2026-09-03
Геометрическое образование электронной пары и принцип запрета Паули
Почему одна атомная орбиталь не допускает три электрона
Почему одна атомная орбиталь допускает два электрона, но не допускает третий? В квантовой механике этот факт выражается принципом запрета Паули и антисимметрией многоэлектронного состояния. В геометрической модели волнового электричества возникает возможность разделить эту задачу на две части: сначала получить два внутренних состояния одной орбитали, а затем установить геометрическое правило их совместного заполнения.
В настоящей работе предлагается следующий механизм.
Ортогональные состояния оператора \(J_n(a,0)\) и \(J_n(0,a)\) задают две противоположные проекции спина.
Их обычное произведение выделяет частотно замкнутую пару: одинаковые ориентации создают относительную гармонику \(2\omega_n\), тогда как произведение противоположных ориентаций проектно сводится к скаляру. После этого геометрический градиент энергетических проекций разворачивает пространственные плоскости двух разрешённых зарядовых волн в одну общую плоскость и устанавливает между ними фазу \(\pi\). Строгий запрет третьего электрона имеет уже не энергетическую, а алгебраическую природу: внешнее произведение трёх состояний в двумерном внутреннем пространстве тождественно равно нулю.
Обычное произведение проверяет частотное замыкание пары, геометрический градиент формирует её пространственную конфигурацию, а внешнее произведение запрещает третье состояние.
\[
\tag{1}
\boxed{
\begin{gathered}
\{J_{n,+},J_{n,-}\}
\;\Longrightarrow\;
J_{n,+}J_{n,-}\sim1
\;\Longrightarrow\;
\chi=0,\quad\Delta\varphi=\pi,
\\[2mm]
\dim\mathcal S_{nlm}=2
\;\Longrightarrow\;
\Lambda^3\mathcal S_{nlm}=0
\;\Longrightarrow\;
N_{nlm}\leq2.
\end{gathered}
}
\]
1. Пространственная орбиталь и внутреннее состояние
В работе о геометрическом расщеплении атомных орбиталей пространственная структура состояния связывается с последовательным расщеплением оператора. Получаемую орбиталь обозначим через \(\Phi_{nlm}\), где \(n,l,m\) играют роль пространственных квантовых чисел.
При этом необходимо отделить пространственную форму орбитали от внутренней ориентации электрона. Для фиксированной орбитали возможны два состояния основного оператора:
\[
\tag{2}
J_{n,+}=J_n(a,0),
\qquad
J_{n,-}=J_n(0,a).
\]
Полные одноэлектронные состояния запишем как
\[
\tag{3}
\Psi_{nlm}^{(+)}
=
\Phi_{nlm}J_{n,+},
\qquad
\Psi_{nlm}^{(-)}
=
\Phi_{nlm}J_{n,-}.
\]
Таким образом, глубокое расщепление определяет пространственные параметры \(n,l,m\), а выбор \(J_{n,+}\) или \(J_{n,-}\) сохраняется как независимый двоичный признак на всех полученных орбиталях.
2. Два спиновых состояния одной орбитали
Внутренние состояния принадлежат двум ортогональным плоскостям:
\[
\tag{4}
\boxed{
J_{n,+}\perp J_{n,-}
}.
\]
Однако эта ортогональность не означает, что наблюдаемые трёхмерные векторы спина направлены под прямым углом. Она относится к внутренней геометрии \(J\), тогда как физическое измерение проецирует два состояния на одну выбранную ось \(\widehat{\mathbf n}\):
\[
\tag{5}
\widehat S_{\mathbf n}J_{n,+}
=
+\frac{\hbar}{2}J_{n,+},
\qquad
\widehat S_{\mathbf n}J_{n,-}
=
-\frac{\hbar}{2}J_{n,-}.
\]
Поэтому \(J_{n,+}\) и \(J_{n,-}\) являются геометрическими кандидатами на два противоположных спиновых состояния одной и той же пространственной орбитали.
3. Внутренняя относительная частота
Чтобы исследовать композицию двух ориентаций, раскроем их в идемпотентном базисе. Обозначим фазовый множитель через
\[
\tag{6}
z_n(t)=e^{i\pi a}=e^{i\omega_n t}.
