2026-08-14
Спин электрона как следствие двойного орбитального цикла в геометрической модели
Спин электрона обычно вводится как внутреннее квантовое свойство, не сводимое к обычному вращению частицы. Однако характерные признаки спина одна вторая — две возможные проекции, половинный угол и восстановление состояния только после поворота на два полных оборота — допускают наглядную геометрическую интерпретацию. В предлагаемой модели исходная орбита электрона расщепляется на две почти одинаковые орбиты в одной плоскости, которые электрон проходит последовательно. Один оборот переводит движение на вторую орбиту, а полный внутренний цикл завершается только после второго оборота.
1. Постановка задачи
Для частицы со спином одна вторая измерение проекции спина на произвольную ось даёт только два результата:
\[\tag{1}
S_{\mathbf n}=+\frac{\hbar}{2},
\qquad
S_{\mathbf n}=-\frac{\hbar}{2}.
\]
Если направление измерения повёрнуто относительно исходного направления спина на угол \(\theta\), вероятности двух результатов имеют вид
\[\tag{2}
P_{\uparrow}(\theta)
=
\cos^2\frac{\theta}{2},
\qquad
P_{\downarrow}(\theta)
=
\sin^2\frac{\theta}{2}.
\]
Ещё одно характерное свойство состоит в том, что после пространственного поворота на \(2\pi\) состояние меняет знак, а полностью восстанавливается только после поворота на \(4\pi\):
\[\tag{3}
\Psi(2\pi)=-\Psi(0),
\qquad
\Psi(4\pi)=\Psi(0).
\]
Цель настоящей работы — показать, как эти свойства могут возникнуть из двухорбитальной геометрии движения \(J\), не принимая половинный угол в качестве исходной формулы.
2. Исходное движение J
Движение в модели задаётся выражением
\[\tag{4}
J(t)
=
\jmath^{\,a}(-\jmath)^{\,b},
\qquad
V(t)=cJ(t),
\]
где фазовый параметр \(a\) связан со временем и угловой частотой:
\[\tag{5}
a=\varpi t,
\qquad
\varpi\pi=\omega.
\]
В общем случае второй параметр может быть записан через относительную скорость:
\[\tag{6}
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac{v}{c}.
\]
Для описания двух противоположных режимов внутреннего движения выделим два предельных состояния:
\[\tag{7}
J_{\uparrow}(a)
\equiv
J(a,0)
=
\jmath^{\,a},
\]
\[\tag{8}
J_{\downarrow}(a)
\equiv
J(0,a)
=
(-\jmath)^{\,a}.
\]
Важно: \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\) не обозначают две расщеплённые орбиты по отдельности. Каждое из этих выражений описывает один из двух возможных режимов движения по всей двухорбитальной траектории. Состоянию \(J(a,0)\) сопоставляется спин вверх, а состоянию \(J(0,a)\) — спин вниз.
3. Расщепление орбиты
Пусть исходная орбита \(C\) расщепляется на два близких контура \(C_1\) и \(C_2\):
\[\tag{10}
C
\longrightarrow
\{C_1,C_2\}.
\]
Обе орбиты находятся в одной геометрической плоскости и имеют близкие радиусы. Их можно представить как
\[\tag{11}
r_1
=
r-\frac{\Delta r}{2},
\qquad
r_2
=
r+\frac{\Delta r}{2},
\qquad
\Delta r\ll r.
\]
Расщепление не создаёт две независимые частицы и не разделяет движение на две одновременно проходимые траектории. Электрон сначала совершает оборот по первому контуру, затем переходит на второй контур и совершает следующий оборот:
\[\tag{12}
C_1
\longrightarrow
C_2
\longrightarrow
C_1.
\]
Точки перехода должны быть частью непрерывной геометрической траектории. Конкретная форма переходов зависит от более подробной модели расщепления, но для рассматриваемого вывода существенно только то, что после первого оборота номер орбиты меняется, а после второго восстанавливается.
4. Двухоборотный внутренний цикл
Начальное состояние полной траектории обозначим парой \((C_1,0)\), где первый элемент указывает орбиту, а второй — угловое положение. После одного оборота пространственный угол снова равен нулю по модулю \(2\pi\), но электрон находится уже на второй орбите:
\[\tag{13}
(C_1,0)
\xrightarrow{\ 2\pi\ }
(C_2,0).
