В работе развивается построенная ранее алгебра на основе взаимно дополнительных идемпотентов и комплексных чисел, приводящая к четырёхмерному действительному базису \(\{\ep,i\ep,\em,i\em\}\). Предлагается новая интерпретация этого базиса: он рассматривается не как альтернативная система координат пространства-времени, а как внутреннее пространство состояний, описывающее одномерную фазовую эволюцию системы. Показано, что переход к наблюдаемому четырёхмерному миру осуществляется посредством последовательного отображения внутреннего двухкомпонентного состояния на локальный четырёхмерный вектор и далее на обычное пространство-время. В ходе этого построения взаимно дополнительные идемпотенты естественно интерпретируются как проекторы, а операторы перехода между ними приводят к возникновению полного набора матриц Паули.

На основе полученного отображения предлагается геометрическая модель внутренней структуры электрона, состоящая из двух близких ветвей единой внутренней траектории. Такая конструкция приводит к естественной \(4\pi\)-периодичности внутреннего состояния, позволяет отделить геометрическую двулистность от квантовых состояний спина и связать внутреннюю динамику с операторным описанием магнитного момента, зеемановского расщепления и ларморовской прецессии. При этом чётко разделяются математические результаты, следующие из свойств нового базиса, и физические гипотезы, относящиеся к модели электрона, что определяет направления дальнейшего развития предложенной теории.

В предыдущих работах был введён новый комплексный идемпотентный базис \[ \tag{1} \left\{ \ep,\;i\ep,\;\em,\;i\em \right\}, \] построенный на двух взаимно дополнительных идемпотентах \[ \tag{2} \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0, \qquad \ep+\em=1. \] Такой базис позволяет представить систему как совокупность двух комплексных компонент, каждая из которых образует собственную действительную плоскость.

Ранее этот базис использовался для описания внутреннего периодического движения. Однако его не следует непосредственно отождествлять с координатами обычного пространства-времени. В настоящей работе предполагается, что базис \[\tag{3} \left\{ \ep,\;i\ep,\;\em,\;i\em \right\} \] описывает внутреннее одномерное состояние системы, тогда как наблюдаемое четырёхмерное пространство возникает после специального отображения этого состояния на обычный декартов базис пространства-времени.

Основная задача работы состоит в построении последовательного перехода В ходе этого перехода естественно возникают проекторы, операторы перехода между идемпотентными компонентами и матрицы Паули.

Рассмотрим внутренний вектор \[ \tag{4} J(\tau) = \ep + \em e^{-i\omega\tau}, \] где \(\tau\) — параметр внутренней эволюции, который в дальнейшем может быть связан с собственным временем системы.

Разложение комплексной экспоненты даёт \[ \tag{5} J(\tau) = \ep + \em\cos\omega\tau - i\em\sin\omega\tau. \] Первая компонента \(\ep\) остаётся постоянной, тогда как вторая компонента совершает вращение в комплексной плоскости \[ \left\{ \em,\;i\em \right\}. \]

Несмотря на наличие четырёх действительных базисных элементов, движение остаётся одномерным в том смысле, что оно определяется единственным параметром \(\tau\). Все координаты внутреннего состояния являются функциями одной переменной: \[ \tag{6} J=J(\tau). \] Таким образом, четырёхмерность базиса не означает наличия четырёх независимых пространственных направлений. Она возникает как действительное представление двух комплексных компонент.

Иными словами, новый базис описывает не обычную траекторию \[ x(\tau),\;y(\tau),\;z(\tau), \] а внутреннюю фазовую эволюцию системы. Для перехода к наблюдаемому движению необходимо отдельно ввести обычное пространство-время и правило отображения внутреннего состояния в это пространство.

Общее внутреннее состояние запишем в виде \[ \tag{7} \Psi = \psi_+\ep + \psi_-\em, \] где \[ \psi_+,\psi_-\in\mathbb C. \]

Пространство таких состояний имеет вид \[ \tag{8} \mathcal H_{\mathrm{int}} = \mathbb C\ep \oplus \mathbb C\em. \] Оно является двумерным над полем комплексных чисел и четырёхмерным над полем действительных чисел: \[ \tag{9} \dim_{\mathbb C}\mathcal H_{\mathrm{int}}=2, \qquad \dim_{\mathbb R}\mathcal H_{\mathrm{int}}=4. \]

Состоянию (7) можно сопоставить комплексный столбец \[ \tag{10} |\Psi\rangle = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix}. \] При этом идемпотентные компоненты \(\ep\) и \(\em\) играют роль двух внутренних базисных состояний.

