2026-08-19
Неопределённость внутренней фазы как геометрическая основа принципа Гейзенберга
В стандартной квантовой механике соотношение неопределённостей связывает ширину пространственного распределения частицы с шириной распределения её импульса. Обычно оно выводится из некоммутативности операторов координаты и импульса или из свойств преобразования Фурье. Однако такой вывод сам по себе не отвечает на более наглядный вопрос: какой внутренний геометрический процесс может стоять за этой неопределённостью?
В теории Волнового Электричества первичным объектом считается нормированная волна. Частица представляет собой локализованное и замкнутое состояние этой волны, а оператор \(J\) задаёт её мгновенную фазу. Поэтому естественно предположить, что квантовая неопределённость может начинаться не с отсутствия у частицы состояния, а с невозможности установить точную начальную фазу её внутреннего движения.
Пусть внутренний параметр развивается по известному закону \(a=\varpi t\),
но его начальное значение смещено на неизвестную величину \(\phi\).
Тогда вместо единственной реализации \(J(a)\) следует рассматривать семейство состояний \(J(a+\phi)\).
Интеграл от скорости \(cJ(a+\phi)\) превращает эту фазовую неопределённость в неопределённость положения на внутренней траектории.
При полном незнании начальной фазы возникает характерное произведение неопределённостей \(\hbar/2\).
Но это только первая часть построения. Одна гармоника с неизвестной фазой ещё не даёт общего принципа Гейзенберга. Для универсального неравенства необходимо перейти от одной внутренней гармоники к локализованному пространственному пакету. Локализация требует набора пространственных частот, а координатное и спектральное представления такого пакета неизбежно оказываются связанными преобразованием Фурье.
Основная идея статьи состоит в следующем: неизвестная начальная фаза внутренней волны создаёт первичную неопределённость её положения; интегрирование оператора переводит фазу в координату; размыкание и локализация волны превращают эту внутреннюю неопределённость в фурье-сопряжённость координаты и импульса.
1. Внутренний параметр \(a\)
Полный нормированный оператор Волнового Электричества записывается в виде
\[\tag{1}
\boxed{
J(a,b)
=\j^{a}(-\j)^{b}
=\ep e^{i\pi b}
+\em e^{i\pi a}.
}
\]
Здесь используются два взаимно дополнительных идемпотента \(\ep\) и \(\em\). Параметр \(a\) описывает внутреннее состояние частицы, а параметр \(b\) — её внешнее движение. Они связаны с внутренней частотой и наблюдаемой скоростью соотношениями
\[\tag{2}
a=\varpi t,
\qquad
\omega=\pi\varpi,
\qquad
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac{v}{c}.
\]
Физическая фаза внутренней компоненты равна не самому параметру \(a\), а величине
\[\tag{3}
\boxed{
\theta(t)=\pi a(t)=\omega t.
}
\]
Таким образом, \(a\) является нормированным фазовым параметром: изменение \(a\) на \(2\) соответствует изменению обычной фазы \(\theta\) на \(2\pi\). Периодическое внутреннее состояние возвращается к исходному значению после полного фазового цикла.
Если известны частота \(\omega\) и лабораторное время \(t\), это ещё не означает, что известна фактическая фаза внутренней волны. Для этого потребовалось бы знать, в какой точке цикла она находилась при \(t=0\). Именно здесь появляется начальная фазовая неопределённость.
2. Неизвестная начальная фаза
Введём неизвестный сдвиг \(\phi\) и запишем внутренний параметр каждой отдельной реализации как
\[\tag{4}
a_{\phi}(t)=\varpi t+\phi.
\]
Ему соответствует обычная фаза
\[\tag{5}
\theta_{\phi}(t)
=\pi a_{\phi}(t)
=\omega t+\pi\phi.
\]
Поэтому корректная запись семейства реализаций имеет вид
\[\tag{6}
\boxed{
J_{\phi}(t)=J\!\left(a(t)+\phi\right).
}
\]
Запись \(J(a)=J(a+\phi)\) для произвольной \(\phi\) была бы неверна: это не одно и то же мгновенное фазовое состояние. Равенство выполняется только при сдвиге на целое число периодов. Неизвестная \(\phi\) означает, что мы имеем несколько возможных реализаций с одинаковой частотой и одинаковой нормой, но с разным начальным положением внутренней волны.