\]
Тогда два оператора принимают вид
\[
\tag{7}
J_{n,+}
=
\ep+\em z_n,
\qquad
J_{n,-}
=
\ep z_n+\em.
\]
Для общего состояния \(J=A(t)\ep+B(t)\em\) введём относительную фазу и её частоту:
\[
\tag{8}
\vartheta_J
=
\arg\frac{B}{A},
\qquad
\boxed{
\Omega[J]
=
\frac{d\vartheta_J}{dt}
}.
\]
Общая фаза обеих компонент сокращается в отношении \(B/A\), поэтому \(\Omega[J]\) характеризует не абсолютный фазовый множитель, а наблюдаемое относительное вращение двух идемпотентных секторов. Для состояний (7) получаем
\[
\tag{9}
\Omega[J_{n,+}]=+\omega_n,
\qquad
\Omega[J_{n,-}]=-\omega_n.
\]
4. Произведение одинаковых ориентаций
Рассмотрим попытку совместить на одной орбитали два одинаково ориентированных внутренних состояния. Благодаря свойствам \(\ep^2=\ep\), \(\em^2=\em\) и \(\ep\em=0\) имеем
\[
\tag{10}
\boxed{
J_{n,+}^2
=
(\ep+\em z_n)^2
=
\ep+\em z_n^2
=
J_n(2a,0)
}.
\]
Для второй ориентации аналогично получаем
\[
\tag{11}
\boxed{
J_{n,-}^2
=
(\ep z_n+\em)^2
=
\ep z_n^2+\em
=
J_n(0,2a)
}.
\]
Поскольку \(z_n^2=e^{i2\omega_n t}\), одинаковые ориентации создают некомпенсированную вторую гармонику:
\[
\tag{12}
\boxed{
\Omega[J_{n,+}^2]=+2\omega_n,
\qquad
\Omega[J_{n,-}^2]=-2\omega_n
}.
\]
Такой продукт не замыкается в исходном относительном фазовом режиме орбитали. Он создаёт новое динамическое состояние с удвоенной относительной частотой.
5. Произведение противоположных ориентаций
Для разных ориентаций результат принципиально иной:
\[
\tag{13}
\begin{aligned}
J_{n,+}J_{n,-}
&=
(\ep+\em z_n)(\ep z_n+\em)
\\
&=
\ep z_n+\em z_n
\\
&=
z_n(\ep+\em)
=
e^{i\omega_n t}.
\end{aligned}
\]
Обе идемпотентные компоненты получили одинаковую фазу. В проектном представлении общий фазовый множитель не изменяет состояние, поэтому
\[
\tag{14}
\boxed{
J_{n,+}J_{n,-}
=
e^{i\omega_n t}
\sim1,
\qquad
\Omega[J_{n,+}J_{n,-}]=0
}.
\]
Таким образом, противоположные ориентации компенсируют относительное внутреннее вращение. Произведение не содержит остаточной частоты между плоскостями \(\ep\) и \(\em\), хотя общий фазовый множитель сохраняется.
6. Критерий частотного замыкания
Полученный результат позволяет сформулировать дополнительный критерий электронной пары: два электрона могут образовать согласованное состояние на одной пространственной орбитали, если произведение их внутренних операторов проектно скалярно и не создаёт новой относительной частоты.
\[
\tag{15}
\boxed{
J_1J_2\sim1
\quad\Longleftrightarrow\quad
\Omega[J_1J_2]=0
}.
\]
Среди базисных ориентаций этому условию удовлетворяют только смешанные произведения \(J_{n,+}J_{n,-}\) и \(J_{n,-}J_{n,+}\). Одинаковые ориентации создают гармонику \(2\omega_n\) и не проходят критерий частотного замыкания.
7. Полная энергия и энергия относительной моды
Удвоение относительной частоты нельзя отождествлять с недопустимым удвоением полной энергии. Для двух электронов полная энергия естественно складывается: \(E_{\mathrm{tot}}=E_1+E_2=2E_n\). Это справедливо и для разрешённой пары.
Отдельно можно определить энергетический масштаб нескомпенсированной относительной моды:
\[
\tag{16}
E_{\mathrm{rel}}
=
\hbar|\Omega[J_1J_2]|.
