2026-07-22
Геометрическое представление взаимодействий частиц
Часть 2. Двойной баланс в многооператорной структуре
В первой части взаимодействие было представлено как преобразование полного многооператорного состояния. Одна частица описывается произведением динамического, замыкающего, зарядового и других операторов, тогда как состояние нескольких частиц образует тензорное произведение.
В настоящей части исследуется правило двойного баланса. Его математическим основанием является возможность соединить один и тот же набор идемпотентных ветвей двумя разными способами. Такие сборки действительно имеют одинаковые сумму и произведение. Однако из этого ещё не следует, что любая физическая реакция обязана быть перегруппировкой сохранённых ветвей.
Необходимо различать точный алгебраический результат и физическую гипотезу. Сохранение суммы и произведения строго следует из перегруппировки одного набора коммутирующих ветвей. Применимость этой перегруппировки к взаимодействиям частиц требует отдельного физического обоснования.
\[\tag{1}
\boxed{
\text{сохранение набора ветвей}
\quad\Longrightarrow\quad
\begin{cases}
J_1+J_2=J_3+J_4,\\
J_1J_2=J_3J_4,
\end{cases}
}
\]
1. Два уровня описания взаимодействия
Полное состояние частицы имеет многооператорную структуру:
\[\tag{2}
J_P
=J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)}(a,b)
Q_\Gamma
J_qJ_{\mathrm{orb}}J_fJ_cJ_g\cdots.
\]
Для двух частиц составное состояние записывается как
\[\tag{3}
\mathcal S_{12}
=J_{P_1}\otimes J_{P_2}.
\]
Правило двойного баланса не следует автоматически применять ко всему тензорному произведению. Сначала необходимо выделить активный коммутативный сектор \(r\), внутри которого два оператора имеют сплит-разложение
\[\tag{4}
J_{r,k}
=\ep A_{r,k}+\em B_{r,k},
\qquad
k=1,2.
\]
Индекс \(r\) может обозначать динамический, зарядовый, орбитальный, замыкающий или другой независимый уровень. Двойной баланс является свойством ветвей выбранного сектора, а не арифметической операцией над всей многочастичной системой.
2. Покомпонентное действие функций
Пусть
\[\tag{5}
J=\ep A+\em B,
\]
где \(A\) и \(B\) принадлежат двум комплексным идемпотентным плоскостям. Используем свойства
\[\tag{6}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Для любого целого \(n\geqslant1\) смешанные слагаемые исчезают, поэтому
\[\tag{7}
(\ep A+\em B)^n
=\ep A^n+\em B^n.
\]
Если функция задаётся сходящимся степенным рядом
\[\tag{8}
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n,
\]
то она действует отдельно в каждой идемпотентной плоскости:
\[\tag{9}
\boxed{
f(\ep A+\em B)
=\ep f(A)+\em f(B).
}
\]
Формула (9) является точным следствием идемпотентной алгебры. Если функция однозначна, она даёт по одному результату в каждой плоскости. Если функция многозначна, её ветви возникают независимо в двух каналах.
3. Квадратный корень как пример многозначности
Пусть выбраны значения \(A_0\) и \(B_0\), удовлетворяющие условиям
\[\tag{10}
A_0^2=A,
\qquad
B_0^2=B.
\]
Тогда
\[\tag{11}
(\ep A_0+\em B_0)^2
=\ep A+\em B.
\]
В каждой комплексной плоскости квадратный корень имеет две ветви:
\[\tag{12}
\sqrt A\in\{A_0,-A_0\},
\qquad
\sqrt B\in\{B_0,-B_0\}.
\]
Поскольку выборы независимы, полный набор корней содержит четыре сплит-значения:
\[\tag{13}
\sqrt{\ep A+\em B}
\in
\left\{
\begin{aligned}
&\ep A_0+\em B_0,\quad
\ep A_0-\em B_0,\\
&-\ep A_0+\em B_0,\quad
-\ep A_0-\em B_0
\end{aligned}
\right\}.
\]
Четырёхветвенность возникает как декартово произведение двух наборов:
\[\tag{14}
2\times2=4.
\]
Эти четыре значения являются ветвями одного сплит-выражения. Сами по себе они ещё не являются четырьмя физическими частицами или четырьмя наблюдаемыми каналами реакции.
