2026-07-22
Геометрическое представление взаимодействий частиц
Часть 3. Секторная перестройка операторных состояний
В первой части частица была представлена как многооператорное состояние, а взаимодействие — как преобразование полной составной системы. Во второй части было показано, что прямая и перекрёстная сборки одного набора коммутирующих сплит-ветвей сохраняют сумму и произведение внутри выбранного операторного сектора.
Теперь необходимо определить физический смысл такой перестройки. Частица больше не рассматривается как соединение одной универсальной ветви первой плоскости с одной универсальной ветвью второй. Динамика, внутреннее замыкание, заряд, орбитальное состояние и другие признаки принадлежат разным уровням. Поэтому взаимодействие должно менять соединения только в явно указанных активных секторах, сохраняя остальные уровни.
Частица является не парой универсальных ветвей, а устойчивой согласованной сборкой операторных секторов. Взаимодействие изменяет карты принадлежности ветвей \(\kappa_r\) в активных секторах, после чего новая сборка должна пройти проверку всех алгебраических, физических, топологических и геометрических условий.
\[\tag{1}
\boxed{
\mathcal S_{\mathrm{out}}
=
\left[
\prod_{r\in\mathcal R_{\mathrm{act}}}
\mathcal U_r(\kappa_r)
\right]
\mathcal S_{\mathrm{in}}.
}
\]
1. Современное определение частицы
Полное операторное состояние частицы записывается как
\[\tag{2}
\boxed{
J_P
=J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)}(a,b)
Q_\Gamma
J_qJ_{\mathrm{orb}}J_fJ_cJ_g\cdots,
\qquad
\sigma=\pm.
}
\]
Оператор \(J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)}\) содержит внутреннюю периодичность, внешнее движение и ориентацию состояния. Множитель \(Q_\Gamma\) описывает внутреннее замыкание; \(J_q\) — зарядовую структуру; \(J_{\mathrm{orb}}\) — орбитальный сектор связанного состояния. Другие независимые признаки могут добавляться собственными нормированными операторами.
Следовательно, прежняя запись
\[\tag{3}
J\equiv(A,B)
\]
может описывать один выбранный сплит-сектор, но не всю частицу. Более полное определение имеет вид
\[\tag{4}
\boxed{
\text{частица}
=\text{устойчивая согласованная сборка операторных секторов}.
}
\]
2. Спиновая ориентация внутри динамического оператора
В актуальной конструкции отдельный множитель \(J_s\) для двух спиновых ориентаций не требуется. Они содержатся в выборе динамического оператора:
\[\tag{5}
\begin{aligned}
J_{\mathrm{dyn}}^{(+)}(a,b)
&=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a},\\
J_{\mathrm{dyn}}^{(-)}(a,b)
&=\ep e^{i\pi a}+\em e^{i\pi b}.
\end{aligned}
\]
Параметр \(a\) в обеих строках остаётся внутренним, а \(b\) — внешним. Проектор внешнего движения должен давать одну скорость независимо от ориентации:
\[\tag{6}
\mathcal P_{\mathrm{ext}}
[J_{\mathrm{dyn}}^{(+)}]
=\mathcal P_{\mathrm{ext}}
[J_{\mathrm{dyn}}^{(-)}]
=\Sin(\pi b)=\beta.
\]
Новый самостоятельный спиновый оператор может быть введён в дальнейшем только в том случае, если будет обнаружена дополнительная структура, не содержащаяся в \(J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)}\) и глубоком двухлистном цикле.
3. Независимые секторные расщепления
Каждому независимому операторному уровню \(r\) можно сопоставить собственную пару взаимно дополнительных проекторов:
\[\tag{7}
(p_r^+)^2=p_r^+,
\qquad
(p_r^-)^2=p_r^-,
\qquad
p_r^+p_r^-=0,
\qquad
p_r^++p_r^-=1.
\]
Секторный оператор имеет вид
\[\tag{8}
J_r
=p_r^+A_r+p_r^-B_r.
\]
Набор уровней обозначим как
\[\tag{9}
r\in\mathcal R
=\{
\mathrm{dyn},\Gamma,q,
\mathrm{orb},f,c,g,\ldots
\}.
\]
Проекторы \(p_r^+,p_r^-\) разных уровней являются независимыми. Их нельзя автоматически отождествлять с основной парой \(\ep,\em\) конечного динамического оператора. Общим остаётся принцип расщепления целого на ортогональные составляющие.
