В настоящей работе проблема происхождения массы рассматривается прежде всего с геометрической точки зрения. Мы предполагаем, что фундаментальной характеристикой частицы является полная энергия её внутреннего периодического состояния, тогда как масса покоя представляет собой только наблюдаемую проекцию этой энергии на выделенное направление внутреннего пространства.

Основная задача работы состоит в том, чтобы применить эту геометрическую схему сначала к электрону, а затем рассмотреть её безмассовый предел, который по своим энергетическим свойствам может соответствовать фотону. В таком подходе электрон и фотон не вводятся как принципиально разные объекты: они рассматриваются как разные ориентации полного энергетического состояния, одна из которых обладает ненулевой проекцией массы, а другая — нет.

Далее модель обобщается на произвольную частицу. Предполагается, что её масса определяется одновременно частотой внутреннего периодического процесса и геометрической ориентацией связанного с ним энергетического вектора. Это позволяет рассматривать спектр масс как возможное следствие различных внутренних частот и различных коэффициентов проекции.

Геометрическая конструкция внутреннего движения опирается на разработанный ранее новый идемпотентный базис и дробную степень гиперболической единицы. Связь внутренней частоты электрона, его массы, внутреннего лоренц-фактора и постоянной тонкой структуры была получена в предыдущей работе. Настоящая статья развивает этот результат и предлагает интерпретировать массу не как первичную характеристику частицы, а как проекцию её полной внутренней энергии.

В основе модели лежат два взаимно дополнительных идемпотента \[ \tag{1} \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0, \qquad \ep+\em=1. \] С ними связана гиперболическая единица \[ \tag{2} \j=\ep-\em, \qquad \j^2=1. \]

В работе о геометрии дробной степени гиперболической единицы было получено представление внутреннего периодического состояния \[ \tag{3} \boxed{ \j^{-\varpi t} = \ep + \em e^{-i\omega t} }, \qquad \omega=\pi\varpi=2\pi\nu. \]

Поэтому вектор внутреннего состояния можно записать непосредственно как \[ \tag{4} J(t)=\j^{-\varpi t}. \] В развёрнутом виде \[ \tag{5} J(t) = \ep + \em\cos\omega t - i\em\sin\omega t. \]

Первая компонента остаётся постоянной, тогда как в плоскости \[ \tag{6} \left\{ \em,\;i\em \right\} \] происходит периодическое внутреннее вращение. Тем самым конструкция \(\j^{-\varpi t}\) одновременно содержит неподвижное направление и вращательную составляющую.

Частота \(\nu\) характеризует скорость изменения внутреннего состояния. В дальнейшем связанная с ней энергия будет рассматриваться как модуль полного энергетического вектора частицы.

Пусть внутреннему периодическому состоянию частицы соответствует полная энергия \[ \tag{7} \boxed{ W=h\nu }. \]

Принципиально важно, что величина \(W\) здесь не отождествляется непосредственно с энергией покоя. Она определяет полный энергетический масштаб внутреннего процесса, описываемого конструкцией \[ J(t)=\j^{-\varpi t}. \]

Введём внутренний лоренц-фактор \[ \tag{8} \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{1} {\sqrt{1-\beta_{\mathrm{int}}^2}}, \qquad \beta_{\mathrm{int}} = \frac{v_{\mathrm{int}}}{c}. \]

Связь полной внутренней энергии с энергией покоя запишем в виде \[ \tag{9} W = \gamma_{\mathrm{int}}mc^2. \] Отсюда \[ \tag{10} \boxed{ mc^2 = \frac{W} {\gamma_{\mathrm{int}}} } \] и \[ \tag{11} \boxed{ m = \frac{h\nu} {\gamma_{\mathrm{int}}c^2} }. \]

Таким образом, масса частицы определяется двумя характеристиками: \[ \tag{12} m=m\left(\nu,\gamma_{\mathrm{int}}\right). \] Внутренняя частота задаёт полный энергетический масштаб, а лоренц-фактор определяет долю этой энергии, которая проявляется как энергия покоя.