4. Общая четырёхветвенная конструкция
Обозначим две ветви первой компоненты через \(A_1,A_2\), а второй — через \(B_1,B_2\). Тогда возникают четыре сочетания:
\[\tag{15}
\begin{aligned}
J_{11}&=\ep A_1+\em B_1,
&J_{12}&=\ep A_1+\em B_2,\\
J_{21}&=\ep A_2+\em B_1,
&J_{22}&=\ep A_2+\em B_2.
\end{aligned}
\]
Полный набор ветвей равен
\[\tag{16}
\mathcal R
=\{A_1,A_2\}\times\{B_1,B_2\}.
\]
Каждая ветвь первой плоскости может соединяться с каждой ветвью второй. Такое комбинаторное свойство относится к одному выбранному сплит-сектору и не зависит от того, какой физический смысл впоследствии будет ему сопоставлен.
5. Две взаимодополняющие пары
Четыре состояния можно собрать в две пары так, чтобы каждая из них использовала по одному разу все значения \(A_1,A_2,B_1,B_2\).
Прямая сборка:
\[\tag{17}
\mathcal C_{\parallel}
=\{J_{11},J_{22}\}.
\]
Перекрёстная сборка:
\[\tag{18}
\mathcal C_{\times}
=\{J_{12},J_{21}\}.
\]
В прямой паре сохраняется исходное соответствие \(A_1\leftrightarrow B_1\) и \(A_2\leftrightarrow B_2\). В перекрёстной паре связи изменяются:
\[\tag{19}
A_1\leftrightarrow B_2,
\qquad
A_2\leftrightarrow B_1.
\]
Ни одна ветвь при этом не исчезает и не удваивается. Меняется только способ объединения одного набора компонент.
6. Теорема о сохранении суммы
Сумма прямой пары равна
\[\tag{20}
J_{11}+J_{22}
=\ep(A_1+A_2)
+\em(B_1+B_2).
\]
Для перекрёстной пары получаем
\[\tag{21}
J_{12}+J_{21}
=\ep(A_1+A_2)
+\em(B_2+B_1).
\]
Поскольку сложение компонент коммутативно, суммы совпадают:
\[\tag{22}
\boxed{
J_{11}+J_{22}
=J_{12}+J_{21}.
}
\]
Таким образом, сохранение суммы является точным следствием того, что обе пары собраны из одного набора ветвей.
7. Теорема о сохранении произведения
Благодаря ортогональности идемпотентов произведение прямой пары имеет вид
\[\tag{23}
J_{11}J_{22}
=\ep A_1A_2
+\em B_1B_2.
\]
Произведение перекрёстной пары равно
\[\tag{24}
J_{12}J_{21}
=\ep A_1A_2
+\em B_2B_1.
\]
Если компоненты выбранного сектора коммутируют,
\[\tag{25}
B_1B_2=B_2B_1,
\]
то произведения двух сборок совпадают:
\[\tag{26}
\boxed{
J_{11}J_{22}
=J_{12}J_{21}.
}
\]
Условие коммутативности существенно. Если ветви являются некоммутирующими матричными операторами, необходимо сохранять порядок множителей или вводить симметризованное произведение. Формула (26) без дополнительного определения тогда неприменима.
8. Теорема о двойном балансе ветвей
Результаты двух предыдущих разделов можно объединить.
Если две пары коммутирующих сплит-операторов построены посредством разного соединения одного и того же полного набора идемпотентных ветвей, то их суммы и произведения совпадают.
\[\tag{27}
\boxed{
\begin{aligned}
J_1+J_2&=J_3+J_4,\\
J_1J_2&=J_3J_4.
\end{aligned}
}
\]
В такой формулировке двойной баланс не является произвольно выбранным алгебраическим постулатом. Он доказан для двух способов сборки одного набора ветвей. Но физическое утверждение о том, что реальные взаимодействия сохраняют именно такой набор ветвей, является дополнительной гипотезой.
\[\tag{28}
\boxed{
\begin{aligned}
&\text{перегруппировка сохранённых ветвей}
\Longrightarrow\text{двойной баланс},\\
&\text{физическое взаимодействие}
\Longrightarrow\text{перегруппировка ветвей}
\quad\text{— гипотеза модели}.
\end{aligned}
}
\]
9. Квадратное уравнение как следствие
Для выбранного сектора введём общую сумму и произведение:
\[\tag{29}
\Sigma=J_1+J_2,
\qquad
\Pi=J_1J_2.
\]
Каждый оператор допустимой пары является корнем уравнения
\[\tag{30}
\boxed{
X^2-\Sigma X+\Pi=0.
