмерной метрической нормы \(\kappa_{\mathrm{int}}\).

Если ветви полностью симметричны, \[ \tag{101} \Delta_0=0, \] то \[ \tag{102} \hat H_\Gamma=E_0I_\Gamma+\kappa\tau_x. \]

Тогда собственными состояниями являются симметричная и антисимметричная комбинации: \[ \tag{103} |\Phi_s\rangle=\frac{|\Gamma_+\rangle+|\Gamma_-\rangle}{\sqrt2}, \] \[ \tag{104} |\Phi_a\rangle=\frac{|\Gamma_+\rangle-|\Gamma_-\rangle}{\sqrt2}. \]

Их энергии равны \[ \tag{105} E_s = E_0+\kappa, \qquad E_a = E_0-\kappa. \]

Положительная величина листового расщепления равна \[ \tag{106} \Delta E_\Gamma=2|\kappa|. \]

Это расщепление относится к внутренним листовым модам, а не к двум проекциям свободного спина. Его наблюдаемость, населённость мод и энергетическая нормировка требуют отдельного обоснования.

В минимальном варианте без связи между листами и спином полный гамильтониан действует на тензорном произведении: \[ \tag{107} \hat H=\hat H_\Gamma\otimes I_s+I_\Gamma\otimes\hat H_B. \] Взаимодействие факторов потребует дополнительного эрмитова оператора \(V_{\Gamma s}\), пока не определённого.

Определим два независимых вектора коэффициентов: \[ \tag{108} \mathbf h_\Gamma=(\kappa,0,\Delta_0),\qquad\mathbf h_B=\frac{g_e\mu_B}{2}\mathbf B. \]

Тогда \[ \tag{109} \hat H=E_0I_\Gamma\otimes I_s+(\mathbf h_\Gamma\cdot\boldsymbol\tau)\otimes I_s+I_\Gamma\otimes(\mathbf h_B\cdot\boldsymbol\sigma). \]

При \(V_{\Gamma s}=0\) собственные энергии имеют два независимых индекса: \[ \tag{110} E_{r,s}=E_0+r\sqrt{\Delta_0^2+\kappa^2}+s\frac{g_e\mu_BB}{2},\qquad r,s=\pm1,\quad B=|\mathbf B|. \]

Соответствующие интервалы между уровнями: \[ \tag{111} \Delta E_\Gamma=2\sqrt{\Delta_0^2+\kappa^2},\qquad\Delta E_B=g_e\mu_BB. \]

Такой гамильтониан сохраняет вырождение спиновых проекций при \(B=0\), даже если внутренние листовые моды расщеплены. Сложение их коэффициентов в одном векторе Паули означало бы иное отождествление факторов и могло бы создавать необоснованное спиновое расщепление без поля.

При принятой гипотезе скорости относительное отличие от \(c\) равно \[ \tag{112} 1- \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \approx \frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2}. \] Это отношение скоростей, а не автоматически отношение радиусов.

Независимо от этого можно исследовать дополнительную геометрическую гипотезу \[ \tag{113} \frac{\Delta r}{r_e} = \frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2}. \]

Тогда \[ \tag{114} \Delta r = \frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2} r_e. \]

Численно \[ \tag{115} \frac{\Delta r}{r_e} \approx 2.66\cdot10^{-5}. \]

Это означает, что две ветви практически неразличимы в масштабе \(r_e\).

Однако выражение (113) пока является геометрическим предположением. Для его обоснования необходимо вывести \(\Delta r\) из внутреннего потенциала, уравнения движения или условия энергетического минимума.

Экспериментальный магнитный момент электрона отличается от дираковского значения небольшой аномальной поправкой: \[ \tag{116} g_e = 2(1+a_e). \]

В рамках данной геометрической модели можно исследовать, связано ли малое различие радиусов \[ \frac{\Delta r}{r_e}\ll1 \] с величиной \(a_e\).

Однако прямое отождествление \[ \tag{117} a_e \sim \frac{\Delta r}{r_e} \] не следует из построенной алгебры и требует отдельного динамического вывода.

Расщепление данного контура не считается найденным механизмом аномалии. Оно также не отождествляется с разделением \(r_e\) ветвей комптоновского контура: здесь расстояние равно \(2\Delta r\).

Предложенная модель имеет несколько качественных общих черт с эффектом zitterbewegung, возникающим в теории Дирака.

Во-первых, обе конструкции предполагают быстрое внутреннее движение, отделённое от наблюдаемого движения центра частицы.

Двухкомпонентное спиновое описание используется как отдельный сектор. Полный спинор Дирака имеет четыре комплексные компоненты; zitterbewegung нельзя вывести из одной двухкомпонентности листового пространства.

В-третьих, наблюдаемое пространственное направление возникает как билинейное выражение от внутреннего состояния, а не как прямая координата внутреннего базиса.

Качественное сравнение не устанавливает эквивалентность с уравнением Дирака. В частности, геометрическая частота контура радиуса \(r_e\) не совпадает автоматически с частотой \(2m_ec^2/\hbar\), характерной для стандартного обсуждения zitterbewegung свободной частицы в системе покоя.

Если буквально трактовать внутреннюю траекторию как движение точечного заряда в обычном пространстве, ускоренное движение должно сопровождаться электромагнитным излучением.

Поэтому в рамках настоящей модели внутренняя орбита рассматривается прежде всего как траектория в пространстве состояний, а не как классическая траектория локализованной заряженной точки.