При этом само движение не становится случайным. Производная фазы остаётся определённой:
\[\tag{7}
\frac{d\theta_{\phi}}{dt}=\omega.
\]
Следовательно, нужно различать неизвестную начальную фазу и случайное блуждание фазы. В первом случае после выбора \(\phi\) движение каждой отдельной реализации полностью закономерно. Во втором случае к фазе добавлялся бы изменяющийся во времени шум, что описывало бы уже иной физический процесс — взаимодействие со средой, декогеренцию или стохастическую динамику.
В данной статье случайна не внутренняя частота и не закон движения. Неизвестно только начальное положение волны в её периодическом цикле.
3. Почему внутренняя фаза может быть недоступна наблюдателю
Приготовление частицы может фиксировать её энергию, направление внешнего движения, заряд или ориентацию спина, но не обязательно фиксирует точку внутреннего фазового цикла. Чтобы определить абсолютную фазу, измерительный прибор должен был бы иметь собственный синхронизированный процесс с той же частотой и известным фазовым отношением к исследуемой волне.
Если такой синхронизации нет, разные частицы одинаково приготовленного ансамбля могут обладать одной и той же внутренней частотой \(\omega\), но различными значениями \(\phi\). Неопределённость тогда относится не к существованию внутреннего состояния, а к нашему знанию его начальной точки.
Для статистического описания введём плотность распределения
\[\tag{8}
P(\phi)\geq0,
\qquad
\int_{0}^{2}P(\phi)\,d\phi=1.
\]
Если никакое положение внутренней волны не выделено, естественным частным случаем является равномерное распределение по полному периоду:
\[\tag{9}
\boxed{
P(\phi)=\frac12,
\qquad
0\leq\phi<2.
}
\]
Равномерность здесь является физическим предположением о полном отсутствии фазовой информации. Она не следует только из периодичности оператора. Если процесс приготовления частично синхронизирует внутреннюю волну, распределение \(P(\phi)\) может быть неравномерным.
4. Оператор как направление мгновенного движения
В Волновом Электричестве оператор \(J\) задаёт нормированное мгновенное состояние движения. Скорость определяется формулой
\[\tag{10}
\boxed{
V_{\phi}(t)=cJ_{\phi}(t)
=cJ\!\left(a(t)+\phi\right).
}
\]
Так как норма оператора равна единице, сохраняется фундаментальный масштаб скорости:
\[\tag{11}
|J_{\phi}(t)|=1,
\qquad
|V_{\phi}(t)|=c.
\]
Оператор задаёт скорость или фазовое направление, но ещё не задаёт готовую траекторию. Чтобы получить положение, его необходимо проинтегрировать по времени:
\[\tag{12}
\boxed{
R_{\phi}(t)
=R_{\phi}(0)
+\int_{0}^{t}cJ\!\left(a(t')+\phi\right)dt'.
}
\]
Это принципиальный переход. Пока рассматривается только \(J(a+\phi)\), неопределённость относится к фазе. После интегрирования разные значения \(\phi\) приводят к разным положениям \(R_{\phi}(t)\). Тем самым фазовая неопределённость получает пространственное отображение.
5. Выделение внутренней фазовой компоненты
Для неподвижного внешнего состояния можно положить \(b=0\). Тогда полный оператор имеет вид
\[\tag{13}
J(a+\phi,0)
=\ep+\em e^{i(\omega t+\pi\phi)}.
\]
Постоянная идемпотентная компонента \(\ep\) и вращающаяся компонента \(\em e^{i\theta_{\phi}}\) принадлежат разным фазовым плоскостям. Внутренняя периодическая траектория получается проекцией полного состояния на плоскость, в которой расположен параметр \(a\):
\[\tag{14}
\Pi_{a}J(a+\phi,0)
=\em e^{i\theta_{\phi}}.
\]
Такое выделение необходимо, чтобы не отождествлять постоянную компоненту полного оператора с внешним поступательным движением частицы. Интегрируется именно вращающаяся внутренняя составляющая:
\[\tag{15}
R_{\mathrm{int},\phi}(t)
=R_{c}
+c\int \em e^{i(\omega t+\pi\phi)}dt.