}
\]
Если
\[\tag{31}
X=\ep X_A+\em X_B,
\qquad
\Sigma=\ep\Sigma_A+\em\Sigma_B,
\qquad
\Pi=\ep\Pi_A+\em\Pi_B,
\]
то уравнение распадается на два независимых комплексных уравнения:
\[\tag{32}
X_A^2-\Sigma_AX_A+\Pi_A=0,
\qquad
X_B^2-\Sigma_BX_B+\Pi_B=0.
\]
Первое даёт корни \(A_1,A_2\), второе — \(B_1,B_2\). Их независимое соединение создаёт четыре сплит-корня \(J_{ij}\).
10. Почему квадратное уравнение имеет четыре сплит-корня
В обычном числовом поле квадратное уравнение имеет не более двух корней. Сплит-алгебра содержит делители нуля:
\[\tag{33}
\ep\ne0,
\qquad
\em\ne0,
\qquad
\ep\em=0.
\]
Поэтому корни двух идемпотентных компонент выбираются независимо:
\[\tag{34}
\{A_1,A_2\}
\times
\{B_1,B_2\}
=\{J_{11},J_{12},J_{21},J_{22}\}.
\]
Квадратное уравнение здесь не создаёт физическое взаимодействие. Оно компактно восстанавливает все алгебраические сборки, имеющие одинаковые секторные инварианты \(\Sigma\) и \(\Pi\).
11. Активный сектор многооператорного состояния
Пусть полный оператор частицы представлен произведением секторных операторов:
\[\tag{35}
J_{P_k}=\prod_{r\in\mathcal R}J_{r,k}.
\]
Если взаимодействие перестраивает только сектор \(r\), его удобно выделить:
\[\tag{36}
J_{P_k}
=J_{r,k}
\prod_{s\ne r}J_{s,k}.
\]
Остальные уровни являются спектаторными и сохраняются:
\[\tag{37}
J_{s,k}'=J_{s,k},
\qquad
s\ne r.
\]
Если активны несколько секторов, для каждого вводятся собственные инварианты:
\[\tag{38}
\Sigma_r
=J_{r,1}+J_{r,2},
\qquad
\Pi_r
=J_{r,1}J_{r,2}.
\]
12. Оператор перекрёстной перестройки
Прямое многочастичное состояние обозначим как
\[\tag{39}
\mathcal S_{\parallel}
=J_{P_1}\otimes J_{P_2}.
\]
Пусть \(\Pi_r^{\mathrm{swap}}\) переставляет ветви между двумя частицами только в активном секторе \(r\), а \(I_{\ne r}\) сохраняет остальные уровни. Тогда
\[\tag{40}
\mathcal U_{\times}^{(r)}
=I_{\ne r}\otimes\Pi_r^{\mathrm{swap}},
\]
\[\tag{41}
\mathcal S_{\times}
=\mathcal U_{\times}^{(r)}
\mathcal S_{\parallel}.
\]
Двойная перестановка возвращает исходную сборку:
\[\tag{42}
\left(\mathcal U_{\times}^{(r)}\right)^2=I.
\]
Это равенство выражает алгебраическую обратимость прямого и перекрёстного соединений. Оно не означает равенства вероятностей прямого и обратного физических процессов.
13. Секторный двойной баланс
Для каждого активного коммутативного сектора правило имеет вид
\[\tag{43}
\boxed{
\Sigma_r^{\mathrm{in}}
=\Sigma_r^{\mathrm{out}},
\qquad
\Pi_r^{\mathrm{in}}
=\Pi_r^{\mathrm{out}}.
}
\]
Полный алгебраический набор инвариантов взаимодействия двух частиц можно представить как
\[\tag{44}
\mathcal I_{\mathrm{alg}}
=\left\{
(\Sigma_r,\Pi_r)
\right\}_{r\in\mathcal R_{\mathrm{act}}}.
\]
Сохранение двойного баланса в одном секторе ещё не гарантирует равенства суммы полных операторов частиц. Произведения разных уровней могут быть взаимно коррелированы, поэтому переход от секторных равенств к полному оператору требует явного правила сборки.
Двойной баланс следует применять к явно указанным совместимым секторам. Запись без индекса сектора допустима только тогда, когда весь рассматриваемый оператор принадлежит одной коммутативной сплит-алгебре.