Важно подчеркнуть, что величины \(\psi_+\) и \(\psi_-\) не являются пространственными координатами. Они задают амплитуды двух внутренних компонент, а их физическое проявление определяется только после отображения во внешнее пространство.

Наблюдаемое движение будем описывать в обычном четырёхмерном пространстве-времени с координатами \[ \tag{11} X^\mu = \left( ct,x,y,z \right), \qquad \mu=0,1,2,3. \]

Введём локальный декартов базис \[ \tag{12} \left\{ e_0,e_1,e_2,e_3 \right\}, \] где \(e_0\) соответствует временному направлению, а \[ e_1,e_2,e_3 \] — трём пространственным направлениям.

Этот базис принципиально отличается от внутреннего базиса \[ \left\{ \ep,i\ep,\em,i\em \right\}. \] Первый описывает физическое пространство-время, тогда как второй описывает внутреннее состояние системы. Между ними не предполагается прямого покомпонентного отождествления.

Поэтому требуется отображение \[ \tag{13} \mathcal M: \mathcal H_{\mathrm{int}} \longrightarrow T_XM, \] где \(T_XM\) — локальное касательное пространство пространства-времени в точке \(X\).

В матричном представлении взаимно дополнительные идемпотенты можно записать как \[ \tag{14} \ep = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}, \qquad \em = \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}. \]

Из этих матриц непосредственно следуют свойства \[ \tag{15} \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0, \qquad \ep+\em=I. \]

Разность двух проекторов равна \[ \tag{16} \ep-\em = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}. \] Правая часть совпадает с третьей матрицей Паули: \[ \tag{17} \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}. \]

Следовательно, \[ \tag{18} I=\ep+\em, \qquad \sigma_z=\ep-\em. \] Обратные соотношения имеют вид \[ \tag{19} \ep = \frac{I+\sigma_z}{2}, \qquad \em = \frac{I-\sigma_z}{2}. \]

Таким образом, два взаимно дополнительных идемпотента естественно являются спектральными проекторами оператора \(\sigma_z\). Они выделяют два внутренних состояния с собственными значениями \[ \tag{20} \sigma_z\ep=+\ep, \qquad \sigma_z\em=-\em. \]

Одних диагональных проекторов недостаточно для описания переходов между двумя состояниями. Поэтому введём операторы \[ \tag{21} S_+ = |\ep\rangle\langle\em|, \qquad S_- = |\em\rangle\langle\ep|. \]

В матричной форме \[ \tag{22} S_+ = \begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}, \qquad S_- = \begin{pmatrix} 0&0 \\ 1&0 \end{pmatrix}. \]

Они осуществляют переходы \[ \tag{23} S_+|\em\rangle = |\ep\rangle, \qquad S_-|\ep\rangle = |\em\rangle, \] а также удовлетворяют \[ \tag{24} S_+|\ep\rangle=0, \qquad S_-|\em\rangle=0. \]

Произведения операторов перехода дают исходные идемпотенты: \[ \tag{25} S_+S_-=\ep, \qquad S_-S_+=\em. \] Кроме того, \[ \tag{26} S_+^2=0, \qquad S_-^2=0. \]

Из операторов перехода строятся две оставшиеся матрицы Паули: \[ \tag{27} \sigma_x = S_++S_-, \] \[ \tag{28} \sigma_y = -i\left(S_+-S_-\right). \]

Действительно, \[ \tag{29} \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix}. \]

Таким образом, полный набор матриц Паули возникает как алгебра преобразований двух идемпотентных компонент: \[ \tag{30} I=\ep+\em, \qquad \sigma_z=\ep-\em, \qquad \sigma_x=S_++S_-, \qquad \sigma_y=-i(S_+-S_-). \]

Матрица \(\sigma_z\) различает два внутренних состояния, \(\sigma_x\) меняет их местами без дополнительного фазового сдвига, а \(\sigma_y\) осуществляет тот же переход с комплексным фазовым множителем.

