2026-08-14
Переход спина электрона и позитрона в поляризацию фотонов
При аннигиляции электрона и позитрона исходное локализованное состояние пары преобразуется в состояние фотонов, причём полный угловой момент системы сохраняется. Ниже рассматривается геометрическая схема перехода от двухплоскостного спинового базиса, заданного состояниями \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\), к коррелированной поляризационной структуре двух фотонов.
Введение
В первой части работы была предложена геометрическая интерпретация спина электрона.
Поскольку электрон и позитрон имеют одинаковый спин 1/2, в настоящей работе предполагается, что двухплоскостная структура спина переносится и на позитрон.
Возможное геометрическое различие частицы и античастицы рассматривается отдельно от спинового базиса.
Её основой являются два внутренних состояния
\[\tag{1}
J_1(a)=J(a,0),
\qquad
J_2(a)=J(0,a),
\]
которым соответствуют две взаимно перпендикулярные плоскости внутреннего движения:
\[\tag{2}
J(a,0)\longleftrightarrow\Pi_1,
\qquad
J(0,a)\longleftrightarrow\Pi_2,
\qquad
\Pi_1\perp\Pi_2.
\]
Эти состояния не являются двумя пространственно разнесёнными орбитами и не отличаются противоположным направлением вращения. Они образуют две компоненты единой внутренней геометрии. Переход между ними приводит к тому, что после поворота на \(2\pi\) внутреннее состояние ещё не возвращается к исходному, а полный цикл завершается после поворота на \(4\pi\).
Наблюдаемые состояния спина вверх и спина вниз возникают не как непосредственные обозначения плоскостей \(\Pi_1\) и \(\Pi_2\), а как две проекции внутреннего двухкомпонентного состояния относительно выбранного направления в физическом трёхмерном пространстве.
В рассматриваемом синглетном канале аннигиляции электрон и позитрон переходят в два фотона. У фотона нет состояний спина вверх и вниз в том же смысле, что у массивной частицы. Его собственный угловой момент проявляется через две спиральности, соответствующие правой и левой круговым поляризациям.
Основная цель настоящей работы состоит в том, чтобы установить, каким образом совместное спиновое состояние электрона и позитрона, построенное на внутренних состояниях \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\), преобразуется в совместное поляризационное состояние двух фотонов.
\[\tag{3}
\boxed{
|\Psi_s\rangle_{e^-e^+}
\;\longrightarrow\;
|\Psi_{\mathrm{pol}}\rangle_{\gamma_1\gamma_2}
}
\]
Для построения перехода необходимо отделить спиновую структуру от заряда, сформировать совместное состояние электрона и позитрона, определить допустимые спиральности двух фотонов и проверить сохранение энергии, импульса и полного углового момента.
Предлагаемая схема не заменяет квантово-электродинамическое описание аннигиляции. Она задаёт геометрический каркас, в котором спин массивной частицы и поляризация фотона рассматриваются как разные наблюдаемые проявления двухкомпонентного внутреннего состояния.
1. Два внутренних состояния частицы
Внутреннее состояние одной частицы зададим двухкомпонентным объектом
\[\tag{4}
|\psi\rangle
=
c_1|J(a,0)\rangle
+c_2|J(0,a)\rangle,
\qquad
|c_1|^2+|c_2|^2=1.
\]
Базисные состояния отвечают двум взаимно перпендикулярным внутренним плоскостям. Коэффициенты \(c_1\), \(c_2\) и их относительная фаза определяют конкретную ориентацию наблюдаемого состояния после отображения внутренней геометрии в физическое пространство.
Последовательность полного внутреннего цикла имеет вид
\[\tag{5}
J(a,0)
\xrightarrow{\;2\pi\;}
J(0,a)
\xrightarrow{\;2\pi\;}
J(a,0).
\]
Поэтому геометрическое состояние обладает спинорной периодичностью:
\[\tag{6}
2\pi:\quad|\psi\rangle\longrightarrow-|\psi\rangle,
\qquad
4\pi:\quad|\psi\rangle\longrightarrow|\psi\rangle.
\]
2. От внутренней геометрии к наблюдаемому спину
Состояния \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\) образуют внутренний базис, но не должны непосредственно называться состояниями спина вверх и вниз. Запишем внутреннее состояние как спинор
\[\tag{7}
|\psi\rangle
=
\begin{pmatrix}
c_1\\c_2
\end{pmatrix}.
