2026-07-22
Геометрическое представление взаимодействий частиц
Часть 1. Операторные состояния и инварианты преобразования
В физике взаимодействие обычно записывается как переход одного набора частиц в другой. Такая запись показывает начальные и конечные объекты, но не раскрывает, каким образом их внутренние состояния образуют единое преобразование. В модели Волнового Электричества частица рассматривается как структурированное операторное состояние, а взаимодействие — как перестройка полного набора его ортогональных компонент.
Современный оператор \(J(a,b)\) отличается от использованной ранее формы \(e^{ia}\j^b\). Теперь параметр \(a\) всегда описывает внутреннее состояние, а параметр \(b\) — внешнее движение. Заряд, внутреннее замыкание, орбитальные и другие признаки задаются самостоятельными операторными уровнями. Поэтому взаимодействие нельзя свести к произвольной перестановке двух фаз или к обычному сложению нескольких операторов.
Главная задача первой части — построить единый язык взаимодействий. Полное составное состояние преобразуется целиком, а энергия, импульс, заряд, момент и индекс замыкания выступают различными проекциями сохраняемого операторного содержания.
\[\tag{1}
\boxed{
\mathcal S_{\mathrm{in}}
\overset{\mathcal U_{\mathrm{int}}}{\longrightarrow}
\mathcal S_{\mathrm{out}},
\qquad
\mathcal I[\mathcal S_{\mathrm{in}}]
=\mathcal I[\mathcal S_{\mathrm{out}}].
}
\]
1. Четырёхмерный и-базис
Основой модели служат два взаимно дополнительных идемпотента. Вместе с мнимой единицей они образуют четырёхмерный базис
\[\tag{2}
\left\{
\ep,\;i\ep,\;\em,\;i\em
\right\}
=
(\ep,i\ep)\oplus(\em,i\em).
\]
Идемпотенты удовлетворяют соотношениям
\[\tag{3}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Условие \(\ep\em=0\) означает ортогональность двух алгебраических каналов. Однако оно само по себе не назначает одну плоскость внутренней, а другую внешней. Физический смысл определяется тем, какой параметр и какой проектор связаны с соответствующей компонентой.
Гиперболическая единица определяется разностью идемпотентов:
\[\tag{4}
\j=\ep-\em,
\qquad
\j^2=1.
\]
2. Современный конечный оператор
Состояние внутренней динамики и внешнего движения описывается двухпараметрическим оператором
\[\tag{5}
\boxed{
J(a,b)=\j^a(-\j)^b
=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}.
}
\]
Параметры имеют фиксированный физический смысл:
\[\tag{6}
a=\varpi t,
\qquad
\pi\varpi=\omega_{\mathrm{int}},
\qquad
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac vc.
\]
Следовательно, \(a\) организует внутреннюю периодичность, тогда как \(b\) задаёт величину внешней проекции движения. В общем случае \(a=a(t)\), \(b=b(t)\) и \(v=v(t)\).
Проектор внешнего движения извлекает из оператора физическую скорость:
\[\tag{7}
\mathcal P_{\mathrm{ext}}[J(a,b)]
=\Sin(\pi b)=\beta,
\qquad
\mathbf v=c\beta\widehat{\boldsymbol\tau}.
\]
Конечный оператор нормирован:
\[\tag{8}
J(a,b)\overline{J(a,b)}=1.
\]
Равенство нормы единице означает сохранение полного фазового состояния при его перераспределении между ортогональными компонентами. Оно не утверждает, что физическая энергия численно равна единице. Связь нормы с энергетическим масштабом требует отдельного физического отображения.
3. Две ориентации динамического состояния
Перестановка фазовых плоскостей создаёт две альтернативные ориентации полного динамического состояния:
\[\tag{9}
\boxed{
\begin{aligned}
J_{\mathrm{dyn}}^{(+)}(a,b)
&=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a},\\
J_{\mathrm{dyn}}^{(-)}(a,b)
&=\ep e^{i\pi a}+\em e^{i\pi b}.
\end{aligned}
}
\]
Во второй строке изменяется размещение параметров по идемпотентным плоскостям, но их физические метки не переставляются. Параметр \(a\) остаётся внутренним, а \(b\) — внешним. Поэтому обе ориентации дают одну скорость центра:
\[\tag{10}
\mathcal P_{\mathrm{ext}}
[J_{\mathrm{dyn}}^{(+)}]
=\mathcal P_{\mathrm{ext}}
[J_{\mathrm{dyn}}^{(-)}]
=\beta.