Введём угол \(\vartheta\), определяемый соотношением \[ \tag{13} \cos\vartheta = \frac{1} {\gamma_{\mathrm{int}}}. \] Тогда \[ \tag{14} \boxed{ mc^2 = W\cos\vartheta }. \]

Полная внутренняя энергия \(W=h\nu\) представляется модулем энергетического вектора, а энергия покоя \(mc^2\) — его проекцией на выделенное направление. Масса становится не самостоятельной первичной величиной, а геометрической характеристикой внутреннего состояния.

Ортогональная составляющая полного энергетического вектора равна \[ \tag{15} W_{\perp} = W\sin\vartheta. \]

Из определения внутреннего лоренц-фактора следует \[ \tag{16} \sin\vartheta = \sqrt{ 1- \frac{1} {\gamma_{\mathrm{int}}^2} } = \beta_{\mathrm{int}}. \] Поэтому \[ \tag{17} \boxed{ W_{\perp} = \beta_{\mathrm{int}}W }. \]

Компоненты образуют геометрическое разложение \[ \tag{18} W^2 = \left(mc^2\right)^2 + W_{\perp}^2. \] После подстановки выражения (17) \[ \tag{19} W^2 = \left(mc^2\right)^2 + \beta_{\mathrm{int}}^2W^2. \]

Отсюда снова получаем \[ \tag{20} mc^2 = W \sqrt{ 1- \beta_{\mathrm{int}}^2 } = \frac{W} {\gamma_{\mathrm{int}}}. \] Таким образом, энергетическая и геометрическая интерпретации полностью согласуются.

Если полную энергию внутреннего состояния отождествить с полной релятивистской энергией частицы, \[ \tag{21} W=E, \] то \[ \tag{22} E = \gamma mc^2. \]

Релятивистский импульс равен \[ \tag{23} p = \gamma mv. \] Следовательно, \[ \tag{24} pc = \gamma mc^2 \frac{v}{c} = \beta E. \]

Сравнивая выражения (17) и (24), получаем \[ \tag{25} W_{\perp}=pc. \] Тогда геометрическое разложение (18) принимает вид \[ \tag{26} \boxed{ E^2 = m^2c^4 + p^2c^2 }. \]

Это позволяет интерпретировать энергию покоя \(mc^2\) как одну проекцию полной энергии, а динамическую величину \(pc\) — как ортогональную компоненту.

Следует учитывать, что пространство-время специальной теории относительности обладает псевдоевклидовой геометрией. Поэтому приведённое изображение следует понимать как наглядное разложение положительных модулей энергетических компонент, а не как буквальную евклидову модель пространства Минковского.

В предыдущей работе для внутреннего движения электрона была предложена связь \[ \tag{27} \alpha_{\mathrm{fs}} = \frac{1} {\gamma_{\mathrm{int}}}, \] где \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) — постоянная тонкой структуры.

Отсюда \[ \tag{28} \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{1} {\alpha_{\mathrm{fs}}} \approx 137.036. \] Для угла энергетической проекции электрона получаем \[ \tag{29} \cos\vartheta_e = \alpha_{\mathrm{fs}}. \]

Полная внутренняя энергия электрона определяется его внутренней частотой: \[ \tag{30} W_e=h\nu_e. \] Энергия покоя является проекцией этой величины: \[ \tag{31} m_ec^2 = W_e\cos\vartheta_e. \]

С учётом выражения (29) \[ \tag{32} \boxed{ m_ec^2 = \alpha_{\mathrm{fs}}W_e = \alpha_{\mathrm{fs}}h\nu_e }. \]

Таким образом, в рамках предлагаемой модели постоянная тонкой структуры определяет долю полной внутренней энергии электрона, которая проявляется как его энергия покоя.

Ортогональная составляющая равна \[ \tag{33} W_{\perp e} = W_e \sqrt{ 1- \alpha_{\mathrm{fs}}^2 }. \] Поскольку \[ \tag{34} \sqrt{ 1- \alpha_{\mathrm{fs}}^2 } \approx 0.99997337, \] основная часть полной внутренней энергии относится к ортогональной компоненте, тогда как энергия покоя составляет её относительно небольшую геометрическую проекцию.

Рассмотрим предел, в котором скорость внутреннего движения стремится к скорости света: \[ \tag{35} \beta_{\mathrm{int}} \rightarrow1. \] Тогда \[ \tag{36} \gamma_{\mathrm{int}} \rightarrow\infty \] и \[ \tag{37} \cos\vartheta = \frac{1} {\gamma_{\mathrm{int}}} \rightarrow0. \]

Следовательно, \[ \tag{38} mc^2 = W\cos\vartheta \rightarrow0. \] При этом полная энергия \[ \tag{39} W=h\nu \] может оставаться конечной.