\]
В результате
\[\tag{16}
\boxed{
R_{\mathrm{int},\phi}(t)
=R_{c}
+\em\frac{c}{i\omega}
e^{i(\omega t+\pi\phi)}.
}
\]
Множитель \(1/i\) означает поворот на четверть периода и возникает потому, что координата является интегралом скорости. Модуль переменной части координаты равен
\[\tag{17}
\boxed{
r_{\mathrm{int}}=\frac{c}{\omega}.
}
\]
Таким образом, частота внутреннего фазового движения автоматически задаёт пространственный масштаб. Чем выше частота, тем меньше радиус соответствующей замкнутой траектории.
6. Как неопределённость фазы становится неопределённостью координаты
Выберем одну наблюдаемую ось в физическом отображении внутренней траектории. Обозначив
\[\tag{18}
\theta=\omega t+\pi\phi,
\]
можно записать проекции координаты и скорости в виде
\[\tag{19}
\boxed{
x_{\phi}=r_{\mathrm{int}}\sin\theta,
\qquad
v_{\phi}=c\cos\theta.
}
\]
Конкретный выбор синуса для координаты и косинуса для скорости зависит от начала фазового отсчёта. Существенно не название функций, а их сдвиг на четверть периода. Координата и скорость являются двумя квадратурами одного фазового движения.
Если \(\phi\) точно известна, то в заданный момент известна и проекция \(x_{\phi}\). Если же начальная фаза неизвестна, одна и та же формула задаёт набор возможных координат. Поэтому пространственное распределение возникает без предположения, что волна одновременно материально находится во всех точках траектории. В каждой отдельной реализации имеется одна фаза и одна координата, а ансамбль реализаций создаёт распределение возможных результатов.
На этом уровне мы получили статистическую модель внутренней координаты. Она ещё не является полным квантовым описанием, поскольку пока не установлено универсальное правило вероятности \(|\psi|^{2}\) и не рассмотрена локализация свободной волны.
7. Энергия и импульс внутренней волны
Внутренней частоте сопоставляется энергетический масштаб
\[\tag{20}
E_{\mathrm{int}}=\hbar\omega.
\]
Если фундаментальная волна распространяется со скоростью \(c\), её полный импульс определяется отношением энергии к скорости:
\[\tag{21}
\boxed{
p_{\mathrm{int}}
=\frac{E_{\mathrm{int}}}{c}
=\frac{\hbar\omega}{c}.
}
\]
Проекцию внутреннего импульса на выбранную ось запишем через ту же фазу, что и скорость:
\[\tag{22}
p_{\phi}=p_{\mathrm{int}}\cos\theta.
\]
Амплитуда координаты равна \(c/\omega\), а амплитуда импульса — \(\hbar\omega/c\). Их произведение не зависит от частоты:
\[\tag{23}
\boxed{
r_{\mathrm{int}}p_{\mathrm{int}}
=\frac{c}{\omega}\frac{\hbar\omega}{c}
=\hbar.
}
\]
Это равенство является центральным геометрическим масштабом построения. При изменении частоты радиус и импульс изменяются противоположным образом: увеличение \(\omega\) уменьшает характерную длину, но увеличивает импульс в той же пропорции.
8. Внутренний и механический импульсы электрона
Для электрона в принятой модели следует различать полный импульс внутренней волны и наблюдаемый механический масштаб \(m_{e}c\). Масса покоя рассматривается как проекция внутренней частоты:
\[\tag{24}
m_{e}c^{2}
=\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar\omega_{\mathrm{int}}.
\]
Отсюда
\[\tag{25}
m_{e}c
=\alpha_{\mathrm{fs}}
\frac{\hbar\omega_{\mathrm{int}}}{c}
=\alpha_{\mathrm{fs}}p_{\mathrm{int}}.
\]
Следовательно, внутренний импульс больше механического масштаба в \(1/\alpha_{\mathrm{fs}}\) раз:
\[\tag{26}
\boxed{
p_{\mathrm{int}}
=\frac{m_{e}c}{\alpha_{\mathrm{fs}}}.
}
\]
Если в геометрическом произведении использовать непосредственно \(m_{e}c\), получится
\[\tag{27}
r_{\mathrm{int}}m_{e}c
=\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar.