\]
Следовательно, один оборот ещё не возвращает полную геометрическую конфигурацию к исходному состоянию. Второй оборот возвращает электрон с \(C_2\) на \(C_1\):
\[\tag{14}
(C_2,0)
\xrightarrow{\ 2\pi\ }
(C_1,0).
\]
Полный маршрут имеет вид
\[\tag{15}
(C_1,0)
\xrightarrow{\ 2\pi\ }
(C_2,0)
\xrightarrow{\ 2\pi\ }
(C_1,0).
\]
Поэтому угловая протяжённость полного внутреннего цикла равна
\[\tag{16}
\boxed{
\Theta_J=4\pi
}.
\]
Каждому обычному угловому положению \(\theta\) соответствуют две внутренние точки:
\[\tag{17}
(\theta,C_1),
\qquad
(\theta,C_2).
\]
Таким образом, расщеплённая орбита образует двулистное покрытие обычного углового цикла. Пространственное положение повторяется через \(2\pi\), но полное внутреннее состояние повторяется только через \(4\pi\).
5. Геометрическое происхождение половинного угла
Фаза любого замкнутого циклического состояния изменяется на \(2\pi\) за полный цикл. В рассматриваемой геометрии полный цикл имеет угловую длину \(4\pi\). Поэтому внутреннюю фазу \(\chi\) следует нормировать относительно полного двухорбитального маршрута:
\[\tag{18}
\chi
=
2\pi\frac{\theta}{\Theta_J}.
\]
Подставляя \(\Theta_J=4\pi\), получаем
\[\tag{19}
\boxed{
\chi=\frac{\theta}{2}
}.
\]
Таким образом, половинный угол не вводится в модель извне. Он появляется вследствие того, что одному полному внутреннему циклу соответствуют два последовательных пространственных оборота:
\[\tag{20}
\theta:0\longrightarrow4\pi
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
\chi:0\longrightarrow2\pi.
\]
Главный геометрический результат состоит в отношении \(2\pi/4\pi=1/2\). Внутренняя фаза двухорбитального состояния изменяется вдвое медленнее накопленного пространственного угла.
6. Два режима и проекции спина
Два противоположных режима движения по одной и той же двухорбитальной траектории описываются выражениями \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\). С учётом половинной фазы их преобразование при повороте можно записать как
\[\tag{21}
\Psi_{\uparrow}(\theta)
=
e^{-i\theta/2}J(a,0),
\]
\[\tag{22}
\Psi_{\downarrow}(\theta)
=
e^{+i\theta/2}J(0,a).
\]
Генератор вращения относительно угла \(\theta\) имеет вид
\[\tag{23}
\widehat S_{\mathbf n}
=
i\hbar\frac{\partial}{\partial\theta}.
\]
Для режима \(J(a,0)\) получаем
\[\tag{24}
\widehat S_{\mathbf n}\Psi_{\uparrow}
=
+\frac{\hbar}{2}\Psi_{\uparrow},
\]
а для режима \(J(0,a)\)
\[\tag{25}
\widehat S_{\mathbf n}\Psi_{\downarrow}
=
-\frac{\hbar}{2}\Psi_{\downarrow}.
\]
Следовательно, два режима двухорбитального движения соответствуют двум наблюдаемым проекциям:
\[\tag{26}
\boxed{
\begin{aligned}
J(a,0)
&\longleftrightarrow
S_{\mathbf n}=+\frac{\hbar}{2},\\\\[1mm]
J(0,a)
&\longleftrightarrow
S_{\mathbf n}=-\frac{\hbar}{2}.
\end{aligned}
}
\]
Коэффициент одна вторая появляется потому, что производная внутренней фазы по пространственному углу равна
\[\tag{27}
\frac{\partial\chi}{\partial\theta}
=
\frac12.
\]
7. Повороты на два пи и четыре пи
После одного пространственного оборота
\[\tag{28}
\theta=2\pi,
\qquad
\chi=\pi.