Матрицы Паули удовлетворяют известному правилу умножения \[ \tag{31} \sigma_i\sigma_j = \delta_{ij}I + i\varepsilon_{ijk}\sigma_k. \]

Отсюда следуют коммутаторы \[ \tag{32} \left[ \sigma_i,\sigma_j \right] = 2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k \] и антикоммутаторы \[ \tag{33} \left\{ \sigma_i,\sigma_j \right\} = 2\delta_{ij}I. \]

Таким образом, исходные идемпотенты задают проекторы на два состояния, а естественные операторы перехода между этими состояниями порождают полную некоммутативную алгебру Паули.

Это не означает, что матрицы \(\sigma_x\) и \(\sigma_y\) возникают только из внутреннего умножения коммутативных элементов \(\ep\) и \(\em\). Они возникают в более широком пространстве линейных операторов, действующих на \[ \mathcal H_{\mathrm{int}} = \mathbb C\ep\oplus\mathbb C\em. \]

После построения матриц Паули можно определить оператор вращения внутреннего состояния вокруг единичного направления \(\mathbf n\): \[ \tag{34} U(\mathbf n,\theta) = \exp \left[ -\frac{i\theta}{2} \mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} \right], \] где \[ \tag{35} \mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} = n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z. \]

Поскольку \[ \tag{36} \left( \mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} \right)^2 = I, \] экспоненту можно представить в виде \[ \tag{37} U(\mathbf n,\theta) = I\cos\frac{\theta}{2} - i \left( \mathbf n\cdot\boldsymbol{\sigma} \right) \sin\frac{\theta}{2}. \]

При повороте на полный угол \(2\pi\) получаем \[ \tag{38} U(\mathbf n,2\pi) = -I, \] а при повороте на \(4\pi\) \[ \tag{39} U(\mathbf n,4\pi) = I. \]

Следовательно, внутреннее двухкомпонентное состояние преобразуется по закону \[ \tag{40} |\Psi(2\pi)\rangle = -|\Psi(0)\rangle, \qquad |\Psi(4\pi)\rangle = |\Psi(0)\rangle. \] Такая периодичность возникает не из обычного движения точки по окружности, а из структуры операторов, действующих на двухкомпонентное комплексное состояние.

Рассмотрим нормированное внутреннее состояние \[ \tag{41} |\Psi\rangle = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix}, \qquad \langle\Psi|\Psi\rangle=1. \]

Сопоставим ему три действительные величины \[ \tag{42} n_x = \langle\Psi|\sigma_x|\Psi\rangle, \] \[ \tag{43} n_y = \langle\Psi|\sigma_y|\Psi\rangle, \] \[ \tag{44} n_z = \langle\Psi|\sigma_z|\Psi\rangle. \]

В явном виде \[ \tag{45} n_x = \psi_+^*\psi_- + \psi_-^*\psi_+, \] \[ \tag{46} n_y = -i\psi_+^*\psi_- + i\psi_-^*\psi_+, \] \[ \tag{47} n_z = |\psi_+|^2-|\psi_-|^2. \]

Для нормированного чистого состояния выполняется \[ \tag{48} n_x^2+n_y^2+n_z^2=1. \] Следовательно, внутреннему двухкомпонентному состоянию естественно соответствует единичный вектор \[ \tag{49} \mathbf n = \left( n_x,n_y,n_z \right) \] в обычном трёхмерном пространстве.

Это отображение показывает, как две комплексные амплитуды внутреннего состояния определяют три действительных пространственных компоненты. Переход является билинейным и поэтому не сводится к простому отождествлению элементов внутреннего базиса с осями \(x,y,z\).

Общее нормированное двухкомпонентное состояние можно записать как \[ \tag{50} |\Psi\rangle = e^{i\chi} \begin{pmatrix} \cos\dfrac{\vartheta}{2} \\ e^{i\varphi} \sin\dfrac{\vartheta}{2} \end{pmatrix}, \] где \(\chi\) — общая фаза, а \(\vartheta\) и \(\varphi\) определяют направление отображённого вектора.

После подстановки в выражения (42)–(44) получаем \[ \tag{51} n_x = \sin\vartheta\cos\varphi, \] \[ \tag{52} n_y = \sin\vartheta\sin\varphi, \] \[ \tag{53} n_z = \cos\vartheta. \]

Таким образом, внутренняя комплексная фаза и соотношение амплитуд двух идемпотентных компонент определяют ориентацию единичного вектора в обычном трёхмерном пространстве.