Наблюдаемое электромагнитное поле определяется усреднённым внутренним состоянием и его операторным магнитным моментом.

Такое толкование позволяет избежать прямого применения классической формулы излучения к внутренней фазовой координате, однако строгий механизм отсутствия излучения должен быть выведен из полного динамического уравнения.

В настоящей модели величина \[ r_e = \frac{e^2} {4\pi\varepsilon_0m_ec^2} \] не рассматривается как установленная пространственная граница электрона.

Она интерпретируется как характерный внутренний электромагнитный масштаб, относительно которого расположены две близкие ветви: \[ r_-=r_e-\Delta r, \qquad r_+=r_e+\Delta r. \]

Интерпретация \(r_e\) как внутреннего масштаба не является сама по себе доказательством совместимости с экспериментальными ограничениями на структуру электрона. Для этого нужно вычислить внешние токи, форм-факторы и отклик, создаваемые принятой внутренней динамикой.

Разделение построений можно представить схемой: \[ \tag{118} \boxed{\begin{gathered} \text{листовая геометрия:}\quad r_\pm=r_e\pm\Delta r,\quad\chi\in[0,4\pi),\quad\mathcal H_\Gamma,\\ \text{внутренняя метрика:}\quad\|\boldsymbol\Gamma_\rho\|=\kappa_{\mathrm{int}},\quad\kappa_{\mathrm{int}}=1/\alpha_{\mathrm{fs}}\ \text{(гипотеза)},\\ \text{отдельное спиновое представление:}\quad\mathcal H_s,\quad U(2\pi)=-I,\quad U(4\pi)=I,\\ \hat{\mathbf S}=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol\sigma,\qquad\hat{\boldsymbol\mu}=-g_e\frac{e}{2m_e}\hat{\mathbf S},\\ \Delta E_B=g_e\mu_BB,\qquad\omega_{\mathrm{prec}}=\frac{g_e\mu_BB}{\hbar}. \end{gathered}} \]

Геометрический цикл, внутренняя метрика и спиновая динамика являются отдельными построениями. Стрелки физического соответствия требуют обоснования и не заменяют его.

Модель описывает выбранную внутреннюю геометрию и отдельно принятый спиновый магнитный отклик. Она не выводит автоматически спин или магнитный момент из двухлистности.

При этом остаются вопросы, которые в настоящей работе не считаются решёнными.

Во-первых, полуразность радиусов \(\Delta r\) и полное расстояние \(2\Delta r\) не выведены из фундаментальной динамики.

Во-вторых, коэффициент \(\hbar/2\) в операторе спина вводится как квантовая нормировка и не получен непосредственно из размеров внутренней траектории.

В-третьих, точное значение магнитного момента и коэффициента \(g_e\) определяется операторным законом и пока не выводится полностью из классического кругового тока.

В-четвёртых, геометрическая частота двухлистного цикла и энергетическая частота покоя электрона не совпадают автоматически. Их связь требует дополнительного динамического уравнения.

В-пятых, необходимо обосновать метрический выбор \(\kappa_{\mathrm{int}}=1/\alpha_{\mathrm{fs}}\), его возможную связь со скоростью, нормировку тока, устойчивость и физическое отображение между вариантами с радиусами \(r_e\) и \(R\).

В работе предложена геометрическая модель внутреннего состояния электрона, основанная на двух близких ветвях, расположенных по разные стороны от среднего электромагнитного масштаба \(r_e\). Ветви описываются единой непрерывной траекторией \[ r(\chi) = r_e + \Delta r \cos\frac{\chi}{2}, \] которая возвращается в исходное радиальное состояние только после изменения параметра на \(4\pi\).

Листы описываются независимым бинарным фактором с проекторами \(P_{\Gamma,\pm}\), а спин — состоянием \(|\Psi\rangle\) и матрицами \(\boldsymbol\sigma\). Внутренняя периодичность \(4\pi\) и общий знак спинора при физическом повороте имеют разные определения. Их соответствие пока не доказано.

Пространственная ориентация внутренней траектории определяется не самими радиусами, а отображением двухкомпонентного состояния: \[ \mathbf n = \langle\Psi| \boldsymbol{\sigma} |\Psi\rangle. \] Поэтому внутреннее движение может оставаться одномерным и двухлистным, тогда как его проявление в наблюдаемом мире имеет произвольную ориентацию в трёхмерном пространстве.

Оператор спина \[ \hat{\mathbf S} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} \] и оператор магнитного момента \[ \hat{\boldsymbol{\mu}} = -g_e \frac{e}{2m_e} \hat{\mathbf S} \] позволяют получить два магнитных состояния, зеемановское расщепление \[ \Delta E = g_e\mu_BB \] и частоту прецессии \[ \omega_{\mathrm{prec}} = \frac{g_e\mu_BB}{\hbar}. \]

Геометрические листы не являются spin-up и spin-down. При независимом описании используется \(\mathcal H_\Gamma\otimes\mathcal H_s\); внешнее поле выбирает собственные состояния спиновой проекции.

Исследовательский вариант с радиусом \(r_e\) сохраняет внутренний метрический коэффициент \(\kappa_{\mathrm{int}}\) отдельно от внешнего Лоренц-фактора. Он требует дальнейшего обоснования скорости, частотного и магнитного отображений, связи с комптоновским контуром и устойчивой динамики. Стандартное описание спина и прецессии здесь принято как согласованный наблюдаемый сектор, а не выведено только из размеров внутренних ветвей.