\]
Для обоих режимов фазовый множитель становится равным минус единице:
\[\tag{29}
e^{\pm i\pi}=-1.
\]
Поэтому
\[\tag{30}
\boxed{
\Psi_J(2\pi)=-\Psi_J(0)
}.
\]
Геометрически это означает переход с первой расщеплённой орбиты на вторую. Пространственная угловая координата повторилась, но полный двухорбитальный маршрут ещё не завершён.
После второго оборота
\[\tag{31}
\theta=4\pi,
\qquad
\chi=2\pi,
\]
и фазовый множитель возвращается к единице:
\[\tag{32}
e^{\pm i2\pi}=1.
\]
Следовательно,
\[\tag{33}
\boxed{
\Psi_J(4\pi)=\Psi_J(0)
}.
\]
Общий знак состояния не влияет на вероятность отдельного результата, но может проявляться при интерференции с состоянием, которое не прошло соответствующий поворот.
8. Изменение оси измерения
До сих пор рассматривалось накопление фазы при вращении. Теперь выберем новую ось измерения, образующую угол \(\theta\) с исходной осью. Два режима движения обозначим как
\[\tag{34}
|\uparrow\rangle_J
\equiv
J(a,0),
\qquad
|\downarrow\rangle_J
\equiv
J(0,a).
\]
Состояние, направленное вверх относительно исходной оси, в базисе новой оси раскладывается как
\[\tag{35}
\boxed{
|\Psi(\theta)\rangle_J
=
\cos\frac{\theta}{2}|\uparrow\rangle_J
+
\sin\frac{\theta}{2}|\downarrow\rangle_J
}.
\]
Для произвольного азимутального угла \(\varphi\) появляется относительная фаза:
\[\tag{36}
|\Psi(\theta,\varphi)\rangle_J
=
\cos\frac{\theta}{2}|\uparrow\rangle_J
+
e^{i\varphi}
\sin\frac{\theta}{2}|\downarrow\rangle_J.
\]
Копланарность физических орбит \(C_1\) и \(C_2\) не означает совпадения режимов \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\). Для вероятностного описания эти два альтернативных режима должны образовывать независимые нормированные состояния:
\[\tag{37}
{}_J\langle\uparrow|\uparrow\rangle_J=1,
\qquad
{}_J\langle\downarrow|\downarrow\rangle_J=1,
\qquad
{}_J\langle\uparrow|\downarrow\rangle_J=0.
\]
Тогда полная норма сохраняется:
\[\tag{38}
\|\Psi\|^2
=
\cos^2\frac{\theta}{2}
+
\sin^2\frac{\theta}{2}
=1.
\]
Если вероятность регистрации режима равна доле квадратичной нормы, приходящейся на этот режим, то
\[\tag{39}
\boxed{
P_{\uparrow}(\theta)
=
\cos^2\frac{\theta}{2},
\qquad
P_{\downarrow}(\theta)
=
\sin^2\frac{\theta}{2}
}.
\]
Средняя проекция спина равна
\[\tag{40}
\begin{aligned}
\langle S_{\mathbf n}\rangle
&=
+\frac{\hbar}{2}P_{\uparrow}
-
\frac{\hbar}{2}P_{\downarrow}\\\\[1mm]
&=
\frac{\hbar}{2}\cos\theta.
\end{aligned}
\]
9. Опыт Штерна — Герлаха
Опыт Штерна — Герлаха является прямой демонстрацией дискретности проекции магнитного момента. В историческом эксперименте использовался пучок нейтральных атомов серебра, а не свободных электронов. В основном состоянии атома серебра внешний электрон имеет нулевой орбитальный момент, поэтому наблюдаемое расщепление связывается прежде всего с его спином. Использование нейтральных атомов также позволяет избежать сильного отклонения всего пучка обычной силой Лоренца.
9.1. Неоднородное магнитное поле
Потенциальная энергия магнитного момента в поле равна
\[\tag{41}
U
=
-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf B.
\]
Если поле преимущественно направлено вдоль оси \(z\) и изменяется по этой координате, сила равна
\[\tag{42}
F_z
=
-\frac{\partial U}{\partial z}
\simeq
\mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z}.