\]
Ему сопоставляется единичный пространственный вектор
\[\tag{8}
\mathbf n
=
\langle\psi|\boldsymbol{\sigma}|\psi\rangle,
\qquad
\boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z).
\]
Оператор спина определяется выражением
\[\tag{9}
\widehat{\mathbf S}
=
\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma},
\]
Для произвольно выбранной единичной оси \(\mathbf u\) оператор проекции спина и его собственные значения имеют вид
\[\tag{10}
\widehat S_{\mathbf u}
=
\frac{\hbar}{2}\,\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf u,
\qquad
S_{\mathbf u}=\pm\frac{\hbar}{2}.
\]
Если \(\mathbf u=\mathbf n\), то состояние \(|\psi\rangle\) является собственным состоянием с проекцией \(+\hbar/2\). Знак минус соответствует ортогональному спинору.
Таким образом,
\[\tag{11}
\boxed{
\left\{J(a,0),J(0,a)\right\}
\longrightarrow
|\psi\rangle
\longrightarrow
\mathbf n,
\qquad
\operatorname{spec}(\widehat S_{\mathbf u})
=
\left\{-\frac{\hbar}{2},+\frac{\hbar}{2}\right\}
}.
\]
Взаимно перпендикулярные плоскости являются геометрическим базисом внутреннего состояния, тогда как спин вверх и спин вниз являются наблюдаемыми проекциями этого состояния относительно выбранной оси.
3. Электрон и позитрон
Электрон и позитрон обладают одинаковым спином \(1/2\). Поэтому их внутренние спиновые пространства имеют одинаковую структуру:
\[\tag{12}
\mathcal H_s^{(e^-)}
=
\mathcal H_s^{(e^+)}
=
\operatorname{span}
\left\{|J(a,0)\rangle,|J(0,a)\rangle\right\}.
\]
Различие между электроном и позитроном нельзя связывать с противоположной ориентацией их спиновых плоскостей. Знак заряда задаётся отдельными состояниями
\[\tag{13}
J_{q,-},
\qquad
J_{q,+}.
\]
Полные состояния можно схематически представить как произведения независимых составляющих:
\[\tag{14}
J_{e^-}
=
J_{\mathrm{dyn}}^{(e)}J_{q,-}J_s^{(e^-)},
\qquad
J_{e^+}
=
J_{\mathrm{dyn}}^{(e)}J_{q,+}J_s^{(e^+)}.
\]
Такое разделение не позволяет переносить противоположность зарядов на взаимное расположение внутренних плоскостей.
В настоящей работе одинаковая запись спинового базиса для электрона и позитрона является принятым продолжением модели.
Геометрический механизм зарядового сопряжения пока не установлен.
В частности, здесь не постулируется соответствие \(e^+: J(-a,0),J(0,-a)\), поскольку ещё не показано, что замена \(a\to-a\) изменяет именно электрический заряд,
а не только направление внутреннего движения или фазу.
4. Совместное спиновое состояние пары
Состояние пары принадлежит тензорному произведению двух спиновых пространств:
\[\tag{15}
|\Psi_s\rangle_{e^-e^+}
\in
\mathcal H_s^{(e^-)}\otimes\mathcal H_s^{(e^+)}.
\]
Далее рассматривается начальная \(S\)-волновая синглетная конфигурация с \(S=0\), соответствующая основному состоянию парапозитрония. Именно для неё ведущим является двухфотонный канал:
\[\tag{16}
|S=0,m=0\rangle
=
\frac{1}{\sqrt2}
\left(
|\uparrow\downarrow\rangle
-|\downarrow\uparrow\rangle
\right).
\]
Это единая когерентная суперпозиция, а не статистическая смесь двух вариантов. Полный спин состояния равен нулю:
\[\tag{17}
\left(
\widehat{\mathbf S}_{e^-}
+\widehat{\mathbf S}_{e^+}
\right)
|S=0,m=0\rangle
=0.
\]
Геометрически две двухплоскостные структуры входят в общее состояние без выделенного результирующего направления полного спина.