\]
Две ориентации могут быть связаны со спиновыми состояниями относительно выбранной оси, но не определяют знак электрического заряда. Заряд относится к независимому операторному уровню.
4. Многоуровневый оператор частицы
Разные физические признаки частицы не следует помещать в один параметр. Общую архитектуру состояния представим произведением независимых совместимых операторов:
\[\tag{11}
\boxed{
J_P
=J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)}(a,b)
Q_\Gamma
J_qJ_{\mathrm{orb}}J_fJ_cJ_g\cdots,
\qquad
\sigma=\pm.
}
\]
Здесь \(J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)}\) содержит внутреннюю динамику, внешнее движение и ориентацию состояния; \(Q_\Gamma\) описывает внутреннее замыкание; \(J_q\) — зарядовую структуру; \(J_{\mathrm{orb}}\) — орбитальные генераторы связанного состояния. Множители \(J_f,J_c,J_g\) могут использоваться для других независимых признаков после определения их собственной алгебры.
Обычное умножение в формуле (11) означает совместное действие операторов внутри одной расширенной алгебры. Добавление нового независимого признака не должно менять смысл уже введённых параметров \(a\) и \(b\).
Для отсутствующего признака используется единичный оператор:
\[\tag{12}
J_{r,0}=1,
\qquad
J_PJ_{r,0}=J_P.
\]
5. Глубокое состояние движущейся частицы
Конечный оператор не содержит метрическую глубину внешнего движения. Для массивной частицы ей соответствует рекурсивное состояние ортогональных каналов
\[\tag{13}
\boldsymbol\Gamma_\beta
=\sum_{n=0}^{\infty}
\beta^n\boldsymbol\xi_n,
\qquad
\boldsymbol\xi_n\boldsymbol\cdot\boldsymbol\xi_m
=\delta_{nm}.
\]
Его норма равна
\[\tag{14}
\boxed{
\|\boldsymbol\Gamma_\beta\|
=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}
=\gamma(\beta).
}
\]
После физического отображения энергия и импульс массивного состояния принимают вид
\[\tag{15}
E=\gamma E_0,
\qquad
\mathbf p
=\frac{\gamma E_0}{c}
\boldsymbol\beta,
\qquad
E^2-p^2c^2=E_0^2.
\]
Таким образом, при взаимодействии необходимо различать норму конечного фазового оператора и метрическую норму глубокого состояния:
\[\tag{16}
J\overline J=1,
\qquad
\|\boldsymbol\Gamma_\beta\|=\gamma.
\]
Подробный вывод цепочки глубоких проекторов и состояния \(\boldsymbol\Gamma_\beta\) приведён в статье «Единая концепция Волнового Электричества». Здесь используются только необходимые для взаимодействий метрические проекции.
6. Составное состояние нескольких частиц
Арифметическая сумма операторов удобна для проверки аддитивного баланса, но сама по себе не описывает полное совместное состояние. Для системы из \(n\) частиц введём тензорное произведение:
\[\tag{17}
\boxed{
\mathcal S
=J_{P_1}\otimes J_{P_2}
\otimes\cdots\otimes J_{P_n}.
}
\]
Знак \(\otimes\) сохраняет принадлежность каждой компоненты своему объекту и допускает корреляции между ними. Он отличается от обычного произведения операторных множителей одной частицы в формуле (11).
Начальное и конечное состояния реакции имеют вид
\[\tag{18}
\mathcal S_{\mathrm{in}}
=\bigotimes_{k=1}^{n}J_k,
\qquad
\mathcal S_{\mathrm{out}}
=\bigotimes_{l=1}^{m}J_l'.
\]
7. Оператор взаимодействия
Взаимодействие представим оператором перестройки полного составного состояния:
\[\tag{19}
\boxed{
\mathcal S_{\mathrm{out}}
=\mathcal U_{\mathrm{int}}
\mathcal S_{\mathrm{in}}.
}
\]
Оператор \(\mathcal U_{\mathrm{int}}\) может менять способ соединения ветвей, внутренние фазы, скорости и состав выходных объектов. Однако он не является произвольной перестановкой: допустимое преобразование должно сохранять полный набор инвариантов системы.
Если взаимодействие замкнуто и обратимо на уровне полного состояния, естественным условием служит сохранение его нормы:
\[\tag{20}
\mathcal U_{\mathrm{int}}
\overline{\mathcal U}_{\mathrm{int}}=1.