\]
В однородном поле противоположные моменты получают разные энергии, но постоянной разделяющей силы не возникает. Для пространственного расщепления пучка необходим именно градиент \(\partial B_z/\partial z\neq0\).
9.2. Связь спина и магнитного момента
Для электрона магнитный момент противоположен спину из-за отрицательного заряда:
\[\tag{43}
\boldsymbol{\mu}_e
=
-g\frac{e}{2m_e}\mathbf S.
\]
Через магнетон Бора
\[\tag{44}
\mu_B
=
\frac{e\hbar}{2m_e}
\]
получаем для двух проекций
\[\tag{45}
\begin{aligned}
J(a,0):
\quad
S_z&=+\frac{\hbar}{2},
&
\mu_z&=-\frac{g}{2}\mu_B,\\\\[1mm]
J(0,a):
\quad
S_z&=-\frac{\hbar}{2},
&
\mu_z&=+\frac{g}{2}\mu_B.
\end{aligned}
\]
При \(g\approx2\) магнитные проекции приблизительно равны \(\mp\mu_B\). Поэтому необходимо различать знак спина и направление отклонения: состояние со спином вверх для электрона имеет магнитный момент, направленный вниз.
Двухорбитальная геометрия в данной работе выводит половинную фазу и проекции спина. Связь магнитного момента со спином и величина \(g\)-фактора пока используются как физическое соответствие со стандартной электродинамикой. Их независимый геометрический вывод является отдельной задачей.
9.3. Два режима в магнитном анализаторе
Пусть магнит анализатора ориентирован вдоль оси \(z\). В двухорбитальной модели возможны два режима:
\[\tag{46}
J(a,0)
\longleftrightarrow
S_z=+\frac{\hbar}{2},
\qquad
J(0,a)
\longleftrightarrow
S_z=-\frac{\hbar}{2}.
\]
Соответствующие силы имеют противоположные знаки:
\[\tag{47}
\begin{aligned}
F_z[J(a,0)]
&=
-\frac{g}{2}\mu_B
\frac{\partial B_z}{\partial z},\\\\[1mm]
F_z[J(0,a)]
&=
+\frac{g}{2}\mu_B
\frac{\partial B_z}{\partial z}.
\end{aligned}
\]
Поэтому первая часть пучка отклоняется в одну сторону, а вторая — в противоположную. На экране возникает не непрерывная полоса, а два раздельных пятна.
В рамках предлагаемой геометрии отсутствие промежуточных пятен объясняется тем, что магнит взаимодействует не с произвольной классической ориентацией одной орбиты, а с одним из двух допустимых режимов полного двухорбитального цикла:
\[\tag{48}
J(a,0)
\quad\text{или}\quad
J(0,a).
\]
Расстояние между пятнами определяется градиентом поля, временем движения внутри магнита, скоростью пучка и последующим свободным пролётом. Если атом находится в поле в течение времени \(\tau\), приобретённый поперечный импульс приближённо равен
\[\tag{49}
\Delta p_z
\simeq
F_z\tau.
\]
Соответствующее изменение поперечной скорости атома массы \(M\):
\[\tag{50}
\Delta v_z
\simeq
\frac{F_z\tau}{M}.
\]
После свободного пролёта продолжительностью \(T\) дополнительное смещение составляет
\[\tag{51}
\Delta z
\simeq
\frac{F_z\tau T}{M}.
\]
Для двух противоположных проекций силы имеют разные знаки, поэтому расстояние между центрами пятен приблизительно равно удвоенному модулю этого смещения.
9.4. Неподготовленный пучок
Если входящий пучок не поляризован, в нём отсутствует предпочтительное направление спина. Относительно оси магнита две проекции встречаются с одинаковой вероятностью:
\[\tag{52}
P_{\uparrow}=P_{\downarrow}=\frac12.
\]
Поэтому интенсивности двух пятен в идеальном случае одинаковы. Магнит не создаёт третьего состояния и не раскладывает одну классическую орбиту по непрерывному набору направлений. Он пространственно разделяет два допустимых режима \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\) относительно выбранной оси.
