2026-07-22
Геометрическое представление взаимодействий частиц
Часть 1. Состояния частиц и их преобразования в и-базисе
Введение
В физике взаимодействие частиц обычно записывается как переход одного набора объектов в другой. Например, электрон и позитрон могут аннигилировать с образованием двух фотонов, а два фотона при выполнении необходимых условий могут участвовать в рождении пары частица–античастица.
Такая запись хорошо показывает начальные и конечные частицы, но почти ничего не говорит о внутренней геометрии самого преобразования. Остаётся неясным, существует ли единый математический объект, который мог бы описывать как исходные, так и конечные состояния.
В этой статье предлагается рассматривать каждую частицу как геометрическое состояние в четырёхмерном и-базисе. Тогда взаимодействие можно представить как преобразование нескольких состояний, происходящее одновременно в двух связанных комплексных плоскостях.
На данном этапе мы не будем вводить вероятности и не будем доказывать общий закон взаимодействия. Сначала покажем, каким образом состояния частиц и простейшие реакции можно представить средствами сплит-геометрии.
1. Четырёхмерный и-базис
В основе модели лежат два идемпотента \(\ep\) и \(\em\). Вместе с мнимой единицей они образуют четырёхмерный базис
\[\tag{1}
\left\{
\ep,\;
i\ep,\;
\em,\;
i\em
\right\}.
\]
Идемпотенты удовлетворяют условиям
\[\tag{2}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Этот базис можно представить как сумму двух независимых комплексных плоскостей:
\[\tag{3}
(\ep,i\ep)
\qquad\text{и}\qquad
(\em,i\em).
\]
Главное свойство состоит в том, что две идемпотентные части не смешиваются при умножении. Смешанное произведение исчезает вследствие условия \(\ep\em=0\). Поэтому состояние можно разделить на две комплексные компоненты и исследовать их независимо.
В дальнейшем первую плоскость можно условно связывать с общей, или внешней, составляющей состояния, а вторую — с внутренней. Это не является обязательной физической интерпретацией алгебры, но оказывается удобным для описания частиц и их преобразований.
2. Оператор состояния
Состояние отдельного объекта представим оператором
\[\tag{4}
J(a,b)=e^{ia}\j^b.
\]
Параметр \(a\) задаёт общую фазу объекта, тогда как параметр \(b\) определяет относительный поворот между двумя комплексными плоскостями.
В и-базисе оператор раскрывается в виде
\[\tag{5}
J(a,b)
=
\ep e^{ia}
+
\em e^{i(a+\pi b)}.
\]
Обе части состояния имеют общую фазу \(a\), однако вторая плоскость дополнительно повёрнута на угол \(\pi b\). Следовательно, параметр \(a\) описывает согласованное вращение всего состояния, а параметр \(b\) изменяет внутреннее соотношение между двумя его частями.
Эту же конструкцию можно записать через сплит-косинус и сплит-синус:
\[\tag{6}
J(a,b)
=
\operatorname{cs}(a,b)
+
i\operatorname{sn}(a,b).
\]
где
\[\tag{7}
\operatorname{cs}(a,b)
=
\ep\cos a
+
\em\cos(a+\pi b).
\]
\[\tag{8}
\operatorname{sn}(a,b)
=
\ep\sin a
+
\em\sin(a+\pi b).
\]
Формула (6) является расширением формулы Эйлера. В обычной комплексной плоскости состояние описывается одной окружностью. Здесь одновременно существуют две окружности, связанные общей фазой и относительным углом.
Если \(b=0\), обе плоскости имеют одинаковую фазу, и оператор переходит в обычную комплексную экспоненту:
\[\tag{9}
J(a,0)=e^{ia}.
\]
Если \(a=0\), остаётся только внутреннее вращение:
\[\tag{10}
J(0,b)=\j^b.
\]
Таким образом, обычное комплексное вращение и внутреннее сплит-вращение являются двумя частными случаями одного объекта.
