2026-08-05
Геометрическое происхождение электрического и магнитного полей
Почему один и тот же заряд в состоянии покоя создаёт электрическое поле, а при движении рядом с ним обнаруживается ещё и магнитное? На первый взгляд речь идёт о двух разных физических сущностях. Однако в предлагаемой модели между ними нет разрыва: оба поля получаются из одной внешней ветви оператора \(J\). Пока центр волны покоится, эта ветвь целиком проявляется как электрическое поле. Как только центр волны начинает двигаться, внутри той же ветви автоматически возникает вторая, перпендикулярная проекция. Именно её мы называем магнитным полем.
Задача этой части статьи — показать сам принцип рождения электрической и магнитной составляющих из оператора \(J\) и из геометрии его отображения в трёхмерное пространство. Здесь мы ещё не стремимся построить полную электродинамику во всех возможных режимах. Нам важно установить исходную связь: энергетический градиент задаёт масштаб поля, оператор \(J\) определяет соотношение его проекций, а пространственная геометрия сообщает этим проекциям направления.
В предыдущей работе кулоновское взаимодействие было получено как градиент энергии между двумя зарядами, появляющийся благодаря расщеплению волновых орбит. Однако сила характеризует уже состоявшееся взаимодействие источника с другой частицей. Поле должно описывать сам источник ещё до того, как рядом появился пробный заряд. Поэтому первый шаг прост: необходимо отделить свойство источника от величины пробного заряда. Сначала мы сделаем это для покоящегося элементарного заряда, затем перейдём к произвольному заряду и, наконец, позволим центру его волны двигаться.
Основная идея состоит в том, что одномерное пространство модели уже задаёт отдельное направление распространения воздействия. После отображения в трёхмерное пространство это направление становится одной силовой линией. Пока центр волны неподвижен, параметр внешнего движения равен \(b=0\), и внешняя ветвь оператора имеет только электрическую проекцию. Когда центр начинает перемещаться по внешней координате \(\mathfrak e\), параметр \(b\) становится больше нуля. Тогда оператор \(J\) сам задаёт величину новой проекции, а переход в 3D сообщает ей направление.
Таким образом, магнитное поле здесь не вводится отдельным постулатом. Мы постараемся получить его как геометрическое следствие движения уже существующего центра волны. Именно этот переход от \(b=0\) к \(b>0\) является главным содержанием статьи.
При этом в данной части рассматривается не свободная электромагнитная волна, уходящая от источника, а локализованный волновой режим частицы — замкнутая стоячая волна в некоторой ограниченной области пространства. Её энергия не переносится на бесконечность, а остаётся внутри системы и перераспределяется между двумя взаимно перпендикулярными проекциями единого состояния. Именно для такого режима далее вводится сохранение полного масштаба внешней ветви.
Таким образом, последовательность построения имеет вид
\[\tag{1}
\boxed{
\text{градиент энергии}
\;\longrightarrow\;
E_0(R)
\;\longrightarrow\;
\mathbf E_0(\mathbf R)
\;\longrightarrow\;
J(a,b)
\;\longrightarrow\;
\mathbf E(\mathbf R,b),\;\mathbf B(\mathbf R,b)
}
\]
1. Электрическое поле из градиента энергии
Рассмотрим сначала два элементарных заряда, находящихся на расстоянии \(R\).
Ранее для них была получена энергия взаимодействия
\[\tag{2}
U(R)=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{R}.
\]
Знак энергии определяется взаимной ориентацией зарядов, но для построения масштаба поля сначала будем рассматривать модуль. Сила равна отрицательному градиенту потенциальной энергии:
\[\tag{3}
F(R)=-\frac{dU}{dR},
\qquad
|F(R)|=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{R^2}.
\]
Электрическое поле источника определяется как сила, приходящаяся на единицу пробного заряда. Для пробного заряда с модулем \(e\) получаем
\[\tag{4}
E_0(R)=\frac{|F(R)|}{e}
=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{eR^2}.
\]
Индекс \(0\) здесь означает поле покоящегося источника, то есть состояние \(b=0\). Используя определение постоянной тонкой структуры,
\[\tag{5}
\alpha_{\mathrm{fs}}
=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c},
\]
формулу (4) можно привести к стандартному виду:
\[\tag{6}
\boxed{
E_0(R)
=\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{eR^2}
=\frac{e}{4\pi\varepsilon_0R^2}
}.