9.5. Пучок, подготовленный в состоянии вверх
Предположим, что первым магнитом выбран только канал
\[\tag{53}
J(a,0)
\longleftrightarrow
S_z=+\frac{\hbar}{2}.
\]
Если второй анализатор ориентирован вдоль той же оси, двухорбитальный режим не изменяется:
\[\tag{54}
P_{\uparrow\rightarrow\uparrow}(0)=1,
\qquad
P_{\uparrow\rightarrow\downarrow}(0)=0.
\]
Весь прошедший пучок снова попадает в тот же канал. Это означает, что первый анализатор не просто разделил пучок пространственно, а подготовил определённый режим двухорбитального движения относительно своей оси.
9.6. Поворот второго анализатора
Пусть ось второго анализатора повёрнута на угол \(\theta\) относительно оси первого. Состояние \(J(a,0)\), подготовленное первым магнитом, относительно новой оси представляется как
\[\tag{55}
|J(a,0)\rangle_z
=
\cos\frac{\theta}{2}|J(a,0)\rangle_{\mathbf n}
+
e^{i\varphi}
\sin\frac{\theta}{2}|J(0,a)\rangle_{\mathbf n}.
\]
Второй магнит связывает эти две амплитуды с двумя пространственно расходящимися траекториями. Поэтому вероятности результатов равны
\[\tag{56}
\boxed{
\begin{aligned}
P_{\uparrow\rightarrow\uparrow}(\theta)
&=
\cos^2\frac{\theta}{2},\\\\[1mm]
P_{\uparrow\rightarrow\downarrow}(\theta)
&=
\sin^2\frac{\theta}{2}.
\end{aligned}
}
\]
Для перпендикулярных анализаторов \(\theta=\pi/2\):
\[\tag{57}
P_{\uparrow\rightarrow\uparrow}
=
P_{\uparrow\rightarrow\downarrow}
=
\frac12.
\]
Для противоположно ориентированных осей \(\theta=\pi\):
\[\tag{58}
P_{\uparrow\rightarrow\uparrow}=0,
\qquad
P_{\uparrow\rightarrow\downarrow}=1.
\]
Так двухорбитальная модель связывает наблюдаемую угловую зависимость опыта с тем, что внутренний фазовый угол равен половине пространственного угла.
9.7. Почему измеряется один результат
Перед входом в магнит состояние относительно его оси может содержать оба режима:
\[\tag{59}
|\Psi\rangle_J
=
A_{\uparrow}|J(a,0)\rangle
+
A_{\downarrow}|J(0,a)\rangle.
\]
Неоднородное поле связывает каждый режим со своей пространственной траекторией:
\[\tag{60}
|\Psi\rangle_J\Phi_0
\longrightarrow
A_{\uparrow}|J(a,0)\rangle\Phi_{-}
+
A_{\downarrow}|J(0,a)\rangle\Phi_{+},
\]
где \(\Phi_{-}\) и \(\Phi_{+}\) обозначают волновые пакеты, отклонённые в противоположные стороны. Знаки пространственного отклонения противоположны знакам спина электрона, поскольку его магнитный момент антипараллелен спину.
На экране каждый атом регистрируется в одной локальной точке, относящейся к одному из двух пакетов. После накопления большого числа событий относительные интенсивности пятен стремятся к
\[\tag{61}
I_{\uparrow}:I_{\downarrow}
=
|A_{\uparrow}|^2:|A_{\downarrow}|^2.
\]
Двухорбитальная модель задаёт два геометрических режима и их половинный угловой закон. Однако превращение суперпозиции в единичный результат требует отдельного описания взаимодействия частицы, магнита и экрана. В настоящей работе используется соответствие между квадратичной нормой режима и статистической частотой его регистрации.
9.8. Три последовательных анализатора
Особенно наглядна последовательность из трёх анализаторов. Первый анализатор вдоль \(z\) выбирает состояние \(J(a,0)\) относительно оси \(z\). Второй анализатор вдоль \(x\) разделяет его на два равновероятных режима:
\[\tag{62}
P_{z\uparrow\rightarrow x\uparrow}
=
P_{z\uparrow\rightarrow x\downarrow}
=
\frac12.