Тем самым каждая частица описывается не четырьмя независимыми координатами, а двумя угловыми параметрами a и b, определяющими положение состояния в двух связанных комплексных плоскостях.
3. Что означает взаимодействие
Рассмотрим процесс, в котором два начальных состояния переходят в два конечных:
\[\tag{11}
J_1+J_2
\longrightarrow
J_3+J_4.
\]
На данном этапе стрелка обозначает только преобразование. Мы пока не утверждаем, что сумма слева обязательно равна сумме справа. Такое условие будет рассмотрено во второй части работы.
Каждое состояние содержит две идемпотентные компоненты. Поэтому взаимодействие можно понимать как изменение способа, которым эти компоненты объединены в отдельных объектах.
Пусть четыре состояния имеют вид
\[\tag{12}
J_k=\ep A_k+\em B_k.
\]
Тогда схема взаимодействия записывается следующим образом:
\[\tag{13}
\left(
\ep A_1+\em B_1
\right)
+
\left(
\ep A_2+\em B_2
\right)
\longrightarrow
\left(
\ep A_3+\em B_3
\right)
+
\left(
\ep A_4+\em B_4
\right).
\]
В этой записи видно, что преобразование может затрагивать не только общие фазы объектов, но и способ соединения их компонент.
До взаимодействия компонент \(A_1\) может быть объединён с компонентом \(B_1\), а \(A_2\) — с \(B_2\). После взаимодействия может возникнуть другое объединение: \(A_1\) с \(B_2\), а \(A_2\) с \(B_1\).
Следовательно, даже при сохранении полного набора компонент могут существовать разные способы формирования конечных объектов.
4. Частица и античастица
Для геометрической модели удобно рассматривать частицу и античастицу как два взаимно связанных состояния. Их компоненты могут иметь одинаковые модули, но различаться относительной ориентацией, знаком фазы или направлением внутреннего вращения.
В простейшем символическом виде такую пару можно представить как
\[\tag{14}
J_{+}=\ep A+\em B,
\qquad
J_{-}=\ep A-\em B.
\]
Знак перед второй компонентой здесь не следует автоматически отождествлять с электрическим зарядом. Он лишь показывает противоположную ориентацию одной из частей состояния.
Физическое определение заряда должно вводиться отдельным условием. Тем не менее формула (14) показывает, что частица и античастица могут быть представлены как разные конфигурации одной геометрической структуры.
Можно рассмотреть и более общий вариант, в котором противоположность задаётся не знаком, а фазовым сдвигом:
\[\tag{15}
J_{+}=e^{ia}\j^b,
\qquad
J_{-}=e^{ia}\j^{-b}.
\]
В этом случае два состояния имеют одну общую фазу, но противоположные внутренние фазы.
5. Аннигиляция электрона и позитрона
Рассмотрим реакцию
\[\tag{16}
e^-+e^+
\longrightarrow
\gamma_1+\gamma_2.
\]
В обычной физической интерпретации электрон и позитрон исчезают, а их энергия и импульс переходят к двум фотонам.
В предлагаемой геометрической модели речь идёт не об исчезновении математического состояния, а о преобразовании способа объединения его компонент.
Обозначим состояния электрона, позитрона и двух фотонов как
\[\tag{17}
J_{e^-},
\qquad
J_{e^+},
\qquad
J_{\gamma_1},
\qquad
J_{\gamma_2}.
\]
Тогда геометрическая схема реакции принимает вид
\[\tag{18}
J_{e^-}+J_{e^+}
\longrightarrow
J_{\gamma_1}+J_{\gamma_2}.
\]
До взаимодействия компоненты двух комплексных плоскостей объединены в состояниях электрона и позитрона. После взаимодействия те же геометрические составляющие должны сформировать два фотонных состояния.
В качестве наглядной схемы можно использовать преобразование
\[\tag{19}
\left(
iE+P,\;
iE-P
\right)
\longrightarrow
\left(
E+iP,\;
E-iP
\right).