\]
Одной нормировки недостаточно для выбора физической реакции. Дополнительно должны сохраняться значения независимых операторных и метрических проекторов.
8. Перегруппировка ортогональных компонент
Конечный динамический оператор каждой частицы можно представить как
\[\tag{21}
J_k=\ep A_k+\em B_k,
\qquad
A_k=e^{i\pi b_k},
\qquad
B_k=e^{i\pi a_k}.
\]
Для двух исходных объектов прямое соединение компонент имеет вид
\[\tag{22}
\left\{
\ep A_1+\em B_1,
\quad
\ep A_2+\em B_2
\right\}
\]
а перекрёстная перегруппировка —
\[\tag{23}
\left\{
\ep A_1+\em B_2,
\quad
\ep A_2+\em B_1
\right\}
.
\]
Ортогональность \(\ep\em=0\) позволяет алгебраически разделить каналы. Но не каждая перестановка создаёт допустимые частицы. После перегруппировки необходимо проверить, какие параметры сохранили внутреннюю или внешнюю физическую метку, какие зарядовые и замыкающие множители перешли к новым объектам и существует ли соответствующий метрический режим.
Перегруппировка является геометрической возможностью, а не автоматическим физическим процессом. Допустимый канал определяется одновременно алгеброй компонент, глубокими индексами и физическими проекторами.
9. Полный набор инвариантов
Обозначим через \(\mathcal I[\mathcal S]\) полный набор характеристик составного состояния:
\[\tag{24}
\mathcal I[\mathcal S]
=\left(
\mathcal N,
E,
\mathbf P,
Q,
\mathbf M,
N_\Gamma,
\ldots
\right).
\]
Здесь \(\mathcal N\) обозначает операторную нормировку, \(E\) — полную энергию, \(\mathbf P\) — импульс, \(Q\) — заряд, \(\mathbf M\) — полный момент, а \(N_\Gamma\) — индекс внутреннего замыкания.
Физически допустимое взаимодействие должно удовлетворять условию
\[\tag{25}
\boxed{
\mathcal I[\mathcal S_{\mathrm{in}}]
=\mathcal I[\mathcal S_{\mathrm{out}}].
}
\]
Это равенство не означает, что энергия, заряд и импульс являются одним оператором. Оно утверждает, что все они принадлежат одному полному состоянию и извлекаются собственными отображениями:
\[\tag{26}
\mathcal P_r[\mathcal B_{\mathrm{in}}]
=\mathcal P_r[\mathcal B_{\mathrm{out}}],
\qquad
r=E,p,q,M,\Gamma,\ldots
\]
Здесь \(\mathcal B\) обозначает полное операторное содержание системы, а \(\mathcal P_r\) — проектор или физическое отображение конкретной наблюдаемой величины.
10. Энергия и импульс как метрические проекции
Для набора массивных состояний энергия и импульс строятся из внутренних масштабов \(E_{0k}\) и норм \(\boldsymbol\Gamma_{\beta_k}\):
\[\tag{27}
E_{\mathrm{total}}
=\sum_k
\|\boldsymbol\Gamma_{\beta_k}\|E_{0k},
\qquad
\mathbf P_{\mathrm{total}}
=\sum_k
\frac{\|\boldsymbol\Gamma_{\beta_k}\|E_{0k}}{c}
\boldsymbol\beta_k.
\]
Для замкнутой взаимодействующей системы принимается сохранение этих проекций:
\[\tag{28}
\sum_{\mathrm{in}}E_k
=\sum_{\mathrm{out}}E_l,
\qquad
\sum_{\mathrm{in}}\mathbf p_k
=\sum_{\mathrm{out}}\mathbf p_l.
\]
Эти равенства не выводятся только из \(J\overline J=1\). Энергетическое отображение требует внутреннего масштаба \(E_0=\hbar\omega\), метрики глубокого состояния и однородности времени полной системы. Операторная норма сохраняет структуру фаз, а энергетический проектор переводит её в физический баланс.
11. Заряд и независимые внутренние признаки
Электрический заряд определяется собственным оператором и проектором наблюдаемой величины:
\[\tag{29}
\widehat QJ_{q,Q}=QJ_{q,Q}.
\]
Для полного взаимодействия зарядовый баланс имеет вид
\[\tag{30}
\sum_{\mathrm{in}}Q_k
=\sum_{\mathrm{out}}Q_l.