\]
Следовательно, уже найденный энергетический градиент содержит напряжённость электрического поля. Переход от силы к полю не требует введения новой физической величины: достаточно разделить градиент энергии на пробный заряд.
Смысл этой операции можно выразить совсем просто. Сила зависит сразу от двух участников взаимодействия — источника и пробного заряда. После деления на пробный заряд остаётся характеристика только источника в выбранной точке пространства. Эту характеристику мы и называем электрическим полем.
2. Одномерное направление как силовая линия
Согласно первому постулату модели, движение точки всегда происходит в одном пространственном измерении и во времени. Поэтому в исходном одномерном пространстве поле может быть направлено только вдоль координаты \(R\). Найденная функция \(E_0(R)\) описывает величину поля именно вдоль такого отдельного направления:
\[
E_0(R) = \frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{eR^2}.
\]
При переходе к нашей трёхмерной реальности одномерная координата не исчезает. Она отображается в произвольно ориентированное радиальное направление, задаваемое единичным вектором
\[\tag{7}
\widehat{\mathbf R}=\frac{\mathbf R}{R},
\qquad
|\widehat{\mathbf R}|=1.
\]
Поэтому переход к трёхмерной записи выполняется простым добавлением направления:
\[\tag{8}
\boxed{
\mathbf E_0(\mathbf R)
=E_0(R)\,\widehat{\mathbf R}
}.
\]
Каждому выбору \(\widehat{\mathbf R}\) соответствует одна одномерная силовая линия. Совокупность всех равноправных радиальных направлений образует сферически симметричное поле точечного заряда. Таким образом, силовая линия в трёхмерном описании является образом исходного одномерного пространства модели, а поле — совокупностью всех таких образов.
Важно, что формула величины поля при таком переходе не меняется. Закон \(1/R^2\) уже получен в одномерном расчёте. Трёхмерное отображение лишь сообщает, куда направлено поле в каждой точке. Поэтому множитель \(\widehat{\mathbf R}\) отвечает за направление, но не создаёт дополнительной энергии и не изменяет модуль \(E_0(R)\).
3. Поле произвольного заряда
Пусть источник имеет заряд \(q\), который можно представить как алгебраическую сумму элементарных зарядов:
\[\tag{9}
q=Ne,
\qquad
N\in\mathbb R.
\]
Коэффициент \(N=q/e\) содержит как величину, так и знак заряда. Поэтому поле произвольного точечного источника равно
\[\tag{10}
\mathbf E_0(\mathbf R)
=\frac{q}{e}
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{eR^2}
\widehat{\mathbf R}.
\]
С учётом формулы (5) окончательно получаем
\[\tag{11}
\boxed{
\mathbf E_0(\mathbf R)
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0R^2}
\widehat{\mathbf R}
}.
\]
Если \(q>0\), вектор поля направлен от источника. Если \(q<0\), знак формулы меняет направление вектора на противоположное, и поле направлено к источнику. Таким образом, знак заряда определяет ориентацию силовой линии, тогда как геометрическая зависимость \(1/R^2\) остаётся неизменной.
Иными словами, переход от \(e\) к \(q\) не меняет сам механизм возникновения поля. Он только умножает число одинаковых элементарных вкладов и задаёт их общую ориентацию знаком заряда.
4. Электрическое поле и оператор J при b=0
Полное состояние частицы в сплит-геометрии описывается оператором
\[\tag{12}
\boxed{
J(a,b)
=\jmath^a(-\jmath)^b
=\mathfrak e e^{i\pi b}
+\bar{\mathfrak e}e^{i\pi a}
},
\]
где идемпотенты удовлетворяют соотношениям
\[\tag{13}
\mathfrak e^2=\mathfrak e,
\qquad
\bar{\mathfrak e}^{\,2}=\bar{\mathfrak e},
\qquad
\mathfrak e\bar{\mathfrak e}=0,
\qquad
\mathfrak e+\bar{\mathfrak e}=1.