14. Алгебраическая, физическая и топологическая допустимость
Алгебраическая перегруппировка является только первым уровнем отбора. Обозначим:
\[\tag{45}
\begin{aligned}
\mathcal C_{\mathrm{alg}}
&=\text{каналы секторного двойного баланса},\\
\mathcal C_{\mathrm{phys}}
&=\text{каналы физических проекторов},\\
\mathcal C_{\Gamma}
&=\text{каналы топологического баланса}.
\end{aligned}
\]
Полный набор допустимых преобразований является их пересечением:
\[\tag{46}
\boxed{
\mathcal C_{\mathrm{allowed}}
=\mathcal C_{\mathrm{alg}}
\cap\mathcal C_{\mathrm{phys}}
\cap\mathcal C_{\Gamma}.
}
\]
Следовательно, наличие четырёх сплит-корней ещё не означает существования четырёх наблюдаемых результатов. Часть алгебраических сборок может не иметь необходимого энергетического масштаба, зарядового сектора, устойчивого замыкания или корректного метрического отображения.
15. Физические проекторы
Энергия, импульс, заряд и момент должны получаться отдельными проекторами полного состояния. Для массивной частицы энергетическая и импульсная проекции связаны с глубоким состоянием \(\boldsymbol\Gamma_\beta\):
\[\tag{47}
E_k
=\|\boldsymbol\Gamma_{\beta_k}\|E_{0k},
\qquad
\mathbf p_k
=\frac{\|\boldsymbol\Gamma_{\beta_k}\|E_{0k}}{c}
\boldsymbol\beta_k.
\]
Для полного взаимодействия проверяются балансы
\[\tag{48}
\begin{aligned}
\sum_{\mathrm{in}}E_k
&=\sum_{\mathrm{out}}E_l,\\
\sum_{\mathrm{in}}\mathbf p_k
&=\sum_{\mathrm{out}}\mathbf p_l,\\
\sum_{\mathrm{in}}Q_k
&=\sum_{\mathrm{out}}Q_l,\\
\sum_{\mathrm{in}}\mathbf M_k
&=\sum_{\mathrm{out}}\mathbf M_l.
\end{aligned}
\]
Эти равенства не являются одним и тем же условием и не следуют из одной лишь нормы \(J\overline J=1\). Они представляют разные физические проекции полного операторного содержания.
16. Топологический баланс замыканий
Для процессов, в которых локализованные частицы переходят в свободные волны или наоборот, необходимо учитывать индекс внутреннего замыкания:
\[\tag{49}
N_\Gamma[Q_\Gamma]
=\frac1{2\pi i}
\oint_\Gamma
q_{\mathrm{rel}}^{-1}
\,dq_{\mathrm{rel}}.
\]
В полном взаимодействии сохраняется суммарный индекс:
\[\tag{50}
\boxed{
\sum_{\mathrm{in}}N_{\Gamma,k}
=\sum_{\mathrm{out}}N_{\Gamma,l}.
}
\]
Это условие не позволяет единственному замкнутому состоянию самопроизвольно стать свободной волной. Замыкания могут исчезать или возникать только в компенсированном процессе. Подробное обоснование дано в статье «Многоуровневое расщепление электрона».
17. Современный смысл динамических ветвей
В динамическом секторе используется современный оператор
\[\tag{51}
J_k(a_k,b_k)
=\ep e^{i\pi b_k}
+\em e^{i\pi a_k}.
\]
Следовательно, компонентами являются
\[\tag{52}
A_k=e^{i\pi b_k},
\qquad
B_k=e^{i\pi a_k}.
\]
Прямая и перекрёстная сборки принимают вид
\[\tag{53}
\begin{aligned}
J_{11}&=\ep e^{i\pi b_1}
+\em e^{i\pi a_1},\\
J_{22}&=\ep e^{i\pi b_2}
+\em e^{i\pi a_2},\\
J_{12}&=\ep e^{i\pi b_1}
+\em e^{i\pi a_2},\\
J_{21}&=\ep e^{i\pi b_2}
+\em e^{i\pi a_1}.
\end{aligned}
\]
При перекрёстной сборке параметр \(b_1\) не становится внутренним, а \(a_2\) — внешним. Физические метки сохраняются независимо от их нового соединения. Однако новый оператор должен пройти проверку проектора внешней скорости, внутренней частоты и условий устойчивости.
18. Аннигиляция электрон-позитронной пары
Двухфотонный канал аннигиляции записывается как преобразование тензорных состояний:
\[\tag{54}
J_{e^-}\otimes J_{e^+}
\overset{\mathcal U_{\mathrm{ann}}}{\longrightarrow}
J_{\gamma_1}\otimes J_{\gamma_2}.