\]
Тогда противоположные ориентации дают \(E_{\mathrm{rel}}=0\), а одинаковые — \(E_{\mathrm{rel}}=2\hbar\omega_n\). Это не полная энергия двух частиц, а дополнительный внутренний масштаб, показывающий отсутствие или наличие некомпенсированного относительного вращения.
Частотное замыкание отбирает допустимые внутренние ориентации пары, но ещё не определяет взаимное положение её пространственных волн. Эту задачу решает геометрический градиент.
8. Внутренние и пространственные плоскости
Для дальнейшего построения необходимо различать внутренние плоскости оператора и пространственные плоскости движения зарядовых волн. Внутренние состояния остаются ортогональными, но их наблюдаемые орбитальные проекции могут совпадать:
\[
\tag{17}
\boxed{
\Pi_{\mathrm{orb}}[J_{n,+}]
=
\Pi_{\mathrm{orb}}[J_{n,-}]
=
\Phi_{nlm}
}.
\]
Иначе говоря, при образовании пары не сливаются состояния \(J_n(a,0)\) и \(J_n(0,a)\). Совмещаются только пространственные плоскости, в которых распространяются их зарядовые волны. Благодаря этому два электрона получают общую орбиталь, но сохраняют различимые внутренние состояния и противоположные спины.
9. Геометрия двух вращающихся волн
Пусть \(\chi\) — угол между пространственными плоскостями двух волн, а \(\delta=\Delta\varphi\) — разность их фаз. Первую плоскость выберем в координатах \((x,y)\):
\[
\tag{18}
\widehat{\mathbf u}_1(\theta)
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta\\
\sin\theta\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Вторая плоскость повёрнута относительно первой на угол \(\chi\), а волна имеет дополнительную фазу \(\delta\):
\[
\tag{19}
\widehat{\mathbf u}_2(\theta)
=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta+\delta)\\
\cos\chi\,\sin(\theta+\delta)\\
\sin\chi\,\sin(\theta+\delta)
\end{pmatrix}.
\]
Введём мгновенную неотрицательную меру рассогласования:
\[
\tag{20}
m(\theta,\chi,\delta)
=
\frac12
\left|
\widehat{\mathbf u}_1(\theta)
+
\widehat{\mathbf u}_2(\theta)
\right|^2.
\]
Она обращается в ноль тогда и только тогда, когда две волны в каждый момент занимают противоположные положения:
\[
\tag{21}
m=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\widehat{\mathbf u}_2=-\widehat{\mathbf u}_1.
\]
10. Средняя мера рассогласования
Усредним выражение (20) за полный оборот. Скалярное произведение двух направлений имеет среднее значение
\[
\tag{22}
\left\langle
\widehat{\mathbf u}_1\cdot
\widehat{\mathbf u}_2
\right\rangle
=
\frac{1+\cos\chi}{2}\cos\delta.
\]
Поэтому средняя мера рассогласования равна
\[
\tag{23}
\boxed{
\mathcal M(\chi,\delta)
=
1+
\frac{1+\cos\chi}{2}\cos\delta
}.
\]
Если пространственные плоскости уже совпадают, \(\chi=0\), то
\[
\tag{24}
\mathcal M(0,\delta)
=
1+\cos\delta
=
2\cos^2\frac{\delta}{2}.
\]
Минимум этого выражения достигается при \(\delta=\pi\). Если же сначала зафиксировать противофазу, получаем
\[
\tag{25}
\mathcal M(\chi,\pi)
=
\frac{1-\cos\chi}{2}
=
\sin^2\frac{\chi}{2}.
\]
Теперь минимум достигается при \(\chi=0\). Следовательно, совместное условие полного согласования имеет вид
\[
\tag{26}
\boxed{
\chi=0,
\qquad
\Delta\varphi=\pi,
\qquad
\mathcal M(0,\pi)=0
}.
\]
11. Связь с геометрическим кулоновским градиентом
В работе «Геометрическое происхождение электрической силы» взаимодействие было связано с неполной компенсацией проекций двух близких внутренних ветвей. Для внешнего объекта разность проекций равна
\[
\tag{27}
\Delta P(\ell)
=
\frac{r_+}{\sqrt{\ell^2+r_+^2}}
-
\frac{r_-}{\sqrt{\ell^2+r_-^2}}.