\]
В левой части величина \(E\) расположена преимущественно вдоль мнимого направления, а величина \(P\) — вдоль действительного. В правой части их геометрические роли меняются.
Такое преобразование можно интерпретировать как поворот структуры состояния, при котором связанная пара частица–античастица переходит в пару распространяющихся состояний.
Формула (19) является геометрической схемой. Она не заменяет стандартные законы физики. Для описания реальной реакции дополнительно должны выполняться законы сохранения энергии, импульса, электрического заряда и углового момента.
6. Почему возникают два фотона
Один из важных вопросов состоит в том, почему при аннигиляции покоящихся электрона и позитрона образуются по меньшей мере два фотона.
С точки зрения стандартной физики один фотон не может одновременно сохранить полную энергию и нулевой суммарный импульс исходной системы. Поэтому возникают два фотона, импульсы которых направлены в противоположные стороны.
В геометрической модели это означает, что конечное состояние также должно быть замкнуто парой взаимно дополняющих объектов.
Условно такую пару можно представить как
\[\tag{20}
J_{\gamma_1}=E+iP,
\qquad
J_{\gamma_2}=E-iP.
\]
Пространственные компоненты двух состояний имеют противоположные знаки и взаимно компенсируются, тогда как их энергетические части складываются.
Поэтому два фотона можно рассматривать не как два совершенно независимых результата, а как одну согласованную пару выходных состояний.
7. Обратное преобразование: рождение пары
Обратный процесс можно записать как
\[\tag{21}
\gamma_1+\gamma_2
\longrightarrow
e^-+e^+.
\]
В геометрической форме это соответствует обратной перегруппировке компонент:
\[\tag{22}
\left(
E+iP,\;
E-iP
\right)
\longrightarrow
\left(
iE+P,\;
iE-P
\right).
\]
Два распространяющихся состояния образуют связанную пару частица–античастица. Геометрическая структура при этом не исчезает, а переходит из одного способа организации в другой.
Следовательно, аннигиляция и рождение пары могут рассматриваться как взаимно обратные преобразования одной и той же системы компонент.
При этом формула (22) не означает, что любые два фотона обязательно создают электрон и позитрон. Для рождения пары должны выполняться энергетические и кинематические условия.
В реальных процессах также может потребоваться дополнительный объект, например ядро, которое принимает часть импульса и обеспечивает выполнение законов сохранения.
8. Образование позитрония
Электрон и позитрон не обязательно сразу аннигилируют. Они могут образовать связанное состояние — позитроний.
Геометрически это означает, что два исходных состояния замыкаются в единую согласованную систему:
\[\tag{23}
J_{e^-}+J_{e^+}
\longrightarrow
J_{\mathrm{Ps}}.
\]
Здесь \(J_{\mathrm{Ps}}\) следует понимать не как обычную арифметическую сумму двух чисел, а как составное состояние, в котором фазы и внутренние компоненты электрона и позитрона согласованы между собой.
Разные формы позитрония можно предварительно связать с различной взаимной ориентацией исходных состояний.
В одном случае внутренние направления могут взаимно компенсироваться:
\[\tag{24}
J_{e^-}^{(\mathrm{int})}+J_{e^+}^{(\mathrm{int})}=0.
\]
В другом случае они могут образовывать согласованную ненулевую внутреннюю ориентацию:
\[\tag{25}
J_{e^-}^{(\mathrm{int})}
+
J_{e^+}^{(\mathrm{int})}
\ne
0.
\]
Такое различие можно в дальнейшем сопоставить парапозитронию и ортопозитронию. Однако строгая связь с квантовым спином потребует отдельного анализа.
На данном этапе важно лишь то, что одна и та же пара исходных объектов может образовывать разные связанные состояния в зависимости от взаимной ориентации компонент.
9. Рассеяние частиц
Предлагаемый подход не ограничивается процессами рождения и уничтожения частиц. Его можно применять к взаимодействиям, при которых типы частиц сохраняются, но изменяются их состояния.