5. Поляризационное пространство фотона
Свободный фотон имеет две физические поперечные поляризации. В круговом базисе им соответствуют состояния
\[\tag{18}
|+\rangle_\gamma,
\qquad
|-\rangle_\gamma,
\]
со спиральностями \(\lambda=+1\) и \(\lambda=-1\). Проекция собственного углового момента фотона на направление распространения равна
\[\tag{19}
\mathbf S_\gamma\cdot\widehat{\mathbf k}
=
\lambda\hbar.
\]
Поляризационное пространство имеет вид
\[\tag{20}
\mathcal H_{\mathrm{pol}}^{(\gamma)}
=
\operatorname{span}\left\{|+\rangle_\gamma,|-\rangle_\gamma\right\}.
\]
Линейная поляризация является суперпозицией двух состояний спиральности:
\[\tag{21}
|\mathrm{lin}\rangle
=
\frac{1}{\sqrt2}
\left(
|+\rangle+e^{i\varphi}|-\rangle
\right).
\]
6. Соответствие двухкомпонентных пространств
Спиновое пространство массивной частицы и физическое поляризационное пространство фотона оба являются двумерными:
\[\tag{22}
\dim\mathcal H_s^{(e)}=2,
\qquad
\dim\mathcal H_{\mathrm{pol}}^{(\gamma)}=2.
\]
Совпадение размерностей допускает структурное сопоставление
\[\tag{23}
\dim\mathcal H_s^{(e)}
=
\dim\mathcal H_{\mathrm{pol}}^{(\gamma)}
=2.
\]
Однако из равенства размерностей не следует физическое отображение состояния одного электрона в состояние одного фотона: аннигиляционный переход действует на совместное пространство пары.
Однако отдельные базисные состояния нельзя отождествлять без дополнительного вывода:
\[\tag{24}
J(a,0)\not\equiv|+\rangle_\gamma,
\qquad
J(0,a)\not\equiv|-\rangle_\gamma.
\]
Состояния \(J(a,0)\), \(J(0,a)\) являются внутренним геометрическим базисом, а круговые поляризации — физическим базисом распространяющегося фотона. Искомый оператор должен отображать совместное спиновое пространство пары в совместное поляризационное пространство фотонов и учитывать направления их излучения.
7. Три независимых баланса аннигиляции
Переход электрон–позитрон в фотоны следует разделить на зарядовый, энергетико-импульсный и спин-поляризационный балансы.
\[\tag{25}
Q_{e^-}+Q_{e^+}=-e+e=0.
\]
\[\tag{26}
P_{e^-}^{\mu}+P_{e^+}^{\mu}
=
K_{\gamma_1}^{\mu}+K_{\gamma_2}^{\mu}.
\]
\[\tag{27}
|\Psi_s\rangle_{e^-e^+}
\longrightarrow
|\Psi_{\mathrm{pol}}\rangle_{\gamma_1\gamma_2}.
\]
Полная схема имеет вид
\[\tag{28}
\boxed{
\begin{aligned}
J_{q,-}\otimes J_{q,+}&\longrightarrow J_{q,0},\\[1mm]
P_{e^-}^{\mu}+P_{e^+}^{\mu}
&\longrightarrow K_{\gamma_1}^{\mu}+K_{\gamma_2}^{\mu},\\[1mm]
|\Psi_s\rangle_{e^-e^+}
&\longrightarrow|\Psi_{\mathrm{pol}}\rangle_{\gamma_1\gamma_2}.
\end{aligned}
}
\]
Здесь \(J_{q,0}\) обозначает нейтральное итоговое зарядовое состояние. Эта запись выражает закон \(-e+e=0\), но не вводит не определённое ранее алгебраическое равенство \(J_{q,-}J_{q,+}=1\). Компенсация зарядов не означает взаимного уничтожения или поворота плоскостей \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\).
8. Энергия и импульс двух фотонов
В системе центра масс медленной пары
\[\tag{29}
\mathbf p_{e^-}+\mathbf p_{e^+}=0.
\]
Один фотон с ненулевой энергией не может сохранить нулевой импульс, поскольку \(E_\gamma=c|\mathbf p_\gamma|\). Для двух фотонов условие выполняется при
\[\tag{30}
\mathbf p_{\gamma_1}=-\mathbf p_{\gamma_2}.