\]
В дальней области, где \(\ell\gg r_+,r_-\), эта формула переходит в
\[
\tag{28}
\Delta P(\ell)
\approx
\frac{\Delta r}{\ell}.
\]
Для пары вращающихся волн необходимо учитывать не только радиальное расстояние, но также взаимную ориентацию плоскостей и фаз. В качестве простейшего углового расширения формулы (27) введём
\[
\tag{29}
\boxed{
\Delta P_{\mathrm{pair}}
(\ell,\chi,\delta)
=
\Delta P(\ell)
\mathcal M(\chi,\delta)
}.
\]
Формула (29) является новой гипотезой данной работы: радиальная проекция предыдущей модели дополняется положительной мерой углового и фазового рассогласования.
В дальней области выражение принимает вид
\[
\tag{30}
\Delta P_{\mathrm{pair}}
\approx
\frac{\Delta r}{\ell}
\mathcal M(\chi,\delta).
\]
12. Энергия рассогласования
Чтобы согласованная конфигурация соответствовала минимуму, введём положительную энергию рассогласования:
\[
\tag{31}
U_{\mathrm{mis}}
(\ell,\chi,\delta)
=
E_*\Delta P(\ell)
\mathcal M(\chi,\delta),
\qquad E_*>0.
\]
В статье о происхождении электрической силы величина \(E_*\) является энергетическим масштабом, доступным внешней проекции; для электрона она связывается с энергией покоя. Поскольку все множители в (31) неотрицательны, получаем
\[
\tag{32}
\boxed{
U_{\mathrm{mis}}(\ell,0,\pi)=0
}.
\]
Таким образом, геометрия выбирает не произвольное расположение волн, а состояние с совпадающими пространственными плоскостями и противоположными фазами.
13. Разворот пространственных плоскостей
Зависимость энергии от угла \(\chi\) создаёт геометрический вращающий момент:
\[
\tag{33}
\tau_\chi
=
-\frac{\partial U_{\mathrm{mis}}}{\partial\chi}.
\]
Обозначив \(C(\ell)=E_*\Delta P(\ell)>0\), получаем
\[
\tag{34}
\tau_\chi
=
\frac{C(\ell)}{2}
\sin\chi\cos\delta.
\]
Вблизи противофазы \(\delta=\pi\):
\[
\tag{35}
\tau_\chi
=
-\frac{C(\ell)}{2}\sin\chi.
\]
При положительном \(\chi\) момент направлен в сторону уменьшения угла. Поэтому
\[
\tag{36}
\boxed{
\chi\longrightarrow0
}.
\]
Именно геометрический градиент энергетических проекций разворачивает две пространственные плоскости в одну общую орбитальную плоскость. Ортогональность внутренних состояний \(J_{n,+}\) и \(J_{n,-}\) при этом не исчезает.
14. Установление противофазы
Зависимость энергии от \(\delta\) создаёт фазовый градиент:
\[
\tag{37}
Q_\delta
=
-\frac{\partial U_{\mathrm{mis}}}{\partial\delta}
=
C(\ell)
\frac{1+\cos\chi}{2}
\sin\delta.
\]
Пусть фаза немного отклонена от противофазы:
\[
\tag{38}
\delta=\pi+\eta,
\qquad |\eta|\ll1.
\]
Тогда
\[
\tag{39}
Q_\delta
\approx
-C(\ell)
\frac{1+\cos\chi}{2}\eta.
\]
Знак воздействия противоположен отклонению, поэтому фазовый градиент возвращает систему к состоянию
\[
\tag{40}
\boxed{
\Delta\varphi\longrightarrow\pi
}.
\]
В результате один и тот же проекционный механизм выполняет две функции:
\[
\tag{41}
\boxed{
\begin{aligned}
-\frac{\partial U_{\mathrm{mis}}}{\partial\chi}
&\Longrightarrow
\text{совмещение пространственных плоскостей},
\\
-\frac{\partial U_{\mathrm{mis}}}{\partial\Delta\varphi}
&\Longrightarrow
\text{установление противофазы}.
\end{aligned}
}
\]
15. Итоговая геометрия электронной пары
В согласованной конфигурации выполняется
\[
\tag{42}
\widehat{\mathbf u}_2(\theta)
=
\widehat{\mathbf u}_1(\theta+\pi)
=
-\widehat{\mathbf u}_1(\theta).