4. Структурная сигнатура частицы
Физический тип частицы определяется полным набором операторных и метрических признаков. Обозначим эту совокупность сигнатурой
\[\tag{10}
\Lambda(J_P)
=\left(
\sigma,E_0,Q,N_\Gamma,
\mathrm{orb},f,c,g,\ldots
\right).
\]
Для электронного класса схематически:
\[\tag{11}
\Lambda(J_e)
=\left(
\sigma,m_ec^2,-e,
N_\Gamma=\pm1,\ldots
\right).
\]
Для свободного фотонного режима:
\[\tag{12}
\Lambda(J_\gamma)
=\left(
\lambda,E_\gamma,0,
N_\Gamma=0,\beta=1,\ldots
\right).
\]
Формулы (11) и (12) не являются исчерпывающей таблицей квантовых чисел. Они показывают главное: одна перекрёстная пара компонент \((A_1,B_2)\) ещё не определяет электрон, фотон или другую частицу.
5. Состояние двух частиц
Совместное состояние двух объектов записывается тензорным произведением:
\[\tag{13}
\boxed{
\mathcal S_{12}
=J_{P_1}\otimes J_{P_2}.
}
\]
Знак \(\otimes\) сохраняет принадлежность операторных множителей каждой частице и допускает корреляции между ними. Он отличается от обычного произведения секторных операторов внутри одного состояния \(J_P\).
Арифметическая сумма
\[\tag{14}
J_{P_1}+J_{P_2}
\]
может использоваться как аддитивный инвариант совместимого сектора, но не заменяет полное состояние \(\mathcal S_{12}\).
6. Ветви одного выбранного сектора
Пусть в секторе \(r\) две частицы имеют операторы
\[\tag{15}
\begin{aligned}
J_{r,1}&=p_r^+A_{r,1}+p_r^-B_{r,1},\\
J_{r,2}&=p_r^+A_{r,2}+p_r^-B_{r,2}.
\end{aligned}
\]
Прямая сборка соединяет компоненты с одинаковыми индексами:
\[\tag{16}
(A_{r,1},B_{r,1}),
\qquad
(A_{r,2},B_{r,2}).
\]
Перекрёстная сборка имеет вид
\[\tag{17}
(A_{r,1},B_{r,2}),
\qquad
(A_{r,2},B_{r,1}).
\]
Эти четыре ветви принадлежат только сектору \(r\). Зарядовые, замыкающие и другие операторы двух частиц не обязаны перестраиваться вместе с ними.
7. Карта принадлежности ветвей
Способ соединения компонент удобно задавать перестановкой \(\kappa_r\):
\[\tag{18}
\kappa_r:
\{1,2\}\longrightarrow\{1,2\}.
\]
Общий выходной оператор выбранного сектора запишем как
\[\tag{19}
\boxed{
J_{r,k}^{\mathrm{out}}
=p_r^+A_{r,k}
+p_r^-B_{r,\kappa_r(k)}.
}
\]
Для прямой сборки
\[\tag{20}
\kappa_r^{\parallel}
=\operatorname{id},
\qquad
\kappa_r^{\parallel}(1)=1,
\qquad
\kappa_r^{\parallel}(2)=2.
\]
Для перекрёстной
\[\tag{21}
\kappa_r^{\times}=(12),
\qquad
\kappa_r^{\times}(1)=2,
\qquad
\kappa_r^{\times}(2)=1.
\]
Таким образом, геометрия соединений описывается не только значениями ветвей, но и отдельной картой их принадлежности целым состояниям.
8. Активные и спектаторные секторы
Во взаимодействии не обязаны изменяться все уровни частицы. Разделим множество секторов:
\[\tag{22}
\mathcal R
=\mathcal R_{\mathrm{act}}
\cup\mathcal R_{\mathrm{sp}},
\qquad
\mathcal R_{\mathrm{act}}
\cap\mathcal R_{\mathrm{sp}}
=\varnothing.
\]
Для активного сектора карта соединения меняется:
\[\tag{23}
\kappa_r^{\mathrm{out}}
\ne\kappa_r^{\mathrm{in}},
\qquad
r\in\mathcal R_{\mathrm{act}}.
\]
Спектаторный сектор сохраняет структуру:
\[\tag{24}
J_{s,k}^{\mathrm{out}}
=J_{s,k}^{\mathrm{in}},
\qquad
\kappa_s^{\mathrm{out}}
=\kappa_s^{\mathrm{in}},
\qquad
s\in\mathcal R_{\mathrm{sp}}.