\]
Секторная перегруппировка может быть частью этого преобразования, но она не определяет фотонные состояния автоматически. Необходимо одновременно проверить
\[\tag{55}
\begin{aligned}
Q_{e^-}+Q_{e^+}&=0,\\
N_{\Gamma,e^-}+N_{\Gamma,e^+}&=0,\\
E_{e^-}+E_{e^+}&=E_{\gamma_1}+E_{\gamma_2},\\
\mathbf p_{e^-}+\mathbf p_{e^+}
&=\mathbf p_{\gamma_1}+\mathbf p_{\gamma_2}.
\end{aligned}
\]
Первое равенство относится к зарядовому сектору, второе — к топологии замыкания, а два последних — к метрическим проекциям. Только пересечение этих условий с секторным двойным балансом создаёт допустимый канал.
19. Обратное рождение пары
Обратный процесс имеет вид
\[\tag{56}
J_{\gamma_1}\otimes J_{\gamma_2}
\overset{\mathcal U_{\mathrm{pair}}}{\longrightarrow}
J_{e^-}\otimes J_{e^+}.
\]
Алгебраическая перестановка ветвей обратима, однако этого недостаточно для физической обратимости. В процессе должны одновременно возникнуть компенсированные замыкания и зарядовые состояния:
\[\tag{57}
N_\Gamma:
0\longrightarrow(+1)+(-1)=0,
\qquad
Q:
0\longrightarrow(-e)+(+e)=0.
\]
Кроме того, начальные свободные состояния должны обладать достаточными энергетической и импульсной проекциями. Поэтому алгебраическая допустимость задаёт возможную сборку, но не устраняет физический порог реакции.
20. Комптоновское рассеяние
Комптоновское рассеяние записывается как
\[\tag{58}
J_\gamma\otimes J_e
\longrightarrow
J_\gamma'\otimes J_e'.
\]
Типы частиц до и после реакции сохраняются. Активным является преимущественно динамический сектор, тогда как зарядовый и замыкающий операторы электрона остаются спектаторными:
\[\tag{59}
J_{q,e}'=J_{q,e},
\qquad
N_{\Gamma,e}'=N_{\Gamma,e}.
\]
Двойной баланс здесь следует проверять для активных динамических компонент. Фотон и электрон не должны объявляться корнями одного универсального квадратного уравнения вместе со всеми их классификационными операторами.
Для количественного вывода комптоновской зависимости необходимо связать секторные инварианты с частотами и направлениями метрических проекций. Само сохранение ветвей ещё не даёт угловую зависимость рассеяния.
21. Преобразование электронной пары в мюонную
Рассмотрим реакцию
\[\tag{60}
e^-+e^+
\longrightarrow
\mu^-+\mu^+.
\]
Начальная и конечная пары имеют одинаковый суммарный заряд, но разные внутренние энергетические масштабы:
\[\tag{61}
E_{0e}\ne E_{0\mu}.
\]
Поэтому простой перестановки динамических ветвей недостаточно. Должны перестраиваться дополнительные внутренние и классификационные секторы. Равенства
\[\tag{62}
J_{e^-}+J_{e^+}
=J_{\mu^-}+J_{\mu^+},
\qquad
J_{e^-}J_{e^+}
=J_{\mu^-}J_{\mu^+}
\]
можно рассматривать только как проверяемую гипотезу после явного определения всех множителей полных операторов. Из одной четырёхветвенности динамического сектора эти равенства не следуют.
22. Связанное состояние
Образование позитрония приводит не к двум свободным выходным объектам, а к одной составной системе. Поэтому оно описывается проектором связывания:
\[\tag{63}
\boxed{
J_{\mathrm{Ps}}
=\mathcal P_{\mathrm{bound}}
\left(
J_{e^-}\otimes J_{e^+}
\right).
}
\]
Двойной баланс может применяться к внутренним каналам пары до связывания, но сам переход дополнительно требует общей орбитальной структуры, фазового согласования, выбора совместного спинового сектора и отвода избыточных энергетической и импульсной проекций.
Парапозитроний и ортопозитроний нельзя отождествлять только с прямой и перекрёстной сборками. Для такого соответствия необходимо показать, как обе сборки проецируются на синглетное и триплетное состояния.