Общая фаза \(e^{i\chi}\) не изменяет вектор \(\mathbf n\), поскольку сокращается в билинейных выражениях \[ \langle\Psi|\sigma_i|\Psi\rangle. \] Следовательно, множество внутренних состояний содержит больше информации, чем наблюдаемое направление в трёхмерном пространстве.

Для включения временной компоненты введём набор матриц \[ \tag{54} \sigma^a = \left( I,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z \right), \qquad a=0,1,2,3. \]

Внутреннему состоянию сопоставляется локальный четырёхмерный вектор \[ \tag{55} v^a = \langle\Psi|\sigma^a|\Psi\rangle. \]

Его компоненты равны \[ \tag{56} v^0 = \langle\Psi|I|\Psi\rangle, \] \[ \tag{57} v^1=n_x, \qquad v^2=n_y, \qquad v^3=n_z. \]

Для нормированного состояния \[ \tag{58} v^0=1, \qquad \left(v^1\right)^2+ \left(v^2\right)^2+ \left(v^3\right)^2=1. \] Поэтому при метрике \[ \eta_{ab} = \operatorname{diag} \left( 1,-1,-1,-1 \right) \] получаем \[ \tag{59} v^av_a = \left(v^0\right)^2 - \left(v^1\right)^2 - \left(v^2\right)^2 - \left(v^3\right)^2 = 0. \]

Таким образом, нормированное чистое двухкомпонентное состояние естественно отображается на локальный светоподобный четырёхвектор.

Если умножить его на скорость света, получим \[ \tag{60} k^a = c\,v^a = c \left( 1,\mathbf n \right), \] для которого \[ \tag{61} k^ak_a=0. \]

Такой вектор не следует непосредственно отождествлять с четырёхскоростью центра массивной частицы. Он может описывать внутреннее направление движения или распространения, тогда как наблюдаемое времениподобное движение центра системы возникает после усреднения внутренней динамики.

Для перехода от локального четырёхмерного вектора \(v^a\) к координатному четырёхвектору пространства-времени введём тетраду \[ \tag{62} e_a^{\;\mu}. \]

Тогда физический вектор определяется выражением \[ \tag{63} V^\mu = e_a^{\;\mu}v^a. \]

Полное отображение имеет вид \[ \tag{64} |\Psi\rangle \longrightarrow v^a = \langle\Psi|\sigma^a|\Psi\rangle \longrightarrow V^\mu = e_a^{\;\mu}v^a. \]

Первая часть отображения преобразует внутреннее двухкомпонентное состояние в локальный четырёхмерный вектор. Вторая часть ориентирует этот вектор относительно выбранной декартовой системы пространства-времени.

В плоском пространстве и инерциальной системе отсчёта можно выбрать \[ \tag{65} e_a^{\;\mu} = \delta_a^{\mu}, \] и тогда \[ \tag{66} V^\mu=v^\mu. \] В общем случае тетрада позволяет учитывать произвольную ориентацию локального базиса и переход между различными системами координат.

В рамках предлагаемой конструкции необходимо различать внутреннее состояние \[ |\Psi(\tau)\rangle \] и положение центра системы \[ X^\mu(\tau). \]

Внутреннее состояние определяет локальное направление \[ \tag{67} v^a(\tau) = \langle\Psi(\tau)|\sigma^a|\Psi(\tau)\rangle, \] а внешнее движение центра может задаваться отдельным уравнением \[ \tag{68} \frac{dX^\mu}{d\tau} = U^\mu. \]

При этом внутренний вектор может быть светоподобным: \[ \tag{69} v^av_a=0, \] тогда как наблюдаемая четырёхскорость центра массивной системы должна быть времениподобной: \[ \tag{70} U^\mu U_\mu=c^2. \]

Одним из возможных способов связать эти уровни является усреднение: \[ \tag{71} U^\mu = c \left\langle e_a^{\;\mu}v^a \right\rangle. \] Тогда быстро изменяющееся внутреннее направление может давать устойчивое времениподобное движение центра системы.

В настоящей работе выражение (71) рассматривается как возможная схема отображения, а не как окончательно выведенное динамическое уравнение. Для его строгого обоснования потребуется задать закон внутренней эволюции и процедуру усреднения.