\]
Если кинетической энергией частиц можно пренебречь,
\[\tag{31}
E_{\mathrm{in}}=2m_ec^2,
\qquad
E_{\gamma_1}=E_{\gamma_2}=m_ec^2=511\ \text{кэВ}.
\]
Следовательно,
\[\tag{32}
\boxed{
\omega_\gamma
=
\frac{m_ec^2}{\hbar}
=
\omega_C
},
\qquad
\lambda_\gamma=\frac{h}{m_ec}.
\]
Энергетическую комптоновскую частоту \(\omega_C\) не следует автоматически отождествлять с частотой полного геометрического цикла между \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\), если такое равенство не было отдельно выведено.
9. Преобразование синглетного состояния
Синглетное состояние должно перейти в двухфотонное состояние с нулевым полным угловым моментом:
\[\tag{33}
|S=0,m=0\rangle_{e^-e^+}
\longrightarrow
|\Psi_0\rangle_{\gamma_1\gamma_2}.
\]
Пусть фотоны распространяются в противоположных направлениях:
\[\tag{34}
\widehat{\mathbf k}_2=-\widehat{\mathbf k}_1.
\]
Проекция суммарного углового момента на ось разлёта равна нулю, если спиральности, определённые относительно собственных направлений движения фотонов, одинаковы:
\[\tag{35}
\lambda_1=\lambda_2=\lambda,
\]
\[\tag{36}
\mathbf S_{\gamma_1}+\mathbf S_{\gamma_2}
=
\lambda\hbar
\left(
\widehat{\mathbf k}_1+\widehat{\mathbf k}_2
\right)
=0.
\]
Для полного состояния с \(J=0\), с учётом вращательной симметрии и дискретных симметрий синглетного канала, остаются две компоненты:
\[\tag{37}
|\Psi_0\rangle_{\gamma_1\gamma_2}
=
A|+,+\rangle+B|-,-\rangle.
\]
При отсутствии выделенной ориентации модули амплитуд равны:
\[\tag{38}
|A|=|B|=\frac{1}{\sqrt2}.
\]
Тогда
\[\tag{39}
|\Psi_0\rangle_{\gamma_1\gamma_2}
=
\frac{1}{\sqrt2}
\left(
|+,+\rangle
+e^{i\delta}|-,-\rangle
\right).
\]
Относительная фаза \(\delta\) не определяется одним только законом сохранения углового момента. В стандартном квантово-электродинамическом описании она фиксируется симметриями и амплитудой аннигиляции; её конкретный знак зависит также от фазовых соглашений для поперечных базисов двух противоположно направленных фотонов. Геометрической модели ещё предстоит воспроизвести этот результат собственным оператором перехода.
10. Геометрический смысл перехода
Во внутренней модели электрона состояния \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\) задают две взаимно перпендикулярные плоскости. Их суперпозиция формирует наблюдаемое спиновое направление после отображения в трёхмерное пространство. У фотона поле поперечно направлению распространения, а две независимые компоненты могут быть представлены двумя линейными либо двумя круговыми поляризациями.
Это позволяет предложить геометрический принцип
\[\tag{40}
\boxed{
\text{двухплоскостное внутреннее состояние фермиона}
\longrightarrow
\text{двухкомпонентное поперечное состояние фотона}
}.
\]
В локализованном состоянии двухкомпонентность проявляется через спинорную периодичность \(4\pi\) и проекции \(\pm\hbar/2\). В распространяющемся фотонном состоянии она проявляется через две поляризации и спиральности \(\pm\hbar\).
При этом нельзя утверждать, что одна плоскость электрона буквально превращается в первый фотон, а другая — во второй. Преобразуется совместное состояние всей пары:
\[\tag{41}
\boxed{
\left(
\mathcal H_s^{(e^-)}
\otimes
\mathcal H_s^{(e^+)}
\right)_{S=0}
\longrightarrow
\left(
\mathcal H_{\mathrm{pol}}^{(\gamma_1)}
\otimes
\mathcal H_{\mathrm{pol}}^{(\gamma_2)}
\right)_{J=0}
}.
\]
11. Поляризационная корреляция
Состояние (39) не представляется произведением независимых однофотонных состояний:
\[\tag{42}
|\Psi_0\rangle_{\gamma_1\gamma_2}
\ne
|\gamma_1\rangle\otimes|\gamma_2\rangle.