Например, рассеяние двух частиц можно представить как
\[\tag{26}
J_1(a_1,b_1)
+
J_2(a_2,b_2)
\longrightarrow
J_1(a_3,b_3)
+
J_2(a_4,b_4).
\]
До и после взаимодействия присутствуют те же объекты, однако параметры их состояний изменяются.
Изменение общей фазы \(a\) может быть связано с внешним движением или направлением распространения. Изменение относительной фазы \(b\) может отражать перестройку внутреннего состояния.
В таком представлении рассеяние является не столкновением геометрически неизменных точек, а преобразованием фазовых структур двух объектов.
10. Поглощение фотона
Поглощение фотона частицей можно записать как
\[\tag{27}
J_{\mathrm{particle}}
+
J_\gamma
\longrightarrow
J_{\mathrm{particle}}^{\prime}.
\]
В обычной интерпретации фотон передаёт частице энергию и импульс. В геометрической модели его состояние включается в новое состояние частицы.
При этом может измениться как общая фаза частицы, так и относительная фаза между двумя плоскостями и-базиса.
Схематически можно записать
\[\tag{28}
e^{ia_1}\j^{b_1}
+
e^{ia_2}\j^{b_2}
\longrightarrow
e^{ia_3}\j^{b_3}.
\]
Формула (28) не является обычным правилом сложения экспонент. Она показывает переход составной системы в новое связанное состояние.
11. Испускание фотона
Обратное преобразование соответствует испусканию фотона:
\[\tag{29}
J_{\mathrm{particle}}
\longrightarrow
J_{\mathrm{particle}}^{\prime}+J_{\gamma}.
\]
В этом случае часть структуры исходного состояния выделяется в самостоятельное распространяющееся состояние.
Разность между начальным и конечным состояниями частицы определяет состояние испущенного фотона:
\[\tag{30}
J_{\gamma}
=
J_{\mathrm{particle}}
-
J_{\mathrm{particle}}^{\prime}.
\]
Здесь знак равенства следует понимать как геометрическое условие баланса состояний. Его строгий смысл будет рассмотрен во второй части статьи.
12. Одиночные преобразования
Некоторые физические процессы внешне выглядят как превращение одной частицы в другую. Однако практически всегда вместе с новой частицей возникают дополнительные объекты или поля, обеспечивающие выполнение законов сохранения.
Общую схему такого процесса можно записать как
\[\tag{31}
J_A
\longrightarrow
J_B+J_C+\ldots
\]
В геометрической модели это означает, что одно исходное состояние распадается на несколько взаимно согласованных компонент.
Обратный процесс имеет вид
\[\tag{32}
J_B+J_C+\ldots
\longrightarrow
J_A.
\]
Таким образом, разделение и объединение состояний можно рассматривать как два направления одного геометрического преобразования.
13. Общая схема взаимодействия
Обобщая рассмотренные примеры, взаимодействие нескольких объектов можно представить как преобразование набора состояний:
\[\tag{33}
J_1+J_2+\ldots+J_n
\longrightarrow
J_1^{\prime}
+
J_2^{\prime}
+
\ldots
+
J_m^{\prime}.
\]
Такая запись пока не определяет, какие именно реакции разрешены. Она создаёт единый язык, в котором каждая частица описывается объектом \(J\), а взаимодействие означает преобразование и перегруппировку таких объектов.
Физически допустимая реакция должна дополнительно удовлетворять законам сохранения энергии, импульса, заряда, углового момента и других квантовых чисел.
Следовательно, геометрическая модель не отменяет известные законы. Она добавляет к ним описание внутренней структуры состояния.
14. Что даёт сплит-представление
Основное преимущество и-базиса состоит в разделении объекта на две комплексные составляющие.
Обычная комплексная экспонента описывает вращение в одной плоскости:
\[\tag{34}
e^{ia}
=
\cos a+i\sin a.