В предлагаемой конструкции матрицы Паули не являются дополнительными пространственными направлениями внутри исходного идемпотентного базиса.

Они выполняют две связанные функции:

первая — описывают все линейные переходы между состояниями \(\ep\) и \(\em\);

вторая — задают билинейное отображение внутреннего двухкомпонентного состояния на трёхмерное пространственное направление.

Поэтому последовательность возникновения матриц Паули можно представить как \[ \tag{72} \left\{ \ep,\em \right\} \longrightarrow \left\{ S_+,S_- \right\} \longrightarrow \left\{ I,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z \right\}. \]

Именно полный набор операторов \[ \left\{ I,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z \right\} \] позволяет перейти от внутреннего двухкомпонентного состояния к локальной четырёхмерной структуре.

Полученную конструкцию можно представить в виде следующей последовательности: \[ \tag{73} \boxed{ \begin{array}{c} \text{одномерное внутреннее движение} \\[4pt] J(\tau) \\[6pt] \downarrow \\[6pt] \text{двухкомпонентное состояние} \\[4pt] |\Psi\rangle = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} \\[8pt] \downarrow \\[6pt] \text{проекторы и переходы} \\[4pt] \ep,\em,S_+,S_- \\[8pt] \downarrow \\[6pt] \text{матрицы Паули} \\[4pt] I,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z \\[8pt] \downarrow \\[6pt] \text{локальный четырёхвектор} \\[4pt] v^a = \langle\Psi|\sigma^a|\Psi\rangle \\[8pt] \downarrow \\[6pt] \text{физическое пространство-время} \\[4pt] V^\mu = e_a^{\;\mu}v^a \end{array} } \]

Эта схема позволяет сохранить исходный постулат об одномерном внутреннем движении и одновременно получить трёхмерную пространственную ориентацию и временную компоненту без прямого отождествления внутреннего базиса с координатами пространства-времени.

Предложенное отображение показывает естественную математическую связь между двумя взаимно дополнительными идемпотентами, двухкомпонентным комплексным состоянием и локальным четырёхмерным вектором.

При этом в настоящей работе не утверждается, что обычное пространство-время полностью выводится из внутреннего базиса. Декартова система \[ \left( ct,x,y,z \right) \] вводится как внешняя геометрическая структура, а новый базис определяет внутреннее состояние, отображаемое в эту структуру.

Также пока не задаётся окончательное динамическое уравнение, определяющее эволюцию тетрады, внутреннего состояния и внешней четырёхскорости. Эти вопросы должны рассматриваться на следующем этапе развития модели.

В работе предложено разделить внутреннюю и внешнюю геометрию системы. Новый идемпотентный базис \[ \left\{ \ep,i\ep,\em,i\em \right\} \] интерпретируется как действительное представление двухкомпонентного комплексного внутреннего состояния, зависящего от одного параметра эволюции.

Два взаимно дополнительных идемпотента естественно представляются как спектральные проекторы \[ \ep = \frac{I+\sigma_z}{2}, \qquad \em = \frac{I-\sigma_z}{2}. \] После введения операторов перехода между компонентами возникает полный набор матриц Паули: \[ I,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z. \]

Матрицы Паули выполняют роль операторов внутреннего преобразования и одновременно задают способ отображения двухкомпонентного состояния на трёхмерное направление: \[ \mathbf n = \langle\Psi|\boldsymbol{\sigma}|\Psi\rangle. \] После добавления единичной матрицы это отображение расширяется до локального четырёхмерного вектора: \[ v^a = \langle\Psi|\sigma^a|\Psi\rangle. \]

Окончательный переход в физическое пространство-время осуществляется посредством тетрады: \[ V^\mu = e_a^{\;\mu}v^a. \] Таким образом, новый базис не заменяет обычное пространство-время, а описывает внутреннюю степень свободы системы, которая проявляется в наблюдаемом мире через последовательное операторное отображение.

Построенная схема создаёт математическую основу для дальнейшего рассмотрения внутренней структуры электрона. Во второй части работы эта конструкция будет применена к модели двух близких ветвей внутренней орбиты, полной периодичности \(4\pi\), магнитному моменту, энергетическому расщеплению и прецессии.