В безмассовом пределе энергетический вектор полностью переходит в ортогональное направление: \[ \tag{40} W_{\perp}\rightarrow W, \qquad mc^2\rightarrow0. \]

Такое состояние соответствует основным энергетическим свойствам фотона: \[ \tag{41} m=0, \qquad E=h\nu, \qquad E=pc. \]

В предлагаемой геометрии фотон можно рассматривать как предельное состояние, у которого полный энергетический вектор остаётся ненулевым, но его проекция на направление энергии покоя равна нулю. Поэтому исчезает не энергия частицы, а только её массовая проекция.

В этом смысле электрон и фотон могут быть представлены как различные геометрические состояния одного общего механизма. Для электрона угол \(\vartheta_e\) немного отличается от прямого и существует малая ненулевая проекция \(m_ec^2\). Для фотона угол достигает предельного значения \[ \tag{42} \vartheta_\gamma = \frac{\pi}{2}, \] поэтому \[ \tag{43} \cos\vartheta_\gamma=0. \]

При этом отождествление конструкции \(\j^{-\varpi t}\) с полным состоянием фотона пока остаётся гипотезой. Для дальнейшего обоснования необходимо вывести из этой геометрии поляризацию, спин, закон распространения и электромагнитную структуру фотона.

Для частицы с индексом \(i\) внутреннее состояние запишем как \[ \tag{44} J_i(t) = \j^{-\varpi_i t}, \qquad \varpi_i=2\nu_i. \]

Полная внутренняя энергия такой частицы равна \[ \tag{45} W_i=h\nu_i. \] Её масса определяется выражением \[ \tag{46} \boxed{ m_i = \frac{h\nu_i} {\gamma_i c^2} }. \]

Эквивалентная геометрическая форма имеет вид \[ \tag{47} m_ic^2 = W_i\cos\vartheta_i, \qquad \cos\vartheta_i = \frac{1}{\gamma_i}. \]

Следовательно, различия масс частиц могут быть обусловлены двумя причинами:

1. различием внутренних частот \(\nu_i\), определяющих модули полных энергетических векторов;

2. различием углов \(\vartheta_i\), определяющих проекции этих векторов на направление энергии покоя.

Отношение масс двух частиц определяется выражением \[ \tag{48} \frac{m_1}{m_2} = \frac{\nu_1}{\nu_2} \frac{\gamma_2}{\gamma_1}. \]

Данная формула сама по себе ещё не определяет спектр элементарных частиц, поскольку для каждой частицы необходимо найти независимое условие, связывающее её частоту и геометрический коэффициент проекции. Тем не менее она задаёт общую схему, применимую как к массивным, так и к безмассовым состояниям.

Алгебраическая основа рассматриваемой конструкции была заложена в работе о новом идемпотентном базисе. В ней было показано, что комплексное расширение двух взаимно дополнительных идемпотентов естественным образом образует четырёхмерную действительную структуру.

Геометрия дробной степени гиперболической единицы и выражение \[ \j^{-\varpi t} = \ep + \em e^{-i\omega t} \] были получены в этой работе.

Разделение поступательного и внутреннего движения электрона рассматривалось в первой части геометрической модели электрона и в её второй части.

Связь внутренней частоты, массы электрона, лоренц-фактора и постоянной тонкой структуры была предложена в работе о происхождении массы и уравнении Шрёдингера.