\]
Например, при рассеянии электрона могут изменяться динамические параметры \(a,b\), тогда как его зарядовый оператор и индекс внутреннего замыкания сохраняются.
9. Оператор секторной перестройки
Пусть \(\Pi_r^{\mathrm{swap}}\) меняет принадлежность ветвей \(B_{r,1}\) и \(B_{r,2}\), а \(I_{\ne r}\) действует тождественно на остальные уровни. Тогда оператор перекрёстной перестройки имеет вид
\[\tag{25}
\mathcal U_{\times}^{(r)}
=I_{\ne r}\otimes
\Pi_r^{\mathrm{swap}}.
\]
Его действие переводит прямую сборку в перекрёстную:
\[\tag{26}
\mathcal S_{\times}^{(r)}
=\mathcal U_{\times}^{(r)}
\mathcal S_{\parallel}^{(r)}.
\]
Чистая перестановка является инволюцией:
\[\tag{27}
\left(
\mathcal U_{\times}^{(r)}
\right)^2=I.
\]
Поэтому повторная перестановка восстанавливает исходное соединение. Это алгебраическая обратимость, а не утверждение о равенстве вероятностей прямого и обратного физических процессов.
10. Полный оператор взаимодействия
Если взаимодействие затрагивает несколько независимых секторов, полный оператор перестройки можно представить композицией:
\[\tag{28}
\boxed{
\mathcal U_{\mathrm{int}}
=\prod_{r\in\mathcal R_{\mathrm{act}}}
\mathcal U_r(\kappa_r).
}
\]
Тогда
\[\tag{29}
\mathcal S_{\mathrm{out}}
=\mathcal U_{\mathrm{int}}
\mathcal S_{\mathrm{in}}.
\]
Если секторные операторы не коммутируют, порядок множителей в формуле (28) становится частью определения взаимодействия. Для коммутирующих независимых уровней порядок не влияет на результат.
11. Когда перестановка является только обменом частиц
Если одна и та же перестановка одновременно переносит полный набор секторных множителей, то две частицы только меняются местами:
\[\tag{30}
\kappa_r=\kappa
\quad\text{для всех }r
\quad\Longrightarrow\quad
J_{P_1}\otimes J_{P_2}
\longrightarrow
J_{P_2}\otimes J_{P_1}.
\]
Такой обмен не создаёт новый тип частиц. Настоящая внутренняя перестройка возникает, если разные секторы изменяют принадлежность неодинаково:
\[\tag{31}
\kappa_r\ne\kappa_s
\qquad
\text{для некоторых }r\ne s.
\]
Следовательно, физически содержательной является относительная перестановка операторных уровней, а не простая замена меток двух целых объектов.
12. Секторный двойной баланс
Для каждого активного коммутативного сектора определяются инварианты
\[\tag{32}
\Sigma_r
=J_{r,1}+J_{r,2},
\qquad
\Pi_r
=J_{r,1}J_{r,2}.
\]
При чистой перегруппировке одного набора ветвей
\[\tag{33}
\boxed{
\Sigma_r^{\mathrm{in}}
=\Sigma_r^{\mathrm{out}},
\qquad
\Pi_r^{\mathrm{in}}
=\Pi_r^{\mathrm{out}}.
}
\]
Подробное доказательство равенства суммы и произведения дано во второй части. Здесь двойной баланс используется как проверка секторной перестройки.
13. Чистая перестановка и динамическая перестройка
Необходимо различать два режима. При чистой перестановке значения ветвей не меняются:
\[\tag{34}
A_{r,k}'=A_{r,k},
\qquad
B_{r,k}'=B_{r,k}.
\]
Изменяется только карта принадлежности \(\kappa_r\). В этом случае двойной баланс следует непосредственно из сохранения набора ветвей.
При динамической перестройке изменяются и сами параметры:
\[\tag{35}
A_{r,k}\longrightarrow A_{r,k}',
\qquad
B_{r,k}\longrightarrow B_{r,k}'.
\]
Тогда нельзя утверждать буквальное сохранение исходного набора ветвей. Сохраняться должны определённые секторные инварианты:
\[\tag{36}
\Sigma_r(A,B)
=\Sigma_r(A',B'),
\qquad
\Pi_r(A,B)
=\Pi_r(A',B').
\]
Формула (36) является более общей гипотезой взаимодействия. В отличие от чистой перестановки, она не следует только из наличия четырёх неизменных компонент.
