В продолжение предыдущей работы рассматривается новый способ описания движения в декартовом базисе \(\{\ep,i\ep,\em,i\em\}\), основанный на общем повороте комплексных плоскостей. Показано, что обратный лоренц-фактор естественным образом возникает как следствие сохранения модуля вектора при изменении угла поворота, без введения дополнительных релятивистских постулатов. Получены аналитические выражения для вектора скорости и вектора перемещения, описывающие одновременно поступательное движение и внутреннюю вращательную структуру.

Особое внимание уделено геометрической интерпретации полученных результатов. В работе показано, как изменение относительной скорости приводит к непрерывному переходу между представлениями \((ct,y,z)\) и \((x,y,z)\), а также исследован предельный случай движения со скоростью света. Для наглядности предложена интерактивная трёхмерная визуализация, позволяющая изменять скорость, выбирать систему координат и исследовать геометрию траектории в новом базисе.

Движение в парадигме нашего декартового базиса \(\{\ep,i\ep,\em,i\em\}\) можно получить несколькими способами. Один из них основан на разности фаз между двумя комплексными плоскостями: \[\tag{1} V=c\left(\ep e^{ig}+\em e^{ih}\right). \] Здесь \(c\) — скорость света, а \(g\) и \(h\) — независимые фазовые углы двух комплексных плоскостей. Такой подход может использоваться для описания относительного положения двух независимых комплексных пространств.

В данной работе рассмотрим другой способ, принципиально отличающийся от предыдущего. Для этого возьмём вектор скорости из формулы (11) предыдущей работы \[\tag{2} V'(t)= c\left(\ep+\em e^{i\omega t}\right), \] и выполним одинаковый поворот обеих комплексных плоскостей, промодулировав вектор множителем \(e^{i\alpha}\): \[\tag{3} V(t)= c\,e^{i\alpha} \left( \ep+ \em e^{i\omega t} \right). \] Здесь угол \(\alpha\) задаёт общий поворот декартова базиса относительно исходного положения.

Используя свойства идемпотент и раскрывая комплексные экспоненты по формуле Эйлера, получаем представление вектора в декартовом базисе \[\tag{4} V(t)= \begin{pmatrix} c\cos(\alpha)\\ c\sin(\alpha)\\ c\cos(\omega t+\alpha)\\ c\sin(\omega t+\alpha) \end{pmatrix}. \] Для преобразования угла поворота в привычную физическую скорость воспользуемся физической интерпретацией, полученной в этой работе, и введём относительную скорость \[\tag{5} \beta={v\over c}, \] где \(v\) — скорость, изменяющаяся в пределах от нуля до скорости света \(c\). Тогда угол поворота можно записать в виде \[\tag{6} \alpha=\arcsin(\beta). \] Вектор скорости преобразуется к виду \[\tag{7} V(t)= \begin{pmatrix} c\bar\gamma\\ v\\ \cos(\omega t)\,c\bar\gamma - v\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t)\,c\bar\gamma + v\cos(\omega t) \end{pmatrix}, \] где \(\bar\gamma=\sqrt{1-\beta^2}\) — обратный лоренц-фактор [1]. При этом модуль первых двух координат сохраняется: \[ (c\bar\gamma)^2+v^2=c^2, \] откуда непосредственно следует выражение для обратного лоренц-фактора. При \(\beta=0\) имеем \(\alpha=0\), поэтому выражение (7) переходит в исходный вектор скорости (2).

Если установить соответствие \[\tag{8} \begin{aligned} \ep &\longleftrightarrow ct,\\ i\ep &\longleftrightarrow x,\\ \em &\longleftrightarrow y,\\ i\em &\longleftrightarrow z, \end{aligned} \] то координата \(i\ep\) совпадает с привычной относительной скоростью \(v\), тогда как координата \(\ep\), соответствующая времени, автоматически приобретает множитель \(c\bar\gamma\). Таким образом, релятивистское сокращение временной компоненты возникает непосредственно из геометрии нового декартова базиса без введения дополнительных постулатов. Ещё один способ получения лоренц-фактора рассмотрен в отдельной работе.

Интегрируя вектор скорости (7) стандартным способом, получим вектор перемещения \[\tag{9} L(t)= \begin{pmatrix} c\bar\gamma t \\ vt \\ r \bar\gamma\, \sin(\omega t) + r \beta\, \cos(\omega t)\\ -r \bar\gamma\, \cos(\omega t)+ r \beta\, \sin(\omega t) \end{pmatrix}, \] где \[ r={c\over\omega}. \] Здесь первые две координаты описывают поступательное перемещение, а последние две координаты сохраняют внутреннюю вращательную структуру, связанную с комплексной плоскостью \(\{\em,i\em\}\).

Отдельного внимания заслуживает частный случай при \(\beta=1\), то есть когда скорость \(v\) достигает скорости света. В этом случае \(\bar\gamma=0\), и вектор перемещения принимает вид \[\tag{10} L(t) \bigg|_{v=c}= \begin{pmatrix} 0 \\ ct \\ r \cos(\omega t)\\ r \sin(\omega t) \end{pmatrix}. \] По сравнению с исходным случаем, координата, соответствующая времени, обращается в ноль, тогда как координата \(i\ep\), связанная с направленным движением, становится равной \(ct\). Иначе говоря, при предельной скорости вклад временной компоненты полностью переходит в компоненту движения. Это можно рассматривать как геометрическое выражение закона сохранения полной величины вектора в данном базисе.

На рисунке ниже показана пространственная часть вектора перемещения точки \(L(t)\) при \[c=1, \quad \omega=2\pi, \quad r=1/2\pi. \] На графике отображается один виток спирали.

Используйте колёсико мыши для изменения масштаба, перетаскивание левой кнопкой мыши — для поворота графика. Переключатель позволяет выбрать отображение в координатах (x, y, z) или (ct, y, z), поскольку на двумерном экране невозможно одновременно представить все четыре координаты пространства.

В работе показано, что движение может быть представлено как результат комплексной модуляции нового декартова базиса \(\{\ep,i\ep,\em,i\em\}\). При этом относительная скорость определяется углом поворота комплексной плоскости, а обратный лоренц-фактор возникает естественным образом как проекция единичного вектора на соответствующую координатную ось. Получены аналитические выражения для вектора скорости и вектора перемещения, а также рассмотрены их геометрические свойства в координатах \((x,y,z)\) и \((ct,y,z)\).

Следует отметить, что все преобразования в данной работе выполняются в пределах вектора скорости \[ V(t)=c\,e^{i\alpha}\left(\ep+\em e^{i\omega t}\right), \] модуль которого остаётся постоянным и равным скорости света: \[ |V(t)|=c. \] Это означает, что изменение относительной скорости не приводит к изменению полной нормы вектора, а лишь перераспределяет её между поступательной и внутренней вращательной составляющими. В рамках предложенной геометрической модели такая инвариантность может рассматриваться как математическое выражение закона сохранения энергии: движение изменяет структуру распределения компонент вектора, но не его полный модуль.