\]
Это не противоречие, а указание на разные уровни описания. Радиус \(r_{\mathrm{int}}=c/\omega_{\mathrm{int}}\) относится к полной внутренней частоте, поэтому сопряжённым ему масштабом является \(p_{\mathrm{int}}=\hbar\omega_{\mathrm{int}}/c\). Наблюдаемый механический импульс появляется после проекции внутреннего состояния во внешний канал.
Равенство \(r_{\mathrm{int}}p_{\mathrm{int}}=\hbar\) относится к полной внутренней волне. Для отождествления этого импульса с обычным измеряемым импульсом частицы требуется отдельно описать механизм внешней проекции.
9. Полностью неизвестная фаза
Рассмотрим частный случай полного отсутствия информации о начальной фазе. Тогда угол \(\theta\) равномерно распределён по полному циклу:
\[\tag{28}
0\leq\theta<2\pi,
\qquad
P(\theta)=\frac{1}{2\pi}.
\]
Средние значения синуса и косинуса равны нулю:
\[\tag{29}
\langle\sin\theta\rangle=0,
\qquad
\langle\cos\theta\rangle=0.
\]
Средние квадраты равны
\[\tag{30}
\langle\sin^{2}\theta\rangle
=\langle\cos^{2}\theta\rangle
=\frac12.
\]
Поэтому для координаты и проекции внутреннего импульса получаем
\[\tag{31}
\langle x\rangle=0,
\qquad
\langle p\rangle=0,
\]
\[\tag{32}
(\Delta x)^{2}=\frac{r_{\mathrm{int}}^{2}}{2},
\qquad
(\Delta p)^{2}=\frac{p_{\mathrm{int}}^{2}}{2}.
\]
Следовательно,
\[\tag{33}
\Delta x=\frac{r_{\mathrm{int}}}{\sqrt2},
\qquad
\Delta p=\frac{p_{\mathrm{int}}}{\sqrt2}.
\]
Перемножая эти величины и используя формулу \(r_{\mathrm{int}}p_{\mathrm{int}}=\hbar\), находим
\[\tag{34}
\boxed{
\Delta x\,\Delta p
=\frac{r_{\mathrm{int}}p_{\mathrm{int}}}{2}
=\frac{\hbar}{2}.
}
\]
Таким образом, характерная квантовая величина \(\hbar/2\) возникает из двух квадратур одной внутренней волны при равномерно неизвестной фазе. Множитель \(1/2\) появляется потому, что средний квадрат каждой из двух ортогональных проекций полного кругового движения равен половине квадрата его амплитуды.
Это важный геометрический результат, но его нельзя сразу называть общим выводом принципа Гейзенберга. Он получен для специального ансамбля: одной частоты, постоянной амплитуды и равномерно распределённой начальной фазы.
10. Почему случайной фазы недостаточно для общего неравенства
Пусть начальная фаза имеет произвольное распределение \(P(\phi)\). Тогда средние значения определяются формулами
\[\tag{35}
\langle x\rangle
=r_{\mathrm{int}}
\int_{0}^{2}P(\phi)
\sin(\omega t+\pi\phi)\,d\phi,
\]
\[\tag{36}
\langle p\rangle
=p_{\mathrm{int}}
\int_{0}^{2}P(\phi)
\cos(\omega t+\pi\phi)\,d\phi.
\]
Дисперсии также зависят от формы \(P(\phi)\). Если фаза сосредоточена в очень узком интервале, неопределённости проекций могут отличаться от значений, полученных для равномерного ансамбля. Одна только классическая статистика неизвестного угла не создаёт универсальной нижней границы для всех возможных распределений.
Поэтому логически точный вывод имеет вид
\[\tag{37}
\boxed{
\text{равномерно неизвестная фаза}
\quad\Longrightarrow\quad
\Delta x\,\Delta p=\frac{\hbar}{2}
}
\]
только для рассмотренной круговой фазовой модели. Чтобы получить общее соотношение
\[\tag{38}
\Delta x\,\Delta p\geq\frac{\hbar}{2},
\]
необходимо учесть, что физически локализованное волновое состояние не может иметь произвольные, независимо заданные распределения координаты и импульса. Эти распределения являются двумя представлениями одной и той же волны.