14. Устойчивость выходной сборки
Алгебраически допустимое соединение не обязано существовать как устойчивая частица. Введём проектор устойчивого класса:
\[\tag{37}
\mathcal P_{\mathrm{stable}}[J_P']
=J_P'.
\]
Для локализованной волны дополнительно должно выполняться геометрическое замыкание. При
\[\tag{38}
V(t)=cJ(t)
\]
функционал пути равен
\[\tag{39}
\mathcal C(T)
=\int_0^T V(t)\,dt.
\]
Для устойчивой частицы
\[\tag{40}
\boxed{
\mathcal C(T_P)=0.
}
\]
Свободное распространяющееся состояние не возвращает путь в исходную точку:
\[\tag{41}
\mathcal C(T)\ne0.
\]
Следовательно, выходная сборка должна либо удовлетворять условию устойчивого замыкания, либо принадлежать определённому свободному волновому классу.
15. Топологический сектор замыкания
Замыкающий множитель \(Q_\Gamma\) характеризуется индексом относительной глубокой фазы:
\[\tag{42}
N_\Gamma[Q_\Gamma]
=\frac1{2\pi i}
\oint_\Gamma
q_{\mathrm{rel}}^{-1}
\,dq_{\mathrm{rel}}.
\]
Для непрерывной нормированной эволюции изолированного состояния индекс сохраняется. В полном взаимодействии локальные замыкания могут перераспределяться, но выполняется
\[\tag{43}
\boxed{
\sum_{\mathrm{in}}N_{\Gamma,k}
=\sum_{\mathrm{out}}N_{\Gamma,l}.
}
\]
Если \(Q_\Gamma\) является спектаторным сектором, индекс каждой частицы сохраняется отдельно. Если этот сектор активен, замыкания могут появляться или исчезать только компенсированно. Подробнее этот принцип рассмотрен в статье «Многоуровневое расщепление электрона».
16. Полное условие допустимости
Для выходной сборки определим четыре последовательных фильтра:
\[\tag{44}
\begin{aligned}
\mathcal C_{\mathrm{alg}}
&=\text{секторный двойной баланс},\\
\mathcal C_{\mathrm{phys}}
&=\text{баланс физических проекций},\\
\mathcal C_\Gamma
&=\text{топологический баланс},\\
\mathcal C_{\mathrm{stable}}
&=\text{устойчивость выходного класса}.
\end{aligned}
\]
Физически допустимые состояния образуют пересечение
\[\tag{45}
\boxed{
\mathcal C_{\mathrm{allowed}}
=\mathcal C_{\mathrm{alg}}
\cap\mathcal C_{\mathrm{phys}}
\cap\mathcal C_\Gamma
\cap\mathcal C_{\mathrm{stable}}.
}
\]
Таким образом, перекрёстная перестановка является только кандидатом. Новый оператор должен сохранить необходимые инварианты и соответствовать устойчивой частице, связанному состоянию либо свободной волне.
17. Когда появляется новый тип частицы
После перестройки вычисляется сигнатура выходного состояния:
\[\tag{46}
\Lambda(J_P')
=\left(
\sigma',E_0',Q',N_\Gamma',
\mathrm{orb}',f',c',g',\ldots
\right).
\]
Новый физический тип возникает только в том случае, если эта сигнатура соответствует устойчивому классу:
\[\tag{47}
\boxed{
\Lambda(J_P')
=\Lambda_{\mathrm{known}},
\qquad
\mathcal P_{\mathrm{stable}}[J_P']=J_P'.
}
\]
Если необходимые собственные значения, замыкание или метрическое отображение отсутствуют, алгебраическая сборка остаётся формальным состоянием и не должна называться новой частицей.
18. Аннигиляция электрона и позитрона
Двухфотонный канал записывается преобразованием полного тензорного состояния:
\[\tag{48}
\boxed{
J_{e^-}\otimes J_{e^+}
\overset{\mathcal U_{\mathrm{ann}}}{\longrightarrow}
J_{\gamma_1}\otimes J_{\gamma_2}.
}
\]
Определять фотоны только перекрёстными динамическими ветвями
\[\tag{49}
\ep A_-+\em B_+,
\qquad
\ep A_++\em B_-
\]
недостаточно. В аннигиляции активны по меньшей мере динамический, замыкающий и зарядовый уровни, а спиновая информация должна согласованно перейти в поляризационное состояние излучения.