\]
Параметр \(a\) описывает внутреннее состояние частицы, а параметр \(b\) — её внешнее движение:
\[\tag{14}
a=\varpi t,
\qquad
\pi\varpi=\omega,
\qquad
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac{v}{c}.
\]
Для покоящегося заряда \(v=0\), поэтому \(b=0\). Оператор принимает вид
\[\tag{15}
J(a,0)
=\mathfrak e
+\bar{\mathfrak e}e^{i\omega t}.
\]
В этой записи компонента \(\mathfrak e\) соответствует внешней пространственной проекции, а \(\bar{\mathfrak e}e^{i\omega t}\) — внутреннему периодическому состоянию частицы. Сопоставим оператору размерное поле покоящегося заряда:
\[\tag{16}
\mathcal E_0(R,t)
=E_0(R)
\left(
\mathfrak e
+\bar{\mathfrak e}e^{i\omega t}
\right).
\]
Наблюдаемая внешняя часть этого оператора равна \(E_0(R)\mathfrak e\). При \(b=0\) она целиком направлена вдоль электрической силовой линии, и перпендикулярная составляющая отсутствует.
Здесь полезно представить внутреннюю волну как периодический процесс с собственным центром. Множитель \(\bar{\mathfrak e}e^{i\omega t}\) описывает внутреннее вращение волны, а ветвь \(\mathfrak e\) задаёт положение её центра во внешнем одномерном пространстве. При \(b=0\) этот центр не переносится вдоль внешней координаты. Поэтому внешняя часть не имеет движения, способного породить второе, поперечное направление поля.
5. Расщепление внешней проекции при b>0
Теперь сообщим заряду внешнюю скорость \(v>0\). Это означает, что центр внутренней волны больше не остаётся в одной точке, а начинает перемещаться вдоль внешней координаты \(\mathfrak e\). Согласно определению модели, такое поступательное движение описывается параметром \(b>0\). Поэтому изменение \(b\) — не дополнительное свойство поля, а запись самого движения центра волны.
В операторе \(J\) это движение изменяет только внешнюю ветвь. Внутренняя частота \(\omega\) по-прежнему находится в ветви \(\bar{\mathfrak e}\), тогда как перенос центра записывается множителем \(e^{i\pi b}\) при \(\mathfrak e\):
\[\tag{17}
J(a,b)
=\mathfrak e e^{i\pi b}
+\bar{\mathfrak e}e^{i\omega t}.
\]
Разложим движущуюся внешнюю ветвь на две обычные проекции:
\[\tag{18}
\mathfrak e e^{i\pi b}
=\mathfrak e\cos(\pi b)
+i\mathfrak e\sin(\pi b).
\]
Здесь и происходит главное. Пока центр волны неподвижен, \(b=0\), поэтому \(\sin(\pi b)=0\): у внешней ветви остаётся только исходная электрическая проекция. Но как только центр волны начинает двигаться по координате \(\mathfrak e\), становится \(b>0\), и синусная часть уже не равна нулю. Во внешней ветви автоматически появляется второе слагаемое \(i\mathfrak e\sin(\pi b)\). Его не нужно вводить отдельным постулатом или добавлять к \(J\) извне — оно изначально содержится в операторе движущейся частицы.
Из определения параметра \(b\) следует
\[\tag{19}
\sin(\pi b)=\beta,
\qquad
\cos(\pi b)
=\sqrt{1-\beta^2}
=\frac{1}{\gamma},
\qquad
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
\]
Следовательно, внешняя ветвь представляется как сумма двух ортогональных проекций:
\[\tag{20}
\boxed{
\mathfrak e e^{i\pi b}
=\frac{\mathfrak e}{\gamma}
+i\mathfrak e\beta
}.
\]
При \(b=0\) первая проекция равна единице, а вторая равна нулю. По мере роста скорости первая проекция уменьшается как \(1/\gamma\), а перпендикулярная проекция возрастает как \(\beta\). При этом модуль внешней ветви остаётся неизменным.