\]
В геометрической интерпретации такая связь возникает потому, что оба фотона формируются не из двух независимо заданных спинов, а из одного совместного синглетного состояния пары электрон–позитрон.
Структурное соответствие можно записать как
\[\tag{43}
\boxed{
\frac{|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2}
\longrightarrow
\frac{|+,+\rangle+e^{i\delta}|-,-\rangle}{\sqrt2}
}.
\]
Формула (43) не означает непосредственного превращения каждой стрелки в определённую спиральность. Для вычисления вероятностей измерения требуется оператор перехода между входным и выходным базисами.
12. Проверяемая линейная поляризация
Состояния спиральности в формуле (39) описывают ту же физическую поперечную поляризацию, которая может быть представлена в линейном базисе. Для перехода к показаниям анализаторов необходимо определить относительную фазу \(\delta\) и согласовать поперечные оси двух локальных базисов. В одном из стандартных согласований базисов квантово-электродинамический результат для синглетного двухфотонного канала записывается как
\[\tag{44}
\boxed{
|\Psi_{\mathrm{lin}}\rangle
=
\frac{1}{\sqrt2}
\left(
|H\rangle_1|V\rangle_2
-
|V\rangle_1|H\rangle_2
\right)
},
\]
где \(H\) и \(V\) обозначают две взаимно перпендикулярные линейные поляризации. При другом согласовании осей или фаз базисных векторов знак между компонентами может измениться; физические вероятности при согласованном преобразовании анализаторов остаются теми же. Формула (44) означает не наличие заранее выбранных поляризаций у отдельных фотонов, а корреляцию результатов их совместного измерения.
Пусть оси двух линейных анализаторов образуют с общей опорной осью углы \(\alpha\) и \(\beta\). Состояние прохождения одного анализатора имеет вид
\[\tag{45}
|\alpha\rangle
=
|H\rangle\cos\alpha
+
|V\rangle\sin\alpha,
\qquad
|\beta\rangle
=
|H\rangle\cos\beta
+
|V\rangle\sin\beta.
\]
Амплитуда совместного прохождения двух анализаторов равна
\[\tag{46}
\langle\alpha|_1
\langle\beta|_2
\Psi_{\mathrm{lin}}\rangle
=
\frac{1}{\sqrt2}
\sin(\beta-\alpha).
\]
Следовательно, вероятность совместного прохождения составляет
\[\tag{47}
\boxed{
P_{++}(\alpha,\beta)
=
\frac12
\sin^2(\alpha-\beta)
}.
\]
Для параллельных анализаторов получаем
\[\tag{48}
P_{++}(\alpha,\alpha)=0,
\]
а для взаимно перпендикулярных —
\[\tag{49}
P_{++}
\left(
\alpha,
\alpha+\frac{\pi}{2}
\right)
=
\frac12.
\]
Множитель \(1/2\) в формуле (49) связан с вероятностью прохождения первого анализатора. Если первый фотон уже зарегистрирован за анализатором, условная вероятность прохождения второго фотона через перпендикулярно установленный анализатор равна единице:
\[\tag{50}
P
\left(
2:\alpha+\frac{\pi}{2}
\,\middle|\,
1:\alpha
\right)
=1.
\]
Таким образом, формула (47) задаёт идеализированную проверяемую зависимость для линейных проекционных анализаторов. Она пока является целевым результатом, который геометрическая модель должна вывести, а не уже полученным независимым предсказанием модели. Фотоны аннигиляции имеют энергию \(511\ \text{кэВ}\), поэтому обычные оптические поляризационные светофильтры для них неприменимы. Их поляризационную корреляцию исследуют по совместной азимутальной зависимости двух комптоновских рассеяний. Комптоновская установка не является идеальным фильтром прохождения, поэтому непосредственно измеряемое распределение требует свёртки состояния с поляризационно-зависимым сечением рассеяния.
Формулы (44)–(50) являются проверяемым результатом, который должна воспроизвести геометрическая модель. При этом сама двухплоскостная структура \(J(a,0)\), \(J(0,a)\) ещё не выводит относительную фазу автоматически. Для завершения модели необходимо получить состояние (44) действием оператора аннигиляционного перехода.