Полное преобразование проверяется условиями
\[\tag{50}
\begin{aligned}
Q_{e^-}+Q_{e^+}&=0,\\
N_{\Gamma,e^-}+N_{\Gamma,e^+}&=0,\\
E_{e^-}+E_{e^+}&=E_{\gamma_1}+E_{\gamma_2},\\
\mathbf p_{e^-}+\mathbf p_{e^+}
&=\mathbf p_{\gamma_1}+\mathbf p_{\gamma_2}.
\end{aligned}
\]
Фотонный класс определяется полной выходной сигнатурой: нулевым зарядом, отсутствием электронного замыкания, скоростью \(c\), нулевой массой покоя и допустимой поляризацией.
19. Обратное рождение пары
Обратный процесс имеет вид
\[\tag{51}
J_{\gamma_1}\otimes J_{\gamma_2}
\overset{\mathcal U_{\mathrm{pair}}}{\longrightarrow}
J_{e^-}\otimes J_{e^+}.
\]
Здесь одновременно перестраиваются несколько секторов. Два свободных состояния образуют два компенсированных замыкания:
\[\tag{52}
N_\Gamma:
0\longrightarrow(+1)+(-1)=0,
\]
а зарядовый сектор создаёт противоположные собственные значения:
\[\tag{53}
Q:
0\longrightarrow(-e)+(+e)=0.
\]
Поэтому рождение пары не является повторением одной перестановки \((12)\). Это согласованная перестройка динамического, замыкающего, зарядового и других активных уровней при сохранении полного набора инвариантов.
20. Рассеяние без изменения типа частиц
При комптоновском рассеянии
\[\tag{54}
J_\gamma\otimes J_e
\longrightarrow
J_\gamma'\otimes J_e'
\]
выходные сигнатуры остаются фотонной и электронной. Для электрона зарядовый и замыкающий секторы являются спектаторными:
\[\tag{55}
J_{q,e}'=J_{q,e},
\qquad
N_{\Gamma,e}'=N_{\Gamma,e}.
\]
Активный динамический сектор изменяет внутренние и внешние параметры:
\[\tag{56}
(a_\gamma,b_\gamma;
a_e,b_e)
\longrightarrow
(a_\gamma',b_\gamma';
a_e',b_e').
\]
Следовательно, рассеяние является динамической перестройкой при сохранении классов частиц. Оно не требует переноса зарядового или топологического сектора от электрона к фотону.
21. Преобразование электронной пары в мюонную
Для реакции
\[\tag{57}
e^-+e^+
\longrightarrow
\mu^-+\mu^+
\]
необходимо изменить внутренний энергетический и классификационный уровни, поскольку
\[\tag{58}
E_{0e}=m_ec^2,
\qquad
E_{0\mu}=m_\mu c^2,
\qquad
E_{0e}\ne E_{0\mu}.
\]
Простая перекрёстная перестановка ветвей основного динамического оператора не может объяснить изменение массы. Активный набор должен включать частотный и семейственный секторы, а выходные операторы должны получить мюонную сигнатуру:
\[\tag{59}
\Lambda(J_{\mu^-}),
\quad
\Lambda(J_{\mu^+}).
\]
Конкретный механизм такого перехода остаётся задачей дальнейшего определения операторов семейства и внутреннего энергетического масштаба.
22. Связанное состояние
Позитроний является не новой парой свободных ветвей, а общим связанным состоянием электрона и позитрона:
\[\tag{60}
\boxed{
J_{\mathrm{Ps}}
=\mathcal P_{\mathrm{bound}}
\left(
J_{e^-}\otimes J_{e^+}
\right).
}
\]
Проектор \(\mathcal P_{\mathrm{bound}}\) выделяет согласованную орбитальную структуру, относительную фазу и совместную спиновую конфигурацию. При связывании активны орбитальный и динамический секторы, тогда как заряды электрона и позитрона сохраняются внутри составного состояния.
Радиативное образование позитрония имеет вид
\[\tag{61}
J_{e^-}\otimes J_{e^+}
\longrightarrow
J_{\mathrm{Ps}}\otimes J_\gamma.
\]
Свободная волна или окружающая система уносит разность энергетической и импульсной проекций. Парапозитроний и ортопозитроний различаются совместным спиновым сектором, а не только прямой или перекрёстной картой одного набора ветвей.
23. Перестройки для \(n\) частиц
Для \(n\) объектов карта принадлежности принадлежит группе перестановок:
\[\tag{62}
\kappa_r\in S_n.