Иными словами, оператор \(J\) сам даёт величины обеих внешних проекций. Косинусная часть \(\cos(\pi b)=1/\gamma\) показывает, какая доля исходного поля остаётся электрической. Синусная часть \(\sin(\pi b)=\beta=v/c\) показывает величину новой поперечной проекции. Пока мы остаёмся в одномерном пространстве модели, это ещё не вектор магнитного поля, а только уже полученный из \(J\) модуль его будущей пространственной составляющей.
Это можно понимать как поворот одной величины без изменения её длины. Электрическая доля равна косинусу угла \(\pi b\), магнитная доля — синусу того же угла. Поэтому движение не прибавляет к полю новую независимую величину, а перераспределяет исходную внешнюю проекцию.
Для дальнейшего вывода нам особенно важна не вся комплексная запись, а именно синусная часть внешней ветви. Обозначим её через \(\operatorname{Im}J_{\mathrm{ext}}\). Тогда оператор непосредственно даёт
\[\tag{21}
\operatorname{Im}J_{\mathrm{ext}}
=\mathfrak e\sin(\pi b)
=\mathfrak e\beta.
\]
При \(b=0\) эта компонента исчезает. При \(b>0\) она возникает автоматически и имеет относительную величину \(\beta=v/c\). Следовательно, оператор \(J\) уже сообщает, какая доля исходного электрического поля должна перейти в новую пространственную проекцию. Однако сам одномерный оператор ещё не может указать её направление в трёхмерном пространстве. Для этого необходимо учесть геометрию движения источника и геометрию электрической силовой линии.
6. Геометрическое направление магнитного поля
Результат (21) даёт величину новой проекции: \(\beta=\sin(\pi b)\). Теперь найдём её направление. После перехода от одной силовой линии модели к 3D движущийся источник задаёт два независимых пространственных вектора:
\[
\boldsymbol{\beta}=\frac{\mathbf v}{c},
\qquad
\mathbf E_0(\mathbf R)=E_0(R)\,\widehat{\mathbf R}.
\]
Первый вектор задаёт направление движения центра волны, второй — направление уже существующей электрической силовой линии. Вместе они образуют ориентированную плоскость. Единственное направление, перпендикулярное обоим векторам, задаётся нормалью к этой плоскости:
\[
\boldsymbol{\beta}\times\widehat{\mathbf R}.
\]
Полученное направление перпендикулярно и скорости, и электрической силовой линии. Оно меняет знак при \(\mathbf v\to-\mathbf v\), исчезает при \(b=0\), поскольку тогда \(\beta=0\), и обращается в нуль при \(\mathbf v\parallel\mathbf R\). Все эти свойства следуют из одного векторного произведения.
Это направление обладает всеми необходимыми свойствами магнитного поля движущегося заряда: оно перпендикулярно движению источника и электрической силовой линии; меняет знак при \(\mathbf v\to-\mathbf v\); исчезает при \(b=0\), поскольку тогда \(\boldsymbol{\beta}=0\); и обращается в нуль вдоль движения, когда \(\mathbf v\parallel\mathbf R\).
Теперь две части вывода соединяются без дополнительного постулата. Оператор \(J\) задаёт величину поперечной проекции \(\sin(\pi b)=\beta\), а переход в 3D задаёт её направление \(\boldsymbol{\beta}\times\widehat{\mathbf R}\). Поэтому магнитное поле является поперечным пространственным отображением уже существующего электрического поля:
Теперь можно соединить величину и направление. Исходный масштаб поля равен \(E_0(R)\); оператор выделяет из него поперечную долю \(\beta\), а векторное произведение задаёт её ориентацию. С учётом множителя \(1/c\), необходимого для размерности магнитной индукции, получаем
\[\tag{22}
\boxed{
\mathbf B(\mathbf R,b)
=\frac{1}{c}
\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_0(\mathbf R)
=\frac{1}{c^2}
\mathbf v\times\mathbf E_0(\mathbf R)
}.
\]
Итак, магнитное поле является поперечным отображением уже существующего поля покоя \(\mathbf E_0=E_0\widehat{\mathbf R}\): \(\mathbf B=\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_0/c=\mathbf v\times\mathbf E_0/c^2\). Множитель \(1/c\) обеспечивает правильную размерность магнитной индукции. Модуль поля равен
\[\tag{23}
B(R,b,\theta)
=\frac{E_0(R)}{c}
\beta\sin\theta,
\]
где \(\theta\) — угол между \(\mathbf v\) и \(\mathbf R\). Для поперечной силовой линии, когда \(\theta=\pi/2\), получаем
\[\tag{24}
\boxed{
cB(R,b)=E_0(R)\sin(\pi b)=E_0(R)\beta
}.