13. Оператор перехода
Введём оператор аннигиляционного преобразования \(\widehat{\mathcal A}\):
\[\tag{51}
\widehat{\mathcal A}:
\mathcal H_s^{(e^-)}\otimes\mathcal H_s^{(e^+)}
\longrightarrow
\mathcal H_{\mathrm{pol}}^{(\gamma_1)}
\otimes
\mathcal H_{\mathrm{pol}}^{(\gamma_2)}.
\]
Для синглетного состояния требуется
\[\tag{52}
\widehat{\mathcal A}|S=0,m=0\rangle
=
|\Psi_0\rangle_{\gamma_1\gamma_2}.
\]
Оператор перехода должен согласовывать собственные значения сохраняющихся полных величин во входном и выходном пространствах:
\[\tag{53}
\widehat Q_{\mathrm{out}}\widehat{\mathcal A}
=
\widehat{\mathcal A}\widehat Q_{\mathrm{in}},
\qquad
\widehat P^{\mu}_{\mathrm{out}}\widehat{\mathcal A}
=
\widehat{\mathcal A}\widehat P^{\mu}_{\mathrm{in}},
\qquad
\widehat{\mathbf J}_{\mathrm{out}}\widehat{\mathcal A}
=
\widehat{\mathcal A}\widehat{\mathbf J}_{\mathrm{in}}.
\]
Кроме того, он должен учитывать дискретные симметрии исходного состояния и определять относительную фазу \(\delta\). Построение явного вида \(\widehat{\mathcal A}\) является следующим математическим этапом модели.
14. Двухфотонный и трёхфотонный каналы
Рассмотренная схема относится к синглетной конфигурации:
\[\tag{54}
(e^-e^+)_{S=0}\longrightarrow2\gamma.
\]
Для триплетной конфигурации с \(S=1\) основным является трёхфотонный канал:
\[\tag{55}
(e^-e^+)_{S=1}\longrightarrow3\gamma.
\]
Различие каналов определяется не расположением плоскостей \(J(a,0)\), \(J(0,a)\), а симметрией совместного состояния пары. Для трёх фотонов поляризация, энергия, импульс и угловой момент распределяются между тремя состояниями, поэтому двухфотонное отображение (41) к этому каналу непосредственно неприменимо.
15. Обратный процесс
Обратный переход имеет вид
\[\tag{56}
\gamma_1+\gamma_2\longrightarrow e^-+e^+.
\]
В операторной форме он означает преобразование совместного поляризационного состояния в совместное спиновое состояние двух частиц с противоположными зарядами:
\[\tag{57}
|\Psi_{\mathrm{pol}}\rangle_{\gamma_1\gamma_2}
\longrightarrow
|\Psi_s\rangle_{e^-e^+},
\qquad
J_{q,0}\longrightarrow J_{q,-}\otimes J_{q,+}.
\]
Для рождения пары инвариантная энергия системы должна удовлетворять условию
\[\tag{58}
s=(K_1+K_2)^2\ge4m_e^2c^2,
\qquad
E_{\mathrm{cm}}\ge2m_ec^2.
\]
Для двух фотонов с энергиями \(E_1\), \(E_2\) и углом \(\theta\) между направлениями распространения это эквивалентно условию
\[
2E_1E_2(1-\cos\theta)
\ge
4m_e^2c^4.
\]
Одиночный фотон в свободном пространстве не может породить пару с одновременным сохранением энергии и импульса. Необходим второй фотон либо внешнее тело, принимающее часть импульса.
16. Проверка законов сохранения
| Величина | До аннигиляции | После аннигиляции |
|---|---|---|
| Энергия | \(2m_ec^2\) | \(2\hbar\omega_C\) |
| Заряд | \(-e+e=0\) | \(0+0=0\) |
| Импульс в системе центра масс | \(0\) | \(\mathbf p-\mathbf p=0\) |
| Полный момент синглета | \(0\) | \(0\) |
| Внутренний базис | \(J(a,0),J(0,a)\) | две поляризации |
| Совместное состояние | спиновая корреляция | поляризационная корреляция |
Сводная схема имеет вид
\[\tag{59}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{противоположные заряды}
&\longrightarrow\text{нейтральное состояние},\\[1mm]
\text{энергия покоя пары}
&\longrightarrow\text{энергия двух фотонов},\\[1mm]
\text{синглетная спиновая корреляция}
&\longrightarrow\text{корреляция поляризаций}.