\]
Для круговой орбиты радиуса \(R_n\):
\[
\tag{43}
\mathbf r_2(t)=-\mathbf r_1(t),
\qquad
|\mathbf r_1-\mathbf r_2|=2R_n.
\]
Через половину периода волны пространственно меняются местами:
\[
\tag{44}
\mathbf r_1\left(t+\frac{T}{2}\right)
=
\mathbf r_2(t),
\qquad
\mathbf r_2\left(t+\frac{T}{2}\right)
=
\mathbf r_1(t).
\]
Поскольку электроны неразличимы, полная конфигурация пары после такого обмена остаётся физически той же.
16. Два варианта компенсации градиента
В идеальном варианте геометрические проекции компенсируются в каждый момент:
\[
\tag{45}
\boxed{
\Delta P_{12}(t)=0,
\qquad
F_{12}(t)=0
}.
\]
Это мгновенно согласованное состояние. Оно возникает, если эффективное разделение ветвей в направлении взаимной проекции равно нулю в течение всего цикла.
В более общем динамическом варианте проекция меняет знак через половину периода:
\[
\tag{46}
\Delta P_{12}\left(t+\frac{T}{2}\right)
=
-\Delta P_{12}(t).
\]
Тогда за полный цикл получаем
\[
\tag{47}
\boxed{
\left\langle\Delta P_{12}\right\rangle_T=0,
\qquad
\left\langle F_{12}\right\rangle_T=0
}.
\]
Первый вариант описывает жёстко согласованную пару, второй — динамическую пару с периодическим внутренним обменом энергетическими проекциями. Выбор между ними должен следовать из более подробной геометрии расщеплённых ветвей.
17. Синглетное состояние
Два электрона имеют одну пространственную орбиталь, но противоположные внутренние состояния. Антисимметричную часть пары можно записать как
\[
\tag{48}
\Psi_{\mathrm{pair}}
=
\frac{\Phi_{nlm}(1)\Phi_{nlm}(2)}{\sqrt2}
\left[
J_{n,+}(1)J_{n,-}(2)
-
J_{n,-}(1)J_{n,+}(2)
\right].
\]
Для этого состояния суммарный спин электронной пары равен нулю:
\[
\tag{49}
\boxed{
\widehat{\mathbf S}_{\mathrm{tot}}
\Psi_{\mathrm{pair}}=0,
\qquad
S_{\mathrm{pair}}=0
}.
\]
Так геометрическая ортогональность внутренних состояний совместно с общей пространственной проекцией приводит к структуре синглетной пары.
18. Внешнее произведение и геометрия обмена
Для строгого запрета повторного заполнения введём внешнее произведение внутренних состояний. Двухэлектронная конфигурация определяется ориентированной площадью
\[
\tag{50}
\Omega_{nlm}^{(2)}
=
J_{n,+}\wedge J_{n,-}.
\]
При обмене электронов ориентация площади меняется:
\[
\tag{51}
J_{n,+}\wedge J_{n,-}
=
-J_{n,-}\wedge J_{n,+}.
\]
Это правило согласуется с пространственным обменом волн через половину периода. Если оба электрона пытаются занять одно состояние, ориентированная площадь вырождается:
\[
\tag{52}
J_{n,+}\wedge J_{n,+}=0,
\qquad
J_{n,-}\wedge J_{n,-}=0.
\]
Внешнее произведение является правилом композиции одинаковых электронов. Его геометрической мотивацией служит изменение ориентации при обмене, но полный вывод этого правила непосредственно из алгебры J остаётся отдельной задачей.
19. Почему третий электрон невозможен
Для фиксированной орбитали внутреннее пространство двумерно:
\[
\tag{53}
\mathcal S_{nlm}
=
\operatorname{span}
\{J_{n,+},J_{n,-}\},
\qquad
\dim\mathcal S_{nlm}=2.
\]
Поэтому любое предполагаемое состояние третьего электрона на этой же орбитали является линейной комбинацией уже имеющихся направлений:
\[
\tag{54}
J_3
=
\alpha J_{n,+}
+
\beta J_{n,-}.