23. Обобщение на \(n\) состояний
Для двух коммутирующих операторов сумма и произведение являются элементарными симметрическими инвариантами:
\[\tag{64}
\sigma_1=J_1+J_2,
\qquad
\sigma_2=J_1J_2.
\]
Для \(n\) операторов возникает полный набор
\[\tag{65}
\begin{aligned}
\sigma_1&=\sum_iJ_i,\\
\sigma_2&=\sum_{i<j}J_iJ_j,\\
&\;\vdots\\
\sigma_n&=\prod_iJ_i.
\end{aligned}
\]
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
\[\tag{66}
X^n-\sigma_1X^{n-1}
+\sigma_2X^{n-2}
-\cdots+(-1)^n\sigma_n=0.
\]
Таким образом, двойной баланс является частным случаем более общего сохранения симметрических инвариантов в коммутативном секторе. Для некоммутирующих операторов такое обобщение требует упорядоченных произведений и отдельного исследования.
24. Допустимость не определяет вероятность
Пересечение алгебраических, физических и топологических условий формирует множество допустимых каналов, но не задаёт частоту их реализации. Даже если существуют прямая и перекрёстная сборки, их вероятности не обязаны быть равными.
Для каналов \(r\) необходимо определить амплитуды \(\mathcal A_r\), после чего нормированные вероятности могут иметь вид
\[\tag{67}
P_r
=\frac{|\mathcal A_r|^2}
{\displaystyle\sum_s|\mathcal A_s|^2}.
\]
Происхождение амплитуд, оператор перестройки ветвей и интерференция альтернатив рассматриваются в четвёртой части. В настоящей статье формула (67) используется только для обозначения границы алгебраического правила.
25. Что доказано, а что принято дополнительно
Из идемпотентной алгебры непосредственно следуют: покомпонентное действие аналитических функций; независимое ветвление двух плоскостей; четыре сплит-корня при двух ветвях в каждой плоскости; равенство сумм прямой и перекрёстной пар; равенство произведений при коммутативности; квадратное уравнение с секторными операторными коэффициентами.
Алгебраической архитектурой модели являются: выделение активных и спектаторных секторов; оператор перекрёстной перестройки; применение двойного баланса отдельно к совместимым уровням; набор секторных инвариантов \((\Sigma_r,\Pi_r)\); обобщение через симметрические функции.
Физическими гипотезами остаются: сохранение полного набора ветвей в реальном взаимодействии; возможность описывать реакцию как их перегруппировку; связь конкретной сборки с определёнными частицами; применимость двойного баланса ко всем активным физическим секторам.
Отдельного динамического вывода требуют: вид оператора \(\mathcal U_{\mathrm{int}}\); выбор активных секторов; пороги реакций; амплитуды и вероятности каналов; сечения рассеяния; времена распада и механизм регистрации.
Выводы
Правило двойного баланса имеет строгое алгебраическое основание. Если два выходных оператора получены перекрёстным соединением того же набора коммутирующих идемпотентных ветвей, что и два входных оператора, их сумма и произведение сохраняются:
\[\tag{68}
\boxed{
\begin{aligned}
J_{11}+J_{22}&=J_{12}+J_{21},\\
J_{11}J_{22}&=J_{12}J_{21}.
\end{aligned}
}
\]
В современной многооператорной модели этот результат применяется не к неразделённому полному состоянию, а к каждому явно выбранному активному сектору:
\[\tag{69}
\boxed{
\mathcal I_{\mathrm{alg}}
=\left\{
(\Sigma_r,\Pi_r)
\right\}_{r\in\mathcal R_{\mathrm{act}}}.
}
\]
Физически допустимый канал дополнительно должен сохранять метрические, зарядовые, моментные и топологические проекции:
\[\tag{70}
\boxed{
\mathcal I_2
=\mathcal I_{\mathrm{alg}}
\cup
\left\{
E,\mathbf P,Q,\mathbf M,N_\Gamma,\ldots
\right\},
\qquad
\mathcal I_2^{\mathrm{in}}
=\mathcal I_2^{\mathrm{out}}.
}
\]
Следовательно, двойной баланс сохраняет своё центральное место, но его статус уточняется. Это доказанная теорема о двух способах сборки одного набора ветвей и одновременно гипотеза о том, что реальные взаимодействия могут быть представлены такой секторной перегруппировкой. Следующая задача состоит в построении конкретного оператора взаимодействия, который определяет активные секторы и амплитуды допустимых переходов.