\]
Выходные секторные операторы можно записать как
\[\tag{63}
J_{r,k}^{\mathrm{out}}
=p_r^+A_{r,k}
+p_r^-B_{r,\kappa_r(k)},
\qquad
k=1,2,\ldots,n.
\]
Для двух частиц группа \(S_2\) содержит тождественную и перекрёстную перестановки. При \(n>2\) число алгебраических соединений возрастает, однако физически допустимыми остаются только сборки, проходящие все секторные и метрические проверки.
Если ветви также изменяются динамически, перестановку необходимо дополнить секторным преобразованием:
\[\tag{64}
(A_{r,k},B_{r,k})
\overset{\mathcal T_r}{\longrightarrow}
(A_{r,k}',B_{r,k}')
\overset{\kappa_r}{\longrightarrow}
J_{r,k}^{\mathrm{out}}.
\]
24. Связь с вероятностной моделью
Третья часть определяет геометрически и физически допустимые перестройки:
\[\tag{65}
\{\mathcal U_r(\kappa_r)\}
\longrightarrow
\mathcal C_{\mathrm{allowed}}.
\]
Но число возможных перестановок не определяет вероятность их реализации. Для канала \(c\) требуется амплитуда
\[\tag{66}
\mathcal A_c
=\left\langle
\mathcal S_c^{\mathrm{out}}
\middle|
\mathcal U_{\mathrm{int}}
\middle|
\mathcal S^{\mathrm{in}}
\right\rangle,
\]
а вероятность после нормировки имеет вид
\[\tag{67}
P_c
=\frac{|\mathcal A_c|^2}
{\displaystyle\sum_d|\mathcal A_d|^2}.
\]
Происхождение амплитуд, фазовое согласование и интерференция альтернатив рассматриваются в четвёртой части. Здесь формулы (66) и (67) только обозначают границу геометрического описания.
25. Что следует из построения, а что остаётся гипотезой
Из идемпотентной алгебры следуют: секторное разложение на ортогональные ветви; возможность прямого и перекрёстного соединения; обратимость чистой перестановки; двойной баланс одного набора коммутирующих ветвей.
Из принятой многооператорной архитектуры следуют: разделение динамического, замыкающего, зарядового и других уровней; выделение активных и спектаторных секторов; независимые карты \(\kappa_r\); необходимость проверки полной сигнатуры выходного состояния.
Физическими гипотезами являются: описание взаимодействия как секторной перестройки; конкретный набор активных уровней для каждой реакции; соответствие выходной сборки определённой частице; существование проектора устойчивых состояний \(\mathcal P_{\mathrm{stable}}\).
Отдельного динамического вывода требуют: конкретный вид \(\mathcal U_{\mathrm{int}}\); изменение ветвей при \(\mathcal T_r\); энергетические пороги; амплитуды, вероятности, сечения рассеяния и времена распада.
Выводы
Частица в современной модели определяется не парой универсальных ветвей первых двух идемпотентных плоскостей, а устойчивой согласованной сборкой независимых операторных секторов:
\[\tag{68}
\boxed{
J_P
=J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)}(a,b)
Q_\Gamma
J_qJ_{\mathrm{orb}}J_fJ_cJ_g\cdots.
}
\]
Взаимодействие меняет карты принадлежности только в активных секторах, сохраняя спектаторные уровни:
\[\tag{69}
\boxed{
\{\kappa_r^{\mathrm{in}}\}
\overset{\mathcal U_{\mathrm{int}}}{\longrightarrow}
\{\kappa_r^{\mathrm{out}}\},
\qquad
r\in\mathcal R_{\mathrm{act}}.
}
\]
Одинаковая перестановка всех секторов означает только обмен целыми частицами. Новая операторная конфигурация возникает из относительной перестройки разных уровней. Но она становится физическим состоянием лишь после проверки алгебраических, физических, топологических и геометрических условий:
\[\tag{70}
\boxed{
\mathcal I_{\mathrm{in}}
=\mathcal I_{\mathrm{out}},
\qquad
\mathcal P_{\mathrm{stable}}
[\mathcal S_{\mathrm{out}}]
=\mathcal S_{\mathrm{out}}.
}
\]
Таким образом, третья часть отвечает не на вопрос, почему сохраняются сумма и произведение — этот результат уже получен во второй части, — а на вопрос, как перестраиваются активные уровни полного состояния и при каких условиях новая сборка становится устойчивой частицей, связанным состоянием или свободной волной.