11. Размыкание внутренней фазы в пространственную фазу
В замкнутой частице фаза возвращается к исходному значению после прохождения внутреннего контура. При размыкании волны циклический возврат заменяется продолжением вдоль пространственной координаты. Тогда фаза должна зависеть не только от времени, но и от положения:
\[\tag{39}
\theta(x,t)=kx-\omega t+\phi_{0}.
\]
Знак перед \(\omega t\) задаёт выбранное направление распространения. Пространственное волновое число \(k\) показывает, насколько изменяется фаза при единичном перемещении:
\[\tag{40}
k=\frac{\partial\theta}{\partial x}.
\]
В обозначениях нормированного параметра \(a\) пространственная гармоника может быть записана как
\[\tag{41}
\boxed{
J_{k}(x,t)
=J\!\left(
\frac{kx-\omega t}{\pi}+\phi_{k}
\right).
}
\]
Здесь \(\phi_{k}\) является начальной фазой конкретной пространственной гармоники. После размыкания внутренняя неопределённость фазы не исчезает, а переходит в неопределённость положения фазового рисунка вдоль пространства.
12. Почему пространственная гармоника имеет вид \(e^{ikx}\)
Фурье-структуру можно обосновать однородностью пространства. Пусть перенос волны на расстояние \(\xi\) не меняет её физическую природу, а только добавляет фазу:
\[\tag{42}
J_{k}(x+\xi)=J_{k}(x)e^{iF_{k}(\xi)}.
\]
Если сначала выполнить перенос на \(\xi_{1}\), а затем на \(\xi_{2}\), результат должен совпасть с переносом сразу на \(\xi_{1}+\xi_{2}\). Поэтому
\[\tag{43}
F_{k}(\xi_{1}+\xi_{2})
=F_{k}(\xi_{1})+F_{k}(\xi_{2}).
\]
Для непрерывной функции единственным линейным решением является
\[\tag{44}
F_{k}(\xi)=k\xi.
\]
Следовательно, собственная фазовая мода пространственного переноса имеет вид
\[\tag{45}
\boxed{
J_{k}(x)\sim e^{i(kx+\phi_{k})}.
}
\]
Таким образом, экспонента \(e^{ikx}\) не вводится произвольно. Она является непосредственным следствием непрерывности и однородности одномерного пространства: одинаковые перемещения должны создавать одинаковые приращения фазы.
13. Одна гармоника не может локализовать частицу
Монохроматическая пространственная волна
\[\tag{46}
\psi_{k}(x)=A_{0}e^{ikx}
\]
имеет постоянный модуль во всём пространстве:
\[\tag{47}
|\psi_{k}(x)|^{2}=|A_{0}|^{2}.
\]
У неё точно определено волновое число \(k\), но отсутствует выделенная область локализации. Изменение единственной общей фазы \(\phi_{k}\) только сдвигает фазовые гребни и не создаёт ограниченного пакета.
Чтобы получить локализованное состояние, необходимо сложить гармоники с различными значениями \(k\). Их амплитуды и относительные фазы должны быть согласованы так, чтобы в некоторой области они усиливали друг друга, а вдали взаимно компенсировались.
14. Волновой пакет как согласованная система фаз
Общее одномерное локализованное состояние записывается как суперпозиция пространственных гармоник:
\[\tag{48}
\boxed{
\psi(x)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^{+\infty}
A(k)e^{i[kx+\phi(k)]}\,dk.
}
\]
Функция \(A(k)\) задаёт модуль вклада каждой гармоники, а \(\phi(k)\) — её фазу относительно других гармоник. Удобно объединить их в одну комплексную спектральную амплитуду:
\[\tag{49}
\widetilde A(k)=A(k)e^{i\phi(k)}.
\]
Тогда
\[\tag{50}
\boxed{
\psi(x)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^{+\infty}
\widetilde A(k)e^{ikx}\,dk.
}
\]
Это и есть обратное преобразование Фурье. Оно появляется потому, что гармоники \(e^{ikx}\) являются естественными модами пространственного переноса, а линейность волнового описания позволяет их складывать.
Обратное соотношение определяет спектр состояния по его пространственной форме:
\[\tag{51}
\boxed{
\widetilde A(k)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^{+\infty}
\psi(x)e^{-ikx}\,dx.
}
\]
Координатная функция \(\psi(x)\) и спектральная функция \(\widetilde A(k)\) не являются двумя независимо выбранными распределениями. Это два способа описания одного состояния. Если задана одна из них, вторая уже определяется преобразованием Фурье.