Настоящая статья объединяет эти результаты в единую энергетическую схему: \[ J(t) = \j^{-\varpi t}, \qquad W=h\nu, \qquad mc^2 = \frac{W}{\gamma} = W\cos\vartheta. \]

До настоящего момента предполагалось, что внутреннее состояние частицы характеризуется одной основной частотой \(\omega\). Однако геометрическая конструкция не требует, чтобы вращение происходило только в основной моде. Можно предположить существование семейства внутренних состояний, угловые частоты которых кратны некоторой фундаментальной частоте: \[ \tag{49} \omega_n = n\omega_0, \qquad n=1,2,3,\ldots \]

Поскольку \[ \omega_0 = \pi\varpi_0 = 2\pi\nu_0, \] для каждой моды получаем \[ \tag{50} \varpi_n = n\varpi_0, \qquad \nu_n = n\nu_0. \]

Тогда внутреннее состояние частицы записывается как \[ \tag{51} J_n(t) = \j^{-n\varpi_0t}. \] Используя геометрическое представление дробной степени гиперболической единицы, получаем \[ \tag{52} \boxed{ J_n(t) = \j^{-n\varpi_0t} = \ep + \em e^{-in\omega_0t} }. \]

Число \(n\) определяет количество полных внутренних оборотов, совершаемых за период основной моды. При \(n=1\) получаем основное состояние: \[ \tag{53} J_1(t) = \j^{-\varpi_0t}. \] При \(n>1\) вращательная компонента проходит ту же геометрическую окружность с большей угловой частотой.

Полная внутренняя энергия \(n\)-й моды равна \[ \tag{54} W_n = h\nu_n. \] Поскольку \[ \nu_n = n\nu_0, \] получаем \[ \tag{55} \boxed{ W_n = nh\nu_0 = nW_0 }. \]

Таким образом, фундаментальная частота \(\nu_0\) задаёт минимальный энергетический масштаб внутреннего движения, а коэффициент \(n\) определяет номер его гармонической моды.

Масса частицы в состоянии \(n\) определяется проекцией полной внутренней энергии: \[ \tag{56} m_nc^2 = \frac{W_n} {\gamma_n}. \] Следовательно, \[ \tag{57} \boxed{ m_n = \frac{nh\nu_0} {\gamma_n c^2} }. \]

Эквивалентная геометрическая форма имеет вид \[ \tag{58} m_nc^2 = W_n\cos\vartheta_n, \qquad \cos\vartheta_n = \frac{1} {\gamma_n}. \]

Из выражения (57) следуют два возможных механизма образования спектра масс. Если внутренний лоренц-фактор одинаков для всех мод, \[ \tag{59} \gamma_n = \gamma_0, \] то \[ \tag{60} m_n = nm_0. \] В этом случае массы образуют линейный гармонический спектр.

В более общем случае каждой моде может соответствовать собственная геометрическая ориентация энергетического вектора: \[ \tag{61} \gamma_n \neq \gamma_0. \] Тогда \[ \tag{62} \frac{m_n}{m_1} = n \frac{\gamma_1} {\gamma_n}. \]

Поэтому наблюдаемый спектр масс может определяться одновременно номером внутренней моды и коэффициентом её проекции. Даже если частоты образуют простой гармонический ряд, массы частиц не обязаны быть целыми кратными основной массе.

Для произвольной частицы с индексом \(i\) можно записать \[ \tag{63} J_i(t) = \j^{-n_i\varpi_0t}, \] \[ \tag{64} W_i = n_ih\nu_0, \] \[ \tag{65} \boxed{ m_i = \frac{n_ih\nu_0} {\gamma_i c^2} }. \]

В этой схеме различные частицы могут рассматриваться как разные гармонические и геометрические состояния одного фундаментального внутреннего процесса. Число \(n_i\) определяет энергетическую моду, а величина \(\gamma_i\) — долю полной энергии, проявляющуюся как масса покоя.

Безмассовый предел сохраняется для любой гармонической моды. Если \[ \tag{66} \gamma_n \rightarrow \infty, \] то \[ \tag{67} m_n \rightarrow0, \] хотя полная энергия остаётся конечной: \[ \tag{68} W_n = nh\nu_0. \] Следовательно, фотон также может соответствовать одной из гармонических мод, энергетический вектор которой не имеет проекции на направление массы покоя.

На данном этапе целочисленность \(n\) является дополнительной гипотезой. Она должна быть обоснована условием замыкания внутренней траектории, граничными условиями или требованием однозначности состояния. Если такое условие будет найдено, дискретность внутренних частот и энергий станет следствием геометрии модели, а не отдельным квантовым постулатом.

В предлагаемом подходе масса не является первичным количеством вещества. Первичным считается внутреннее периодическое состояние частицы, обладающее частотой и соответствующей полной энергией.