\]
Сплит-оператор содержит две плоскости:
\[\tag{35}
e^{ia}\j^b
=
\ep e^{ia}
+
\em e^{i(a+\pi b)}.
\]
Поэтому одна часть состояния может описывать общее вращение, а другая — внутренний фазовый цикл.
Взаимодействие тогда представляет собой не только изменение внешнего движения, но и перестройку взаимной ориентации двух частей состояния.
Особенно важно, что благодаря условию \(\ep\em=0\) две компоненты могут перераспределяться независимо. В дальнейшем именно это свойство позволит получить несколько допустимых вариантов конечного состояния.
15. Геометрическая перегруппировка
Рассмотрим два исходных объекта:
\[\tag{36}
J_1=\ep A_1+\em B_1,
\qquad
J_2=\ep A_2+\em B_2.
\]
Первый очевидный вариант конечной пары сохраняет первоначальное объединение компонент:
\[\tag{37}
\left\{
\ep A_1+\em B_1,
\;
\ep A_2+\em B_2
\right\}.
\]
Однако возможна и перекрёстная перегруппировка:
\[\tag{38}
\left\{
\ep A_1+\em B_2,
\;
\ep A_2+\em B_1
\right\}.
\]
Во втором случае полный набор компонент остаётся тем же, но они образуют другие объекты.
Именно такую перегруппировку можно предварительно рассматривать как геометрический механизм преобразования одних частиц в другие без изменения полного набора компонент системы.
Пока мы не утверждаем, что обе конфигурации обязательно допустимы. Для этого требуется дополнительное условие, которое должно учитывать не только сумму, но и взаимную связь состояний.
16. Пределы геометрической модели
Приведённые преобразования следует рассматривать как геометрические схемы. Они показывают возможный способ представления взаимодействий, но ещё не отвечают на несколько принципиальных вопросов.
Во-первых, пока не определено единое математическое условие, позволяющее отличить допустимое преобразование от недопустимого.
Во-вторых, не показано, какие свойства начальной пары должны обязательно сохраняться в конечной паре.
В-третьих, пока не объяснено, почему при одних и тех же начальных состояниях могут возникать разные конечные результаты.
Наконец, на этом этапе ничего не говорится о вероятности отдельных исходов.
Для ответа на первый и второй вопросы в следующей части будет введено правило двойного баланса. Оно потребует сохранения двух характеристик пары состояний: их суммы и произведения.
\[\tag{39}
J_1+J_2=J_3+J_4.
\]
\[\tag{40}
J_1J_2=J_3J_4.
\]
Будет показано, что эти два условия приводят к квадратному уравнению, корнями которого являются возможные конечные состояния взаимодействия.
После этого рассмотренные в настоящей статье примеры можно будет исследовать не только как наглядные геометрические схемы, но и как следствия общего правила.
Выводы
В статье предложено представлять состояние частицы оператором \(J=e^{ia}\j^b\), действующим в четырёхмерном и-базисе.
Такой оператор объединяет две комплексные плоскости и позволяет одновременно учитывать общую фазу объекта и относительную фазу между двумя частями его состояния.
Взаимодействие частиц рассматривается как преобразование и перегруппировка геометрических состояний. На примерах аннигиляции электрона и позитрона, рождения пары, образования позитрония, рассеяния, поглощения и испускания фотона показано, что разные физические процессы могут быть представлены на едином языке.
В рамках такой интерпретации частица, античастица и волновое состояние не обязательно являются принципиально разными математическими объектами. Они могут соответствовать различным способам объединения и ориентации компонент одного и того же и-базиса.
Однако одной геометрической схемы реакции недостаточно. Необходимо правило, которое определяет допустимые конечные состояния.
Во второй части будет введено правило двойного баланса суммы и произведения состояний. Будет показано, что именно эти два инварианта позволяют восстановить возможные конечные состояния взаимодействия и приводят к квадратному уравнению преобразования.