\]
По такому же принципу могут быть введены независимые проекторы аромата, цвета и других внутренних признаков. Численное значение наблюдаемой величины является собственным значением соответствующего оператора, а не амплитудным множителем, нарушающим нормировку состояния.
Поэтому противоположный знак одной идемпотентной компоненты нельзя автоматически объявлять знаком электрического заряда. Частица и античастица различаются зарядовым оператором, а их спиновые ориентации и направления внутреннего замыкания задаются отдельно.
12. Индекс внутреннего замыкания
Замкнутая частица и свободная волна различаются топологическим индексом. Для относительной глубокой фазы \(q_{\mathrm{rel}}\) он определяется как
\[\tag{31}
N_\Gamma[Q_\Gamma]
=\frac1{2\pi i}
\oint_\Gamma
q_{\mathrm{rel}}^{-1}
\,dq_{\mathrm{rel}}.
\]
При непрерывной нормированной эволюции изолированного состояния
\[\tag{32}
N_\Gamma=\operatorname{const}.
\]
В полном взаимодействии локальные индексы отдельных объектов могут перераспределяться, но их суммарное значение должно сохраняться:
\[\tag{33}
\boxed{
\sum_{\mathrm{in}}N_{\Gamma,k}
=\sum_{\mathrm{out}}N_{\Gamma,l}.
}
\]
Это условие запрещает самопроизвольное размыкание единственной электронной волны и самопроизвольное образование одной замкнутой частицы из свободного режима. Замыкания могут появляться или исчезать только в компенсированном полном процессе. Подробный вывод приведён в статье «Многоуровневое расщепление электрона».
13. Предварительное правило двойного баланса
Для взаимодействия двух входных и двух выходных операторов предлагается проверять два алгебраических инварианта:
\[\tag{34}
\boxed{
J_1+J_2=J_3+J_4,
\qquad
J_1J_2=J_3J_4.
}
\]
Первое равенство сохраняет аддитивное распределение компонент, второе — их совместную мультипликативную связь. Для коммутирующих операторов возможные выходные состояния являются корнями квадратного уравнения
\[\tag{35}
X^2-(J_1+J_2)X+J_1J_2=0.
\]
Правило двойного баланса не заменяет тензорное составное состояние и не доказывает допустимость любой реакции. Оно является дополнительным алгебраическим фильтром для совместимых операторных каналов. Его вывод и область применения подробно рассматриваются во второй части.
14. Частица и античастица
Состояния частицы и античастицы следует различать несколькими независимыми признаками:
\[\tag{36}
\begin{aligned}
J_P
&=J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)}
Q_{\Gamma,P}J_{q,+}J_{r,1}\cdots,\\
J_{\bar P}
&=J_{\mathrm{dyn}}^{(\bar\sigma)}
Q_{\Gamma,\bar P}J_{q,-}J_{r,1}\cdots.
\end{aligned}
\]
Операторы \(J_{q,+}\) и \(J_{q,-}\) задают противоположные зарядовые состояния. Параметры \(\sigma\) и \(\bar\sigma\) обозначают спиновые ориентации, а \(Q_{\Gamma,P}\) и \(Q_{\Gamma,\bar P}\) — структуры внутреннего замыкания. Эти признаки могут быть связаны в конкретной частице, но не являются одним и тем же свойством.
Следовательно, прежние формы
\[\tag{37}
J_+=\ep A+\em B,
\qquad
J_-=\ep A-\em B
\]
можно использовать только как две алгебраические ориентации компоненты. Они недостаточны для полного определения частицы и античастицы.
15. Аннигиляция электрона и позитрона
Начальное состояние электрон-позитронной пары является тензорным произведением:
\[\tag{38}
\mathcal S_{\mathrm{in}}
=J_{e^-}\otimes J_{e^+}.
\]
В двухфотонном канале конечное состояние имеет вид
\[\tag{39}
\mathcal S_{\mathrm{out}}
=J_{\gamma_1}\otimes J_{\gamma_2}.
\]
Полное преобразование записывается как
\[\tag{40}
\boxed{
J_{e^-}\otimes J_{e^+}
\overset{\mathcal U_{\mathrm{ann}}}{\longrightarrow}
J_{\gamma_1}\otimes J_{\gamma_2}.
}
\]
В компенсированном канале одновременно выполняются независимые условия
\[\tag{41}
Q_{e^-}+Q_{e^+}=0,
\qquad
N_{\Gamma,e^-}+N_{\Gamma,e^+}=0.
