В основной работе новый декартов базис \(\{\ep, i\ep, \em, i\em\}\) рассматривался как базис коммутативной алгебры, построенной на идемпотентах \(\ep\) и \(\em\). Такая форма особенно удобна для геометрической интерпретации, поскольку сразу выделяет две независимые комплексные плоскости внутреннего фазового пространства.

В данном приложении рассматривается другая, эквивалентная форма той же коммутативной структуры — алгебра \(\mathcal{A}\) с базисом \(\{1,i,j,ij\}\), где \(i^2=-1\), \(j^2=1\) и \(ij=ji\). Она позволяет записывать те же элементы не через идемпотентные компоненты, а через единицу, мнимую единицу, гиперболическую единицу и их произведение. Поэтому задача приложения состоит не в замене некоммутативной алгебры на коммутативную, а в сравнении двух коммутативных представлений и выводе явных переходов между ними.

Первое представление — идемпотентное. Оно использует базис:

Здесь \(\ep\) и \(\em\) — идемпотенты, а \(i\) — обычная мнимая единица. Основные правила умножения имеют вид:

Из этих правил сразу следует, что две компоненты \(\ep\) и \(\em\) не смешиваются между собой. Поэтому произвольный элемент можно записать как сумму двух независимых комплексных частей:

Второе представление — алгебраическое. Оно использует базис:

Умножение в этом базисе задаётся правилами:

Следовательно, это также коммутативная ассоциативная алгебра над \(\mathbb{R}\). Произвольный элемент в ней имеет вид:

Обе записи описывают одну и ту же структуру, поскольку алгебра изоморфна прямой сумме двух копий комплексных чисел:

Именно это свойство является ключевым: алгебра распадается на две независимые комплексные компоненты, а разные базисы лишь по-разному представляют это разложение. Алгебраическое условие \(\ep\em=0\) разделяет каналы; метрическая ортогональность требует дополнительно заданного скалярного произведения.

Связь между двумя формами задаётся через гиперболическую единицу \(j\), для которой \(j^2=1\). Идемпотенты выражаются через неё следующим образом:

Обратно, гиперболическая единица выражается через идемпотенты:

Для произведения \(ij\) получаем:

А для комплексных идемпотентных направлений:

Таким образом, базис \(\{1,i,j,ij\}\) и базис \(\{\ep,i\ep,\em,i\em\}\) линейно выражаются друг через друга.

Один и тот же элемент \(Z\) можно записать в новом декартовом базисе через четыре действительных коэффициента \(\xi_0,\xi_1,\xi_2,\xi_3\). Они обозначают внутренние фазовые координаты, а не лабораторные координаты пространства-времени. Их размерность определяется выбранным объектом \(Z\); все четыре коэффициента имеют одинаковую размерность:

или в алгебраическом базисе:

Подставляя (8) и (11) в представление (12), получаем:

Следовательно, прямой переход от координат \((\xi_0,\xi_1,\xi_2,\xi_3)\) к коэффициентам \((A,B,C,D)\) имеет вид:

Обратный переход:

В матричной форме прямое преобразование записывается так:

Обратное преобразование имеет вид:

Из формул (8)–(11) следует, что элемент \(Z=A+Bi+Cj+D(ij)\) можно представить как пару комплексных чисел:

Первая комплексная компонента соответствует идемпотенту \(\ep\), а вторая — идемпотенту \(\em\):

Если использовать координаты \((\xi_0,\xi_1,\xi_2,\xi_3)\), то это разложение принимает особенно простой вид:

Формула (21) показывает главное достоинство идемпотентного базиса: элемент внутреннего фазового пространства сразу распадается на две комплексные компоненты, представленные в плоскостях \((\xi_0,\xi_1)\) и \((\xi_2,\xi_3)\). При этом базис \(\{1,i,j,ij\}\) показывает ту же структуру через более симметричную алгебраическую запись.

В основной статье оператор \(J(a,b)\) объединяет внутреннюю фазу и внешний параметр движения. Рассмотрим частный случай покоящегося центра: \(b=0\), \(a=\omega t/\pi\), где \(t\) — время системы покоя центра, а \(\omega>0\) — постоянная угловая частота внутренней компоненты относительно этого времени. Введённая в модели величина \(V_J=cJ\) описывает фазово-геометрическую динамику и не является лабораторным вектором скорости:

где \(e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t\). В идемпотентном базисе это даёт:

Переходя к базису \(\{1,i,j,ij\}\), получаем:

Эту же формулу можно записать через половинный угол:

Определим внутреннюю интегральную кривую \(R_J(t)=\int_0^t V_J(t')\,dt'\), так что \(R_J(0)=0\). В формуле (12) теперь полагаем \(Z=R_J(t)\); его коэффициенты \(\xi_k(t)\) имеют размерность длины. Интегрирование даёт:

В координатном представлении внутреннего пространства формула (26) задаёт винтовую кривую: коэффициент \(\xi_0\) растёт линейно, а пара \((\xi_2,\xi_3)\) описывает окружность радиуса \(c/\omega\) с центром \((0,c/\omega)\). Коэффициент \(\xi_0=ct\) здесь является результатом интегрирования постоянной фазовой компоненты; он не отождествляется с лабораторной временной координатой. Кривая \(R_J\) не является мировой линией центра частицы. Размерность длины у её коэффициентов сама по себе не устанавливает физического расстояния. Обе формы алгебры дают одну и ту же внутреннюю кривую; для её физической интерпретации требуется отдельное отображение.

