В 1922 году был поставлен опыт [1], определивший наличие спина у электрона. Для нашей теории это означает, что в её модель необходимо ввести ещё два элемента, отличающиеся от двух первых (1.2, 1.3) противоположно направленным мнимым вектором. Если параметрический график электрона и протон с начальным спином (теперь мы будем называть его положительным или плюсовым) — это спираль, закручивающаяся по часовой стрелке (рис. 1-2), то электрон и протон с отрицательным спином — это спираль, закручивающаяся против часовой стрелки. Модели этих частиц, следовательно, будут такие: \[ \overline{A^e(x)} = {\overline{N^e} \over x} \exp[\,\mathbf{i} (-\pi x / \overline{N^e} + \pi / 4)] \tag{2.1}\] \[ \overline{A^p(x)} = {\overline{N^p} \over x} \exp[\,\mathbf{i} (-\pi x / \overline{N^p} - 3\pi / 4)] \tag{2.2}\] Верхняя черта над параметром будет означать, что сам параметр принадлежит группе частиц с отрицательным спином. С полученной моделью можно проделать всё те же манипуляции, что и с предыдущей, с положительным спином, и получить те же результаты. Например, при взаимодействии электрона и протона с отрицательным спином мы также обнаружим, что оптимальные энергетические орбиты находятся в волновых узлах, а их номера соответствуют положительным целым числам, как в (1.10).

Закон взаимодействий ВЭЛ, в общем виде, выглядит так: \[p = {h R \over x^2} \bigg[ \Phi_1^e + \overline{\Phi_1^e} + \Phi_1^p + \overline{\Phi_1^p} \bigg] \bigg[ \Phi_2^e + \overline{\Phi_2^e} + \Phi_2^p + \overline{\Phi_2^p} \bigg] \tag{2.3}\] Здесь: \(\Phi_i^a\) — волновая функция частиц, где \(a\) — указывает принадлежность функции к классу частиц (электроны, протоны), а \(i\) — номер группы взаимодействия. Если над волновой функцией нарисована черта, то это означает, что спин у этой группы частиц отрицательный.

Одним из частных случаев приведенного выше общего закона взаимодействия, является закон Кулона [2]. Мы просто убираем из общего выражения те слагаемые, которые не участвуют во взаимодействии и получаем решение для конкретного варианта. Также, мы предполагаем, что в процессе участвуют электроны и протоны с разными спинами, причём их среднестатистическое значение одинаково: \[ N^e = \overline{N^e}, \quad N^p = \overline{N^p} \]

Напомним, что на данный момент мы используем модели только двух видов частиц: электрон и протон, поэтому закон тяготения, в такой форме, применим только для атомов протия. По мере расширения видового разнообразия частиц, будет дополняться и этот закон. Форма этого закона полностью совпадает с (2.1), так как для него используются все члены этого выражения (рис. 5b): \[p = {h R \over x^2} \bigg[ \Phi_1^e + \overline{\Phi_1^e} + \Phi_1^p + \overline{\Phi_1^p} \bigg] \bigg[ \Phi_2^e + \overline{\Phi_2^e} + \Phi_2^p + \overline{\Phi_2^p} \bigg] \tag{2.7}\]

Отнесём в первую группу частиц электрон, а во вторую — протон из атома протия (или любого водородоподобного атома). Тогда их взаимодействие будет описываться так: \[p = {h R \over x^2} \Phi_1^e \Phi_2^p \tag{2.9}\] В этой формуле \(\beta\) не учитывается из-за своей малости. Когда все электроны занимают оптимальные энергетические состояние и соответствующие им орбиты, то расстояние \(x\) между группами будет принимать только целочисленные значения, что следует из формулы (1.10) предыдущей части. Обозначим эти числа так: \[ n = x, \quad n = 1,2,3,4,... \tag{2.10}\] Также, мы понимаем, что число электронов в атоме будет равно числу протонов: \[ Z = N^e = N^p \tag{2.11}\] Тогда формула взаимодействия станет такой: \[p = \mathbf{i}{h R Z^2 \over n^2} \tag{2.12}\] Мнимая единица перед правой частью выражения показывает, что импульс и энергия частиц находятся в оптимальном состоянии. Всё правильно. Но что будет, если электрон, находясь в возбуждённом состоянии на орбите с \(n=2\), перейдёт на меньшую орбиту, с \(n=1\)? Атом излучит квант планковской энергии, равный \(h \nu\), где \(\nu\) — это частота этого излучения. Выведем то же самое, но через импульс и длину излучаемой волны \(\lambda\): \[ {h \over \lambda} = p_1 - p_2= \mathbf{i} h R Z^2 \left( {1 \over n_1^2} - {1 \over n_2^2} \right) \tag{2.13}\] где \(n_1\) и \(n_2\) — будут номера конечной и исходной орбит. Мы уже знаем, что находясь между оптимальными орбитами, электрон излучает энергию, что и происходит в нашем случае. Следовательно, реактивная энергия переходит в такую же по амплитуде активную, а значит, мнимую единицу в последнем выражении можно убрать. Отсюда мы получаем формулу Ридберга [3]: \[ {1 \over \lambda} = R Z^2 \left( {1 \over n_1^2} - {1 \over n_2^2} \right) \tag{2.14}\] Эта формула хорошо описывает реальные спектры водородоподобных атомов [4].

Энергию электрона на орбите можно определить из формулы взаимодействия электрона и протона (2.12), просто домножив её на скорость света \(c\) \[ E_n^e = p c = \mathbf{i}{h R Z^2 c \over n^2} \tag{2.15}\] что по модулю полностью соответствует боровской энергии электрона [5]. Знак мнимой единицы перед выражением говорит о том, что эта энергия — реактивна. Это преимущество нашей модели сразу же придаёт физический смысл этой энергии. В стандартной модели её делают отрицательной, чем запутывают студентов университетов окончательно :)