15. Общая и относительные фазы
Для правильной физической интерпретации важно различать общую фазу всего пакета и относительные фазы его гармоник. Умножение состояния на один и тот же фазовый множитель
\[\tag{52}
\psi(x)\longrightarrow e^{i\phi_{0}}\psi(x)
\]
не меняет пространственную интенсивность:
\[\tag{53}
|e^{i\phi_{0}}\psi(x)|^{2}=|\psi(x)|^{2}.
\]
Поэтому абсолютная общая фаза пакета не определяет наблюдаемое положение. Иначе ведут себя относительные фазы разных значений \(k\). Если изменить их по линейному закону
\[\tag{54}
\widetilde A(k)
\longrightarrow
\widetilde A(k)e^{-ikx_{0}},
\]
то из формулы Фурье следует
\[\tag{55}
\psi(x)
\longrightarrow
\psi(x-x_{0}).
\]
Следовательно, положение локализованного пакета кодируется согласованным наклоном спектральной фазы. Не одна абсолютная фаза, а система относительных фаз определяет, где именно гармоники складываются согласованно.
Если же фазы разных гармоник сделать независимо случайными, устойчивый локализованный максимум разрушается. Это состояние следует связывать не с улучшением локализации, а с потерей когерентности.
16. От ширины пакета к ширине спектра
Фурье-сопряжённость имеет простой физический смысл. Чтобы создать узкий максимум в пространстве, нужно сложить много гармоник с различными \(k\). Если же присутствует только узкий диапазон волновых чисел, все компоненты имеют почти одинаковую длину волны и образуют протяжённый пакет.
Поэтому уменьшение пространственной ширины \(\Delta x\) неизбежно увеличивает спектральную ширину \(\Delta k\). Это ограничение не связано с точностью прибора. Оно следует из самой невозможности построить узкую волновую структуру из одной или почти одной гармоники.
Для физической интерпретации распределений примем нормировку
\[\tag{56}
\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^{2}dx=1,
\qquad
\int_{-\infty}^{+\infty}|\widetilde A(k)|^{2}dk=1.
\]
Величина \(|\psi(x)|^{2}\) характеризует нормированную пространственную плотность состояния, а \(|\widetilde A(k)|^{2}\) — плотность его волновых чисел. Математическое равенство нормировок следует из теоремы Парсеваля. Отождествление этих плотностей с вероятностями результатов измерения является дополнительным физическим правилом, которое должно быть отдельно обосновано в полной теории.
17. Связь волнового числа и импульса
Для свободной разомкнутой волны временная и пространственная частоты связаны скоростью распространения:
\[\tag{57}
\omega=ck.
\]
Используя энергетическое соотношение
\[\tag{58}
E=\hbar\omega
\]
и импульс волны
\[\tag{59}
p=\frac{E}{c},
\]
получаем
\[\tag{60}
\boxed{
p=\hbar k.
}
\]
Именно эта формула превращает чисто геометрическое ограничение между координатой и пространственной частотой в физическое ограничение между координатой и импульсом.
Для массивной частицы групповая скорость пакета может быть меньше \(c\). Поэтому равенство \(\omega=ck\) нельзя без уточнений применять к её внешней нерелятивистской дисперсии. Однако соответствие \(p=\hbar k\) сохраняется как связь накопленной пространственной фазы с каноническим импульсом. В более общем виде оно следует из действия:
\[\tag{61}
dS=p\,dx-E\,dt,
\qquad
\theta=\frac{S}{\hbar}.
\]
Отсюда
\[\tag{62}
k=\frac{\partial\theta}{\partial x}
=\frac{p}{\hbar},
\qquad
\omega=-\frac{\partial\theta}{\partial t}
=\frac{E}{\hbar}.
\]
18. Математический вывод общего неравенства
Теперь можно перейти от частного равномерного фазового ансамбля к произвольному нормированному локализованному пакету. Для простоты выберем начала координаты и волнового числа так, чтобы
\[\tag{63}
\langle x\rangle=0,
\qquad
\langle k\rangle=0.
\]
Тогда дисперсия координаты равна
\[\tag{64}
(\Delta x)^{2}
=\int_{-\infty}^{+\infty}
x^{2}|\psi(x)|^{2}dx.