\end{aligned}
}
\]
17. Результаты и границы модели
Построенная схема приводит к следующим результатам.
1. Состояния \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\) соответствуют взаимно перпендикулярным плоскостям и образуют геометрический базис спина каждой частицы.
2. В настоящем расширении модели для электрона и позитрона принимается одинаковый двухплоскостный спиновый базис. Их различие представлено отдельными зарядовыми состояниями; геометрический механизм зарядового сопряжения ещё требует вывода.
3. При аннигиляции преобразуется совместное спиновое состояние пары, а не спин каждой частицы независимо.
4. Синглетное состояние переходит в коррелированное двухфотонное состояние с одинаковыми спиральностями относительно противоположных направлений распространения.
5. Предлагается гипотеза, согласно которой двухкомпонентность локализованного фермионного состояния геометрически связана с двухкомпонентностью поляризационного пространства фотона.
Дальнейшего вывода требуют: явный оператор \(\widehat{\mathcal A}\); связь плоскостей \(J(a,0)\), \(J(0,a)\) с поперечным базисом фотона при произвольном направлении излучения; относительная фаза поляризационных компонент; вывод закона поляризационных корреляций из геометрического оператора; динамика аннигиляции и геометрия трёхфотонного канала.
Необходимо отдельно построить оператор зарядового сопряжения \(\mathcal C\) и установить его действие на геометрические состояния. Возможны по меньшей мере две схемы:
\[
\mathcal C:
\begin{cases}
J_{q,-}\,J(a,0)\longrightarrow J_{q,+}\,J(a,0),\\
J_{q,-}\,J(0,a)\longrightarrow J_{q,+}\,J(0,a),
\end{cases}
\]
либо, если будет доказана связь знака параметра \(a\) со знаком заряда,
\[
\mathcal C:
\begin{cases}
J(a,0)\longrightarrow J(-a,0),\\
J(0,a)\longrightarrow J(0,-a).
\end{cases}
\]
В настоящей работе используется первая схема с отдельным зарядовым состоянием. Выбор между этими вариантами должен следовать из геометрического вывода заряда и магнитного момента, а не вводиться только из требования противоположности электрона и позитрона.
Заключение
В работе предложена геометрическая схема перехода от спинового состояния электрон-позитронной пары к поляризациям двух фотонов. Основой спинового состояния являются две взаимно перпендикулярные внутренние плоскости, представленные состояниями \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\). Они образуют двухкомпонентный базис; соответствующий оператор проекции спина имеет собственные значения \(\pm\hbar/2\).
В настоящем расширении модели для электрона и позитрона принят один и тот же спиновый геометрический базис. Противоположность частиц представлена отдельными зарядовыми состояниями и не отождествляется с расположением внутренних плоскостей. Поэтому при аннигиляции компенсация заряда и преобразование спинового состояния описываются раздельно. Геометрическое происхождение зарядового сопряжения пока остаётся открытым вопросом.
\[\tag{60}
\boxed{
\begin{aligned}
J_{q,-}\otimes J_{q,+}&\longrightarrow J_{q,0},\\[1mm]
2m_ec^2&\longrightarrow
\hbar\omega_{\gamma_1}+\hbar\omega_{\gamma_2},\\[1mm]
|S=0\rangle_{e^-e^+}&\longrightarrow
|\Psi_0\rangle_{\gamma_1\gamma_2}.
\end{aligned}
}
\]
Центральное соответствие модели принимает вид
\[\tag{61}
\boxed{
\left\{J(a,0),J(0,a)\right\}
\longrightarrow
\text{спиновое пространство}
\longrightarrow
\text{совместное состояние пары}
\longrightarrow
\text{поляризация фотонов}
}.
\]
Таким образом, в предлагаемой гипотезе спиновая двухкомпонентность массивной частицы и поляризационная двухкомпонентность фотона рассматриваются как структурно связанные формы геометрии. В локализованном состоянии эта структура выражается через спинорную периодичность и проекции спина, а в распространяющемся состоянии — через две спиральности и корреляцию поляризаций двух фотонов. Явный геометрический оператор, доказывающий это соответствие, остаётся предметом дальнейшего вывода.