\]
Трёхэлектронное состояние имело бы вид
\[
\tag{55}
\Omega_{nlm}^{(3)}
=
J_{n,+}\wedge J_{n,-}\wedge J_3.
\]
Подставляя (54), получаем два слагаемых, каждое из которых содержит повторяющееся направление:
\[
\tag{56}
\begin{aligned}
\Omega_{nlm}^{(3)}
={}&
\alpha
J_{n,+}\wedge J_{n,-}\wedge J_{n,+}
\\
&+
\beta
J_{n,+}\wedge J_{n,-}\wedge J_{n,-}
=0.
\end{aligned}
\]
Следовательно,
\[
\tag{57}
\boxed{
\dim\mathcal S_{nlm}=2
\quad\Longrightarrow\quad
\Lambda^3\mathcal S_{nlm}=0
\quad\Longrightarrow\quad
N_{nlm}\leq2
}.
\]
Третьему электрону не хватает нового независимого внутреннего направления. Поэтому он должен перейти в другую пространственную орбиталь, где появляется новое одноэлектронное состояние.
20. Почему одного кулоновского градиента недостаточно
Кулоновский градиент нельзя считать строгой причиной запрета третьего электрона. Три волны на окружности можно формально расположить с фазами \(0\), \(2\pi/3\) и \(4\pi/3\). Такая конфигурация может быть энергетически невыгодной, но её существование не обнуляется одной только геометрией расстояний.
Энергетический градиент выбирает оптимальную конфигурацию разрешённой пары, но строгий запрет возникает только тогда, когда трёхэлектронное состояние тождественно обращается в ноль.
\[
\tag{58}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{обычное произведение}
&\Longrightarrow
J_{n,+}J_{n,-}\sim1,
\\
\text{геометрический градиент}
&\Longrightarrow
\chi=0,
\quad
\Delta\varphi=\pi,
\\
\text{внешнее произведение}
&\Longrightarrow
N_{nlm}\leq2.
\end{aligned}
}
\]
21. Почему частотного критерия недостаточно для запрета третьего электрона
Обычное произведение различает одинаковые и противоположные ориентации и тем самым отбирает частотно замкнутую пару. Однако оно само по себе не обнуляет попытку добавить третий электрон. После образования скалярного произведения пары формальное умножение на третье состояние даёт
\[
\tag{59}
J_{n,+}J_{n,-}J_3
\sim
J_3.
\]
Поэтому частотный критерий объясняет, почему противоположные ориентации образуют согласованную двухэлектронную комбинацию, но из него ещё не следует предел заполнения. Строгое ограничение возникает только для антисимметричной композиции:
\[
\tag{60}
\boxed{
J_{n,+}\wedge J_{n,-}\wedge J_3=0
}.
\]
Таким образом, обычное и внешнее произведения выполняют разные задачи и не должны заменять друг друга.
В итоге разрешённая электронная пара одновременно удовлетворяет частотному, пространственно-геометрическому и антисимметричному критериям.
| Критерий | Математическая запись | Физический смысл |
|---|---|---|
| Частотный | \(J_{n,+}J_{n,-}\sim1\) | Нет остаточной относительной частоты |
| Геометрический | \(\mathcal M(0,\pi)=0\) | Общая плоскость и противофаза |
| Антисимметричный | \(J_{n,+}\wedge J_{n,-}\neq0\) | Разрешённая двухэлектронная пара |
| Размерностный | \(\Lambda^3\mathcal S_{nlm}=0\) | Третий электрон невозможен |
22. Вместимость атомных оболочек
Каждой пространственной орбитали соответствуют два внутренних состояния:
\[
\tag{61}
(n,l,m,+),
\qquad
(n,l,m,-).
\]
Если геометрическое расщепление создаёт на уровне \(n\) величину \(n^2\) пространственных орбиталей, то их общая вместимость равна
\[
\tag{62}
\boxed{
N_n=2n^2
}.
\]
Например, первая орбиталь допускает конфигурацию \(1s^2\). Третий электрон уже не может образовать ненулевое внешнее произведение в пространстве \(\mathcal S_{1s}\) и должен перейти на следующую орбиталь. Аналогично получаются вместимости \(2s^2\) и \(2p^6\).