\]
Умножение спектра на \(k\) соответствует дифференцированию координатной функции. Поэтому по теореме Парсеваля
\[\tag{65}
(\Delta k)^{2}
=\int_{-\infty}^{+\infty}
k^{2}|\widetilde A(k)|^{2}dk
=\int_{-\infty}^{+\infty}
\left|\frac{d\psi}{dx}\right|^{2}dx.
\]
Рассмотрим неотрицательную величину для произвольного вещественного \(\lambda\):
\[\tag{66}
0\leq
\int_{-\infty}^{+\infty}
\left|
x\psi+\lambda\frac{d\psi}{dx}
\right|^{2}dx.
\]
После раскрытия квадрата возникают два положительных члена и смешанный член. Для локализованной функции, исчезающей на бесконечности, интегрирование по частям даёт
\[\tag{67}
\int_{-\infty}^{+\infty}
x\frac{d|\psi|^{2}}{dx}dx=-1.
\]
Поэтому выражение (66) принимает вид
\[\tag{68}
0\leq
(\Delta x)^{2}
-\lambda
+\lambda^{2}(\Delta k)^{2}.
\]
Правая часть является квадратным трёхчленом относительно \(\lambda\). Он должен оставаться неотрицательным при любом значении \(\lambda\), следовательно, его дискриминант не может быть положительным:
\[\tag{69}
1-4(\Delta x)^{2}(\Delta k)^{2}\leq0.
\]
Отсюда получаем чисто волновое соотношение
\[\tag{70}
\boxed{
\Delta x\,\Delta k\geq\frac12.
}
\]
Наконец, с учётом \(p=\hbar k\) имеем
\[\tag{71}
\boxed{
\Delta x\,\Delta p\geq\frac{\hbar}{2}.
}
\]
Теперь это уже не результат для одного выбранного распределения начальной фазы, а общее неравенство для любого нормированного локализованного волнового состояния с конечными дисперсиями координаты и импульса.
19. Почему нижняя граница не является погрешностью прибора
Если бы неопределённость была только следствием неточного измерения заранее заданных классических величин, можно было бы одновременно уменьшать ошибки координаты и импульса, совершенствуя прибор. Фурье-сопряжённость устроена иначе: изменение самого состояния, необходимое для уменьшения \(\Delta x\), расширяет спектр \(k\) и тем самым увеличивает \(\Delta p\).
Поэтому неизвестная начальная фаза выполняет в предлагаемой картине роль геометрического источника статистического разброса, но универсальная граница возникает из структуры локализованной волны. Эти два уровня дополняют друг друга:
\[\tag{72}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{неизвестная внутренняя фаза}
&\longrightarrow
\text{неопределённость отдельной реализации},\\
\text{Фурье-структура волнового пакета}
&\longrightarrow
\text{универсальная нижняя граница}.
\end{aligned}
}
\]
20. Состояние минимальной неопределённости
Равенство в формуле (70) достигается тогда, когда подынтегральное выражение в формуле (66) обращается в нуль:
\[\tag{73}
x\psi+\lambda\frac{d\psi}{dx}=0.
\]
Решение этого уравнения имеет гауссов вид:
\[\tag{74}
\psi(x)
=C\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{4\sigma_{x}^{2}}\right).
\]
Для гауссова пакета
\[\tag{75}
\Delta x=\sigma_{x},
\qquad
\Delta k=\frac{1}{2\sigma_{x}},
\]
поэтому
\[\tag{76}
\Delta x\,\Delta p=\frac{\hbar}{2}.
\]
Здесь необходимо различать два случая, в которых появляется одинаковая величина \(\hbar/2\). Равномерное распределение одной внутренней фазы даёт её из двух ортогональных проекций кругового движения. Гауссов пакет даёт ту же границу как оптимальное соотношение между пространственной шириной и шириной спектра. Эти распределения не тождественны, но оба указывают на общий фазово-пространственный масштаб.
21. Возможная интерпретация измерения
В предлагаемой картине отдельная частица обладает определённой фазой внутренней волны, но эта фаза не синхронизирована с измерительным прибором. Взаимодействие с прибором устанавливает конкретное фазовое отношение и переводит внутреннее состояние в наблюдаемую координатную или импульсную проекцию.