\]
Для произвольного заряда \(q\) подстановка поля (11) приводит к выражению
\[\tag{25}
\mathbf B(\mathbf R)
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0c^2}
\frac{\mathbf v\times\widehat{\mathbf R}}{R^2}.
\]
Поскольку \(\mu_0\varepsilon_0c^2=1\), оно принимает знакомый вид поля равномерно и медленно движущегося точечного заряда:
\[\tag{26}
\boxed{
\mathbf B(\mathbf R)
=\frac{\mu_0q}{4\pi}
\frac{\mathbf v\times\widehat{\mathbf R}}{R^2}
}.
\]
Формула (26) показывает, что геометрическое отображение синусной проекции оператора воспроизводит нерелятивистскую форму магнитного поля движущегося заряда. В дальнейшем именно интегрирование этого элементарного результата по распределению движущихся зарядов должно приводить к полю электрического тока.
7. Электрическая составляющая движущегося заряда
Косинусная часть внешней ветви сохраняет направление \(\widehat{\mathbf R}\). В рассматриваемом отображении модели электрическая составляющая движущегося заряда поэтому равна
\[\tag{27}
\boxed{
\mathbf E(\mathbf R,b)
=E_0(R)\cos(\pi b)\widehat{\mathbf R}
=\frac{E_0(R)}{\gamma}\widehat{\mathbf R}
}.
\]
Полный оператор электрической части с учётом неизменной внутренней ветви можно записать как
\[\tag{28}
\boxed{
\mathcal E(R,t;b)
=E_0(R)
\left[
\frac{\mathfrak e}{\gamma}
+\bar{\mathfrak e}e^{i\omega t}
\right]
}.
\]
Магнитной проекции соответствует оператор
\[\tag{29}
\boxed{
c\mathcal B(R;b)
=iE_0(R)\mathfrak e\beta
}.
\]
Формулы (28) и (29) выражают главный смысл предлагаемой конструкции. При движении не возникает новая независимая энергетическая сущность. Часть исходной внешней проекции переходит из электрической составляющей в перпендикулярную магнитную составляющую.
Здесь важно не смешивать два обозначения. \(E_0(R)\) — полный исходный масштаб поля покоящегося заряда. Величина \(E(R,b)=E_0(R)/\gamma\) — его электрическая проекция после начала движения. Поэтому магнитное поле непосредственно выражается через \(E_0\). Если же выразить его через уже уменьшенное поле \(E\), появляется дополнительный множитель \(\gamma\).
На малой скорости это особенно наглядно. Тогда \(1/\gamma\approx1\), поэтому электрическая часть почти не отличается от поля покоящегося заряда, а магнитная часть уже появляется в первом порядке по скорости: \(cB\approx E_0\beta\). Именно поэтому в повседневных нерелятивистских условиях электрическое поле может оставаться почти неизменным, хотя слабое магнитное поле уже существует.
Следует подчеркнуть границу этого результата. Формула (27) является следствием принятого отображения сплит-оператора и относится к рассматриваемой поперечной геометрии модели. Она не тождественна стандартному релятивистскому преобразованию поля точечного заряда, в котором пространственное распределение электрического поля зависит от системы отсчёта и угла наблюдения. Здесь строится собственный закон проекций модели, который далее должен отдельно проверяться на согласованность с полной электродинамикой.
8. Сохранение внешней проекции в локализованном режиме
Теперь уточним физический смысл рассматриваемой конструкции. Формулы ниже относятся к локализованному замкнутому режиму стоячей волны. В нём электрическая и магнитная составляющие не являются двумя независимо возникшими полями: они представляют собой квадратурные проекции одного состояния, между которыми может перераспределяться неизменный полный масштаб. Поэтому сохранение следует проверять не для каждой проекции отдельно, а для их совместного модуля.