Масса характеризует только ту часть полного энергетического состояния, которая проецируется на выделенное направление пространства покоя. Поэтому одна и та же полная внутренняя энергия при различных углах может соответствовать различным массам.

При изменении частоты меняется длина энергетического вектора. При изменении внутреннего лоренц-фактора меняется его ориентация. Масса зависит одновременно от обоих факторов.

В предельном случае внутреннего движения со скоростью света проекция массы исчезает, однако энергия сохраняется. Это позволяет включить фотон в общую геометрическую схему как безмассовый предел периодического внутреннего состояния.

Конструкция \[ J(t) = \j^{-\varpi t} = \ep + \em e^{-i\omega t} \] задаёт внутреннее периодическое состояние частицы в комплексно расширенном идемпотентном базисе. Частота этого состояния определяет полную внутреннюю энергию \[ W=h\nu. \]

Масса покоя интерпретируется как геометрическая проекция полной внутренней энергии: \[ mc^2 = \frac{W}{\gamma} = W\cos\vartheta. \] Таким образом, масса является не исходным энергетическим масштабом частицы, а производной характеристикой ориентации её полного внутреннего состояния.

Ортогональная компонента полного энергетического вектора равна \[ W_{\perp} = \beta W. \] При отождествлении \(W\) с полной релятивистской энергией эта величина совпадает с \(pc\), что приводит к соотношению \[ E^2 = m^2c^4 + p^2c^2. \] Тем самым геометрическое разложение согласуется со стандартной связью энергии, импульса и массы.

Для электрона ранее предложенная связь \[ \frac{1} {\gamma_{\mathrm{int}}} = \alpha_{\mathrm{fs}} \] даёт \[ m_ec^2 = \alpha_{\mathrm{fs}}h\nu_e. \] В рамках модели постоянная тонкой структуры определяет коэффициент проекции полной внутренней энергии электрона на направление энергии покоя.

При \(\gamma\rightarrow\infty\) и \(v_{\mathrm{int}}\rightarrow c\) массовая проекция исчезает, тогда как энергия \(W=h\nu\) остаётся конечной. Этот предел соответствует основным энергетическим свойствам фотона и позволяет рассматривать массивные и безмассовые частицы как различные геометрические состояния одного внутреннего механизма.

Дополнительно выдвинута гипотеза о существовании гармонических мод внутреннего вращения: \[ \omega_n = n\omega_0, \qquad n=1,2,3,\ldots \] Им соответствует семейство состояний \[ J_n(t) = \j^{-n\varpi_0t} = \ep + \em e^{-in\omega_0t}. \]

Полная внутренняя энергия \(n\)-й моды равна \[ W_n = nh\nu_0, \] а её массовая проекция определяется выражением \[ \boxed{ m_n = \frac{nh\nu_0} {\gamma_n c^2} }. \] Следовательно, наблюдаемая масса может зависеть одновременно от фундаментальной внутренней частоты, номера гармонической моды и геометрического коэффициента проекции.

Если внутренний лоренц-фактор одинаков для всех мод, то массы образуют линейный спектр \[ m_n=nm_1. \] В более общем случае \[ \gamma_n\neq\gamma_1, \] и отношение масс принимает вид \[ \frac{m_n}{m_1} = n \frac{\gamma_1} {\gamma_n}. \] Поэтому даже при целочисленном спектре внутренних частот массы частиц не обязаны быть целыми кратными массе основной моды.

Целочисленность \(n\) может быть связана с условием замыкания внутреннего состояния: \[ J_n(t+T_0)=J_n(t). \] При \[ T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} \] это условие требует \[ e^{-i2\pi n}=1, \] что выполняется для целых \(n\). В таком случае дискретность внутренних частот и энергий получает геометрическое основание.

Таким образом, произвольная частица в рамках предложенной схемы характеризуется внутренней модой \(n\), фундаментальной частотой \(\nu_0\) и коэффициентом проекции \(1/\gamma_n\). Электрон, фотон и другие частицы могут рассматриваться как различные гармонические и геометрические состояния единого периодического процесса.

Предложенная модель пока не определяет конкретные значения \(n\) и \(\gamma_n\) для известных частиц. Для дальнейшего развития необходимо получить независимые геометрические или динамические условия, связывающие внутренние моды с массой, спином, зарядом и другими квантовыми характеристиками.