Следует также различать алгебраическую нормировку оператора и скалярную норму состояния. Для \(J=\ep+\em e^{i\omega t}\) выполняется \(J\overline J=1\), где сопряжение меняет знак \(i\) и сохраняет идемпотенты. Если состоянию \(\Psi=\ep u+\em v\) задаётся гильбертова норма \(\|\Psi\|^2=|u|^2+|v|^2\), то умножение на \(J\) сохраняет эту норму. Однако сам \(J\), рассматриваемый как вектор с коэффициентами \((1,e^{i\omega t})\), имеет в данной метрике квадрат нормы \(2\). Поэтому равенство \(J\overline J=1\) не следует подменять утверждением о единичной гильбертовой норме; оно также само по себе не является законом сохранения физической энергии.

Наблюдаемое движение центра определяется внешним отображением, заданным в основной статье:

Здесь \(s\) — ориентированная координата вдоль физической траектории, а \(\widehat{\mathbf t}(s)\) — её единичный касательный вектор. В рассмотренном примере \(b=0\), поэтому \(\mathbf v=0\) и центр покоится, хотя внутренняя фаза и кривая \(R_J\) продолжают изменяться. Преобразования (15)–(18) являются сменой базиса одной алгебры и сами по себе не задают преобразований Лоренца или метрики физического пространства-времени.

1. Наглядная геометрия. Базис \(\{\ep,i\ep,\em,i\em\}\) сразу показывает разложение внутреннего фазового пространства на две комплексные плоскости: \((\xi_0,\xi_1)\) и \((\xi_2,\xi_3)\).

2. Естественная запись внутренней динамики. Величина \(V_J(t)=c(\ep+\em e^{i\omega t})\) имеет компактный вид: первая компонента постоянна, а вторая содержит периодическую внутреннюю фазу. После интегрирования они создают линейную и круговую части внутренней кривой.

3. Диагональное разделение компонент. Поскольку \(\ep\em=0\), две идемпотентные части не смешиваются при умножении. Это делает преобразования в независимых плоскостях особенно прозрачными.

4. Явные внутренние координаты. В этом базисе координаты \(\xi_0,\xi_1,\xi_2,\xi_3\) непосредственно стоят при соответствующих базисных элементах, что делает внутреннее координатное представление наглядным. Наблюдаемые координаты центра определяются отдельным физическим отображением.

1. Единая алгебраическая запись. Базис \(\{1,i,j,ij\}\) использует привычные единицы: действительную \(1\), комплексную \(i\), гиперболическую \(j\) и их произведение \(ij\).

2. Явная связь комплексной и гиперболической структур. В этой форме хорошо видно, что в одной коммутативной алгебре одновременно присутствуют два типа единиц: \(i^2=-1\) и \(j^2=1\).

3. Удобство при общих преобразованиях. Представление через \(A+Bi+Cj+Dij\) удобно для вывода матриц перехода, сравнения с другими алгебрами и анализа симметрий.

4. Сохранение коммутативности. В отличие от кватернионных моделей, порядок множителей здесь не имеет значения: \(ij=ji\). Это упрощает работу с фазовыми множителями и степенными выражениями.

5. Эквивалентность \(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\). Представление \(\{1,i,j,ij\}\) явно показывает, что вся конструкция может рассматриваться как две независимые комплексные компоненты. Сам изоморфизм не задаёт физического взаимодействия между каналами.

В данном приложении показано, что новый декартов базис \(\{\ep,i\ep,\em,i\em\}\) и алгебраический базис \(\{1,i,j,ij\}\) являются двумя эквивалентными коммутативными представлениями одной и той же структуры. Оба базиса приводят к разложению \(\mathcal{A}\cong\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\), но делают акцент на разных сторонах этой алгебры.

Идемпотентное представление удобно для геометрической интерпретации внутреннего состояния, поскольку непосредственно разделяет фазовое пространство на плоскости \((\xi_0,\xi_1)\) и \((\xi_2,\xi_3)\). Представление \(\{1,i,j,ij\}\), в свою очередь, подчёркивает единую алгебраическую природу конструкции, связь комплексной и гиперболической единиц, а также даёт компактные формулы перехода между координатами.

Таким образом, приложение не заменяет одну алгебру другой, а показывает преимущества обеих форм записи. Идемпотентный базис удобен для наглядной геометрии внутреннего состояния, а базис \(\{1,i,j,ij\}\) — для работы с общей алгебраической структурой и переходами между представлениями. Смена базиса сохраняет математический объект, но не заменяет отображения этого объекта в наблюдаемую кинематику. Такое разделение согласует приложение с фазовой трактовкой основной статьи.