При повторении опыта внешние условия подготовки могут быть одинаковыми, тогда как начальные фазы отдельных реализаций различаются. Поэтому результаты образуют статистическое распределение. Такое объяснение позволяет связать вероятностное описание с реальным внутренним процессом, не утверждая, что до измерения у частицы вообще отсутствовало состояние.
Однако из одной этой интерпретации ещё не следует правило Борна
\[\tag{77}
P(x)=|\psi(x)|^{2}.
\]
Для завершённой теории необходимо показать, почему интенсивность нормированной волновой амплитуды определяет частоту результатов регистрации и как конкретное взаимодействие с прибором выбирает один исход. В настоящей статье правило \(|\psi|^{2}\) используется как физическое соответствие между волновым состоянием и статистикой измерений.
22. Что получено, а что остаётся гипотезой
Непосредственно из принятой геометрии следует: оператор \(J\) задаёт фазовое направление; скорость имеет вид \(V=cJ\); координата получается интегрированием; внутренняя гармоника создаёт масштаб \(r=c/\omega\); неизвестная начальная фаза означает неизвестную точку на периодической траектории.
После энергетического соответствия получается: \(E=\hbar\omega\), \(p_{\mathrm{int}}=\hbar\omega/c\) и \(r_{\mathrm{int}}p_{\mathrm{int}}=\hbar\). Для равномерного распределения начальной фазы две ортогональные проекции дают \(\Delta x\,\Delta p=\hbar/2\).
Из общей математики локализованных волн следует: однородность пространства выделяет гармоники \(e^{ikx}\); локализация требует их суперпозиции; координатное и спектральное представления связаны преобразованием Фурье; поэтому \(\Delta x\,\Delta k\geq1/2\), а при \(p=\hbar k\) получается стандартное неравенство Гейзенберга.
Дополнительными физическими гипотезами остаются: полное происхождение правила Борна из оператора \(J\); механизм преобразования внутренней фазы в единичный результат измерения; точное отображение полного внутреннего импульса на внешний механический импульс; ограничения на физически допустимые фазовые распределения; описание составных и запутанных состояний.
23. Итоговая последовательность
\[\tag{78}
\boxed{
\begin{gathered}
a_{\phi}(t)=\varpi t+\phi
\longrightarrow
J_{\phi}(t)=J(a+\phi),\\
V_{\phi}=cJ_{\phi}
\longrightarrow
R_{\phi}=\displaystyle\int V_{\phi}dt,\\
r_{\mathrm{int}}=\dfrac{c}{\omega},
\qquad
p_{\mathrm{int}}=\dfrac{\hbar\omega}{c}
\longrightarrow
r_{\mathrm{int}}p_{\mathrm{int}}=\hbar,\\
\text{равномерно неизвестная фаза}
\longrightarrow
\Delta x\,\Delta p=\dfrac{\hbar}{2},\\
\text{пространственное размыкание}
\longrightarrow
J_{k}(x)\sim e^{ikx},\\
\text{локализация}
\longrightarrow
\psi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}
\displaystyle\int\widetilde A(k)e^{ikx}dk,\\
x\leftrightarrow k,
\qquad
p=\hbar k
\longrightarrow
\Delta x\,\Delta p\geq\dfrac{\hbar}{2}.
\end{gathered}
}
\]
Таким образом, неопределённость начинается с фазы, но не заканчивается ею. Неизвестное значение \(\phi\) задаёт неизвестную точку непрерывного внутреннего движения. Интегрирование \(cJ(a+\phi)\) превращает фазовое различие в пространственное. Когда же волна должна быть локализована в открытом пространстве, одной гармоники становится недостаточно: возникает спектр волновых чисел и согласованная система относительных фаз.
В этой последовательности принцип Гейзенберга получает двухуровневое объяснение. На внутреннем геометрическом уровне величина \(\hbar/2\) появляется из равномерно неизвестной фазы и двух квадратур нормированной волны. На общем пространственном уровне неравенство возникает из невозможности создать произвольно узкий локализованный пакет без расширения его спектра импульсов.
Квантовая неопределённость в предлагаемой модели означает не отсутствие внутреннего движения, а невозможность одновременно зафиксировать точку фазового цикла и сохранить узкий спектр пространственных продолжений той же волны.