\]
Первое равенство относится к электрическому заряду, второе — к внутреннему замыканию. Их нельзя отождествлять. При взаимодействии противоположные замыкания компенсируются, а связанные волновые компоненты переходят в свободные распространяющиеся состояния.
В системе центра масс покоящейся пары суммарный внешний импульс равен нулю:
\[\tag{42}
\mathbf p_{\gamma_1}
+\mathbf p_{\gamma_2}=0,
\qquad
\mathbf p_{\gamma_1}
=-\mathbf p_{\gamma_2}.
\]
Один свободный фотон с ненулевой энергией не может иметь нулевой импульс. Поэтому простейший выход образует согласованная пара противоположно направленных фотонов. Это не исключает другие каналы, например трёхфотонный распад ортопозитрония, для которого компенсация достигается тремя внешними проекциями.
Ранее использованное преобразование \((iE+P,iE-P)\to(E+iP,E-iP)\) можно рассматривать как наглядную аналогию поворота компонент, но не как основной операторный закон. Энергия и импульс должны извлекаться соответствующими физическими проекторами, а не отождествляться непосредственно с осями и-базиса.
16. Обратное преобразование и рождение пары
Обратная перестройка двух свободных состояний в электрон-позитронную пару записывается как
\[\tag{43}
J_{\gamma_1}\otimes J_{\gamma_2}
\overset{\mathcal U_{\mathrm{pair}}}{\longrightarrow}
J_{e^-}\otimes J_{e^+}.
\]
Свободные состояния не содержат электронного внутреннего замыкания. В полном процессе два противоположных замыкания возникают одновременно:
\[\tag{44}
0\longrightarrow(+1)+(-1)=0.
\]
Одновременно возникают противоположные зарядовые состояния:
\[\tag{45}
0\longrightarrow(-e)+(+e)=0.
\]
Следовательно, внутреннее замыкание и заряд не возникают по отдельности и не нарушают общий баланс. Для реализации процесса должны также существовать подходящие энергетические и импульсные проекции полного начального состояния.
17. Позитроний как связанное состояние
Электрон и позитрон могут не переходить сразу в свободное излучение, а образовать связанное состояние. Его нельзя определять простой арифметической суммой операторов. Введём проектор связывания:
\[\tag{46}
\boxed{
J_{\mathrm{Ps}}
=\mathcal P_{\mathrm{bound}}
\left(
J_{e^-}\otimes J_{e^+}
\right).
}
\]
Проектор \(\mathcal P_{\mathrm{bound}}\) выделяет согласованное состояние пары с общей орбитальной структурой и определённой относительной фазой. Парапозитроний и ортопозитроний соответствуют различным совместным спиновым секторам, а не просто нулевой или ненулевой арифметической сумме внутренних операторов.
Распад связанного состояния должен сохранять полный набор его проекторов. Поэтому различие двух- и трёхфотонных каналов связывается с разной совместной ориентацией исходной пары и различным способом распределения полного момента между выходными состояниями.
18. Рассеяние частиц
При упругом или неупругом рассеянии типы частиц могут сохраняться, тогда как параметры их динамических состояний изменяются:
\[\tag{47}
J_1(a_1,b_1)\otimes J_2(a_2,b_2)
\longrightarrow
J_1(a_1',b_1')\otimes J_2(a_2',b_2').
\]
Изменение \(b_k\) соответствует изменению внешней скорости и импульса. Изменение \(a_k\) относится к внутренней фазе, частоте или возбуждению. Это исправляет прежнюю интерпретацию, в которой общая фаза \(a\) связывалась с внешним движением, а \(b\) — с внутренней перестройкой.
Если типы частиц не меняются, их классификационные операторы сохраняются:
\[\tag{48}
J_{q,k}'=J_{q,k},
\qquad
J_{f,k}'=J_{f,k},
\qquad
J_{c,k}'=J_{c,k},
\quad\ldots
\]
Одновременно должны сохраняться суммарные метрические проекции:
\[\tag{49}
E_1+E_2=E_1'+E_2',
\qquad
\mathbf p_1+\mathbf p_2
=\mathbf p_1'+\mathbf p_2'.
\]
19. Поглощение и испускание свободной волны
Поглощение фотона частицей является преобразованием составного входного состояния:
\[\tag{50}
J_P\otimes J_\gamma
\overset{\mathcal U_{\mathrm{abs}}}{\longrightarrow}
J_P'.
\]
Испускание соответствует обратному типу перестройки:
\[\tag{51}
J_P
\overset{\mathcal U_{\mathrm{em}}}{\longrightarrow}
J_P'\otimes J_\gamma.