\]
Если затем выбрать только канал \(x\uparrow\) и направить его в третий анализатор вдоль \(z\), снова получатся два результата:
\[\tag{63}
P_{x\uparrow\rightarrow z\uparrow}
=
P_{x\uparrow\rightarrow z\downarrow}
=
\frac12.
\]
Это означает, что режим «вверх» или «вниз» определяется относительно оси текущего анализатора. Подготовка режима относительно оси \(x\) уничтожает определённость прежней проекции относительно \(z\). В геометрии модели меняется способ представления полного двухорбитального движения относительно выбранного направления измерения.
10. Сопоставление со стандартным спинором
После геометрического вывода состояние можно записать в стандартной двухкомпонентной форме:
\[\tag{64}
\chi_{\mathbf n}
=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta/2)\\\\[1mm]
e^{i\varphi}\sin(\theta/2)
\end{pmatrix}.
\]
В этой записи первая компонента соответствует режиму \(J(a,0)\), а вторая — режиму \(J(0,a)\):
\[\tag{65}
\begin{pmatrix}
1\\\\0
\end{pmatrix}
\longleftrightarrow
J(a,0),
\qquad
\begin{pmatrix}
0\\\\1
\end{pmatrix}
\longleftrightarrow
J(0,a).
\]
Стандартный спинор здесь используется не как исходная причина появления половинного угла, а как компактная математическая запись структуры, предварительно полученной из полного цикла двух копланарных орбит.
11. Что получено и что остаётся исследовать
В рамках принятых геометрических положений получена следующая последовательность:
\[
\begin{aligned}
C
&\longrightarrow
\{C_1,C_2\},\\\\
C_1\longrightarrow C_2\longrightarrow C_1
&\longrightarrow
\Theta_J=4\pi,\\\\
\Theta_J=4\pi
&\longrightarrow
\chi=\frac{\theta}{2},\\\\
J(a,0)
&\longrightarrow
S_{\mathbf n}=+\frac{\hbar}{2},\\\\
J(0,a)
&\longrightarrow
S_{\mathbf n}=-\frac{\hbar}{2},\\\\
\chi=\frac{\theta}{2}
&\longrightarrow
\Psi(2\pi)=-\Psi(0),\\\\
\chi=\frac{\theta}{2}
&\longrightarrow
\Psi(4\pi)=\Psi(0).
\end{aligned}
\]
В настоящей работе расщепление орбиты принимается как исходный постулат модели.
Дальнейшего исследования требуют количественное определение величины \(\Delta r\), геометрия переходов между расщеплёнными контурами,
построение положительно определённой нормы и обоснование ортогональности режимов \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\),
построение общего закона отображения состояний модели на произвольно ориентированные оси трёхмерного пространства,
описание динамики единичного измерения.
Заключение
В предлагаемой модели спин одна вторая рассматривается как проявление последовательного движения электрона по двум почти одинаковым копланарным орбитам. После первого оборота пространственное положение повторяется, но движение переходит на второй контур. Полная геометрическая конфигурация восстанавливается только после второго оборота, поэтому полный цикл имеет протяжённость \(4\pi\), а внутренняя фаза равна \(\theta/2\).
Два противоположных режима полного двухорбитального движения описываются величинами \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\). Первый режим соответствует проекции спина \(+\hbar/2\), второй — проекции \(-\hbar/2\). Половинная фаза приводит к изменению знака состояния после \(2\pi\), восстановлению после \(4\pi\) и угловым вероятностям \(\cos^2(\theta/2)\) и \(\sin^2(\theta/2)\).
В опыте Штерна — Герлаха неоднородное магнитное поле связывает эти два режима с противоположными магнитными силами и пространственно разделяет их. В результате вместо непрерывного распределения возникает два пучка. При повороте анализатора отношение их интенсивностей определяется половинным внутренним углом двухорбитального состояния.
Центральный результат модели: один полный внутренний цикл электрона включает два последовательных оборота по двум расщеплённым орбитам. Поэтому геометрический цикл \(4\pi\) проявляется в наблюдаемом мире как спин одна вторая.
На основе этой работы построена следующая по уровню логики модель перехода спина электрона и позитрона в поляризацию фотонов, которую можно посмотреть в следующей части.