23. Переход к связанным состояниям
Противофазная конфигурация позволяет ввести параметр фазового согласования:
\[
\tag{63}
C_{12}
=
\left|
\left\langle
e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}
\right\rangle
\right|.
\]
Для независимых волн со случайной разностью фаз имеем \(C_{12}=0\). Для пары с фиксированной фазой \(\Delta\varphi=\pi\):
\[
\tag{64}
\left\langle
e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}
\right\rangle
=-1,
\qquad
C_{12}=1.
\]
Это состояние является фазово связанным. Для доказательства энергетической связи необходимо дополнительно показать, что полная энергия пары ниже энергии разделённых состояний и что малые отклонения \(\chi\) и \(\Delta\varphi-\pi\) создают возвращающие градиенты. Полученные выше выражения для \(\tau_\chi\) и \(Q_\delta\) уже задают возможный механизм такой устойчивости.
24. Полученные результаты и физические гипотезы
Для строгости разделим алгебраические результаты и принятые физические правила. Непосредственно из идемпотентной алгебры следуют равенства \(J_{n,+}^2=J_n(2a,0)\), \(J_{n,-}^2=J_n(0,2a)\) и \(J_{n,+}J_{n,-}=e^{i\omega_nt}\sim1\). Из двумерности пространства \(\mathcal S_{nlm}\) следует отсутствие третьего независимого внутреннего направления. После принятия внешнего произведения как правила композиции одинаковых электронов третье состояние строго обнуляется.
Функция \(\mathcal M(\chi,\delta)\) точно описывает выбранную меру рассогласования двух круговых волн и имеет единственный минимум при \(\chi=0\), \(\delta=\pi\). Однако её факторизация с радиальной проекцией,
\[
\tag{65}
\Delta P_{\mathrm{pair}}
=
\Delta P(\ell)\mathcal M(\chi,\delta),
\]
а также интерпретация \(E_*\Delta P\mathcal M\) как положительной энергии рассогласования являются новыми физическими гипотезами. Дополнительным физическим принципом является критерий, согласно которому отсутствие относительной частоты определяет допустимость спаривания на одной орбитали, тогда как гармоника \(2\omega_n\) означает выход из исходного орбитального режима. В дальнейшем желательно получить эти правила непосредственно из полного оператора \(J(a,b)\), геометрии его расщеплённых ветвей и закона сохранения общей энергии.
Вывод
Одна пространственная орбиталь \(\Phi_{nlm}\) допускает два ортогональных внутренних состояния \(J_n(a,0)\) и \(J_n(0,a)\). В наблюдаемом пространстве они проявляются как противоположные проекции спина. Обычное произведение этих состояний проектно сводится к скаляру и не оставляет относительной внутренней частоты. После такого частотного замыкания геометрический градиент энергетических проекций разворачивает пространственные плоскости зарядовых волн до совпадения и устанавливает между ними фазу \(\pi\). В результате образуется согласованная синглетная пара с нулевым суммарным спином.
Строгий запрет третьего электрона имеет другую природу. Внутреннее пространство одной орбитали двумерно, а внешнее произведение трёх его элементов всегда равно нулю. Поэтому обычное произведение отбирает частотно совместимые ориентации, геометрический градиент объясняет пространственную динамику формирования разрешённой пары, а антисимметричная геометрия внешнего произведения ограничивает вместимость орбитали двумя электронами.
\[
\tag{66}
\boxed{
\begin{gathered}
\Phi_{nlm}
\;\longrightarrow\;
\{J_n(a,0),J_n(0,a)\}
\;\longrightarrow\;
J_{n,+}J_{n,-}\sim1,
\quad
\Omega_{\mathrm{rel}}=0,
\\[1mm]
\chi=0,
\quad
\Delta\varphi=\pi,
\\[1mm]
S_{\mathrm{pair}}=0,
\qquad
J_{n,+}\wedge J_{n,-}\neq0,
\qquad
\Lambda^3\mathcal S_{nlm}=0,
\qquad
N_{nlm}\leq2.
\end{gathered}
}
\]
Таким образом, геометрическое расщепление, фазовое согласование, спиновая компенсация и принцип запрета Паули становятся последовательными частями единого построения. Следующим шагом должно стать получение угловой энергии рассогласования и антисимметричного правила композиции непосредственно из алгебры глобального оператора \(J\).