\]
Равенство полного фотонного оператора разности состояний частицы
\[\tag{52}
J_\gamma=J_P-J_P'
\]
в общем случае использовать нельзя. Оно не учитывает различие тензорного и аддитивного уровней, а также возможную перестройку глубоких и классификационных операторов. Разность допустима после применения конкретного линейного проектора:
\[\tag{53}
E_\gamma=E_P-E_P',
\qquad
\mathbf p_\gamma
=\mathbf p_P-\mathbf p_P',
\qquad
Q_\gamma=Q_P-Q_P'=0.
\]
Таким образом, фотон определяется собственным свободным волновым состоянием, а не только численной разностью двух состояний частицы.
20. Свободный фотон и предел массивной цепочки
Для фотонного режима
\[\tag{54}
\beta_\gamma=1,
\qquad
b_\gamma=\frac12,
\qquad
E_\gamma=c|\mathbf p_\gamma|.
\]
Но фотон нельзя получить подстановкой \(\beta=1\) в массивное глубокое состояние, поскольку
\[\tag{55}
\|\boldsymbol\Gamma_\beta\|
=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}
\longrightarrow\infty
\qquad(\beta\to1).
\]
Расходимость обозначает границу массивного метрического сектора. Фотон является отдельным свободным режимом с нулевым индексом электронного замыкания:
\[\tag{56}
N_\Gamma[J_\gamma]=0.
\]
21. Что определено и что остаётся неизвестным
Непосредственно из конечной алгебры следуют: разложение по двум идемпотентным плоскостям; ортогональность компонент; современная форма \(J(a,b)\); аддитивный закон показателей; единичная операторная норма; возможность прямой и перекрёстной перегруппировки каналов.
Принятой архитектурой модели являются: составной оператор частицы; разделение динамического, замыкающего, зарядового и других уровней; тензорное описание многочастичной системы; метрическое состояние \(\boldsymbol\Gamma_\beta\); индекс замыкания; правило двойного баланса.
Отдельной динамической модели требуют: конкретный вид \(\mathcal U_{\mathrm{int}}\); время протекания реакции; амплитуды и вероятности каналов; связь с измеряемыми сечениями рассеяния и ширинами распада; механизм выбора одного зарегистрированного результата.
Во второй части рассматривается правило двойного баланса, в третьей части — геометрия перестройки ветвей, а в четвёртой части — вероятности и динамика возможных каналов. Эти статьи также должны использовать современный смысл параметров \(a\) и \(b\).
Выводы
Современное описание взаимодействий начинается с оператора \(J(a,b)=\j^a(-\j)^b\), в котором \(a\) задаёт внутреннее состояние, а \(b\) — внешнее движение. Другие свойства не скрываются в этих двух параметрах, а добавляются независимыми операторными уровнями.
Состояние одной частицы является произведением совместимых операторов, тогда как состояние нескольких частиц образует тензорное произведение:
\[\tag{57}
\boxed{
J_P
=J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)}Q_\Gamma
J_qJ_{\mathrm{orb}}\cdots,
\qquad
\mathcal S=\bigotimes_kJ_{P_k}.
}
\]
Взаимодействие представляет собой перестройку полного состояния оператором \(\mathcal U_{\mathrm{int}}\). Допустимый канал сохраняет весь набор независимых инвариантов:
\[\tag{58}
\boxed{
\mathcal S_{\mathrm{out}}
=\mathcal U_{\mathrm{int}}
\mathcal S_{\mathrm{in}},
\qquad
\mathcal I[\mathcal S_{\mathrm{out}}]
=\mathcal I[\mathcal S_{\mathrm{in}}].
}
\]
Энергия, импульс, заряд, момент и индекс замыкания при этом не являются одним числом. Каждый из них получается собственной проекцией полного операторного содержания. Такой подход связывает известные физические балансы с внутренней геометрией модели и одновременно показывает, какие условия ещё требуют самостоятельного динамического вывода.
Правило сохранения суммы и произведения остаётся важным алгебраическим фильтром:
\[\tag{59}
\boxed{
J_1+J_2=J_3+J_4,
\qquad
J_1J_2=J_3J_4.
}
\]
Однако теперь оно применяется внутри более полной архитектуры: с фиксированным смыслом параметров \(a\) и \(b\), независимыми операторами физических признаков, глубокими метрическими состояниями и топологическим балансом замыканий.