Чтобы вычислить энергетическую величину комплексных проекций, необходимо умножать каждую из них на комплексно-сопряжённую. Буквальное возведение магнитного оператора в квадрат дало бы знак минус из-за \(i^2=-1\) и поэтому не соответствовало бы квадрату его модуля.
Для электрического оператора из формулы (28) получаем
\[\tag{30}
\begin{aligned}
\mathcal E\mathcal E^*
&=E_0^2(R)
\left(
\frac{\mathfrak e}{\gamma}
+\bar{\mathfrak e}e^{i\omega t}
\right)
\left(
\frac{\mathfrak e}{\gamma}
+\bar{\mathfrak e}e^{-i\omega t}
\right)
\
&=E_0^2(R)
\left(
\frac{\mathfrak e}{\gamma^2}
+\bar{\mathfrak e}
\right).
\end{aligned}
\]
Для магнитной составляющей имеем
\[\tag{31}
\begin{aligned}
c^2\mathcal B\mathcal B^*
&=E_0^2(R)
\left(i\mathfrak e\beta\right)
\left(-i\mathfrak e\beta\right)
\
&=E_0^2(R)\mathfrak e\beta^2.
\end{aligned}
\]
Сумма двух вкладов равна
\[\tag{32}
\mathcal E\mathcal E^*
+c^2\mathcal B\mathcal B^*
=E_0^2(R)
\left[
\mathfrak e
\left(
\frac{1}{\gamma^2}+\beta^2
\right)
+\bar{\mathfrak e}
\right].
\]
Но из определения фактора Лоренца следует тождество
\[\tag{33}
\frac{1}{\gamma^2}+\beta^2
=1-\beta^2+\beta^2
=1.
\]
Учитывая \(\mathfrak e+\bar{\mathfrak e}=1\), получаем закон сохранения полного операторного поля:
\[\tag{34}
\boxed{
\mathcal E\mathcal E^*
+c^2\mathcal B\mathcal B^*
=E_0^2(R)
}.
\]
Во внешнем подпространстве тот же результат имеет особенно простой вид:
\[\tag{35}
\boxed{
E^2(R,b)+c^2B^2(R,b)=E_0^2(R)
}.
\]
Это равенство следует понимать как внутренний энергетический инвариант предлагаемой модели: оно выражает сохранение модуля внешней ветви при её повороте на угол \(\pi b\). Оно не является стандартным лоренц-инвариантом электромагнитного тензора, который содержит разность \(E^2-c^2B^2\). Здесь сумма квадратов возникает потому, что электрическая и магнитная составляющие рассматриваются как ортогональные проекции одного нормированного состояния.
Необходимо также отличать это операторное равенство от поточечного описания произвольной стоячей электромагнитной волны. В обычном резонаторе электрическая и магнитная составляющие сдвинуты не только во времени, но и в пространстве, поэтому их локальная сумма квадратов вообще не обязана быть постоянной в каждой точке. Постоянной является полная энергия замкнутого объёма. В нашей сокращённой записи \(E\) и \(cB\) играют роль эффективных амплитуд двух проекций локализованного режима, а формула (35) выражает сохранение его общего операторного масштаба.
9. Единая геометрическая запись
Для поперечной геометрии обе внешние проекции можно собрать в одной комплексной формуле:
\[\tag{36}
\boxed{
E_0(R)e^{i\pi b}
=E(R,b)+i\,cB(R,b)
}.
\]
Её действительная часть задаёт электрическое поле, а мнимая — магнитное:
\[\tag{37}
\boxed{
\begin{aligned}
E(R,b)
&=E_0(R)\cos(\pi b)
=\frac{E_0(R)}{\gamma},
\\
cB(R,b)
&=E_0(R)\sin(\pi b)
=E_0(R)\beta.
\end{aligned}
}
\]
Умножение формулы (36) на комплексно-сопряжённую сразу возвращает исходный масштаб поля:
\[\tag{38}
\boxed{
\left|E+i\,cB\right|^2
=E^2+c^2B^2
=E_0^2
}.
\]
Таким образом, электрическая и магнитная составляющие связаны между собой так же, как косинусная и синусная проекции единого поворота. Параметр \(b\) не изменяет общий модуль поля, а только перераспределяет его между двумя взаимно перпендикулярными направлениями.
Такая квадратурная запись естественна именно для замкнутого режима, в котором энергия не уносится наружу, а остаётся локализованной и может переходить между двумя формами проявления. Для свободной бегущей электромагнитной волны ситуация иная: \(\mathbf E\) и \(\mathbf B\) изменяются синфазно и связаны соотношением \(\mathbf B=\widehat{\mathbf k}\times\mathbf E/c\). Поэтому формулы (36)–(38) в этой статье не следует непосредственно переносить на поле излучения.
Важно подчеркнуть, что параметр \(\beta\) не создаёт в системе ни новой энергии, ни самостоятельного дополнительного поля. При движении центра волны изменяется лишь ориентация внешней составляющей оператора \(J\): её неизменный полный масштаб перераспределяется между продольной электрической и поперечной магнитной проекциями. Поэтому магнитное поле при \(\beta>0\) следует понимать не как новую энергию, добавленную движением, а как пространственное проявление уже существующего поля в ином направлении. Иными словами, движение переориентирует \(J\), но не увеличивает его модуль: меняются его наблюдаемые проекции, тогда как соответствующая им полная величина остаётся неизменной.
Выводы
В этой части была поставлена принципиальная, а не окончательная задача: показать, каким образом понятия \(E\) и \(B\) могут возникнуть из одного оператора \(J\) и из геометрии перехода от одномерного направления к трёхмерному пространству. Электрическая составляющая получается из энергетического градиента вдоль силовой линии, величина магнитной проекции — из синусной компоненты внешней ветви \(J\), а её пространственное направление — из нормали к плоскости, образованной движением источника и электрической силовой линией.
Электрическое поле в предлагаемой модели непосредственно получается из ранее найденного энергетического градиента. Деление силы взаимодействия двух элементарных зарядов на пробный заряд даёт напряжённость \(E_0(R)=\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c/(eR^2)\), которая после использования определения постоянной тонкой структуры совпадает с кулоновским полем точечного заряда.
В исходном одномерном пространстве эта функция описывает поле вдоль единственного пространственного направления. При отображении в 3D к ней добавляется единичный вектор \(\widehat{\mathbf R}\), а отдельное одномерное направление становится силовой линией. Совокупность всех её возможных ориентаций образует трёхмерное поле источника.
При \(b=0\) внешняя ветвь оператора полностью совпадает с электрической проекцией. При \(b>0\) она раскладывается на действительную часть \(1/\gamma=\cos(\pi b)\) и мнимую часть \(\beta=\sin(\pi b)\). В трёхмерном пространстве вторая часть получает направление \(\widehat{\mathbf v}\times\widehat{\mathbf R}\) и наблюдается как магнитное поле.
Тем самым магнитное поле возникает не как независимое дополнение к электрическому полю, а как перпендикулярная проекция той же внешней ветви состояния движущегося заряда. Движение перераспределяет исходный масштаб поля между двумя составляющими, сохраняя их полный квадрат модуля:
\[\tag{39}
\boxed{
b=0
\;\longrightarrow\;
\mathbf E_0,
\qquad
b>0
\;\longrightarrow\;
\mathbf E\perp\mathbf B,
\qquad
E^2+c^2B^2=E_0^2
}.
\]
Формула (39) в настоящей части относится к идеализированному локализованному режиму стоячей волны в замкнутой области. Она описывает не поток свободного излучения, а внутреннее перераспределение единого масштаба между электрической и магнитной проекциями. Параметр \(\beta\) при этом не создаёт новую энергию и не добавляет к системе второе независимое поле: он переориентирует внешнюю ветвь \(J\), изменяя наблюдаемые проекции при неизменном полном модуле.
Полученный результат создаёт основу для следующих частей работы. В них локальная конструкция будет последовательно расширена: сначала — от поля одного движущегося заряда к полю потока зарядов и магнитной силе между движущимися частицами, затем — к законам электрического тока, пространственно распределённым стоячим режимам и, наконец, к отличию замкнутого поля частицы от свободной бегущей электромагнитной волны. Тем самым частный геометрический вывод этой статьи должен перейти в более общую картину электрических и магнитных явлений.