2026-07-29
Сумма и разность скоростей как композиция доплеровских проекций
Часть 2. Различные внутренние состояния
Всегда ли наблюдаемый частотный сдвиг означает движение?
В первой части этот вопрос не возникал: сравниваемые состояния обладали одинаковой внутренней частотой, поэтому их общая внутренняя составляющая сокращалась. Отношение наблюдаемых частот определялось только внешним движением, и из него непосредственно восстанавливался релятивистский закон сложения скоростей.
Теперь ограничение снимается. Пусть внутренние показатели двух состояний различаются:
\[
\tag{1}
\boxed{
a_1(t)\ne a_2(t)
}.
\]
В этом случае наблюдаемое изменение частоты может иметь две разные причины. Первая связана с изменением самого внутреннего процесса, вторая — с внешним движением источника относительно наблюдателя:
\[
\tag{2}
\boxed{
\text{наблюдаемый частотный сдвиг}
=
\text{внутреннее изменение}
+
\text{внешняя доплеровская проекция}
}.
\]
Знак «плюс» в формуле (2) следует понимать в логарифмической координате. В обычном отношении частот эти два вклада не складываются, а перемножаются. Главная задача второй части — разделить их и показать, при каком условии из измеренной частоты действительно можно однозначно восстановить внешнюю скорость.
Это различение приводит и к экспериментальному вопросу. Если внутреннее состояние частицы зависит от направления движения или наблюдения, то дополнительный сдвиг может проявиться в опыте Айвса—Стилуэлла и его современных аналогах. Но если различаются только начальные фазы при одинаковой скорости внутреннего вращения, спектрального сдвига не возникает.
Соглашение о частотах и времени. В этой статье \(\omega_{\mathrm{int},k}\) обозначает первичную частоту по внутреннему параметру \(\tau_k\), а \(\omega_{0,k}\) и \(\Omega_{0,k}\) — один и тот же частотный масштаб после внутренней проекции, заданный по времени системы покоя центра соответствующего источника. Обозначение \(\Omega_{0,k}\) сохранено для нормировки измеряемых частот. Частота \(\omega_k\) относится к сигналу у внешнего приёмника. В формулах внутренних фаз \(t\) служит аргументом сравниваемых функций времени покоя; это не общее лабораторное время двух движущихся источников. Физическая передача фазы приёмнику учитывается отдельно.
1. Общий оператор двух состояний
Оператор полного состояния в сплит-геометрии имеет вид
\[
\tag{3}
\boxed{
J(a,b)
=
\j^a(-\j)^b
=
\ep e^{i\pi b}
+
\em e^{i\pi a}
}.
\]
Идемпотенты \(\ep\) и \(\em\) задают две независимые комплексные плоскости:
\[
\tag{4}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Параметр \(a\) описывает внутреннее состояние, а параметр \(b\) — внешнее движение частицы. В общем случае два сравниваемых состояния записываются как
\[
\tag{5}
\boxed{
J_1
=
\j^{a_1}(-\j)^{b_1},
\qquad
J_2
=
\j^{a_2}(-\j)^{b_2}
}.
\]
В идемпотентном базисе формула (5) принимает особенно прозрачный вид:
\[
\tag{6}
J_k
=
\ep e^{i\pi b_k}
+
\em e^{i\pi a_k},
\qquad
k=1,2.
\]
Внешние показатели связаны с обычными скоростями принятой в модели параметризацией
\[
\tag{7}
b_k
=
\frac{1}{\pi}
\arcsin\beta_k,
\qquad
\beta_k
=
\frac{v_k}{c}
=
\sin(\pi b_k).
\]
Внутренние показатели представим в наиболее общем для постоянных частот виде. Производная по \(t\) здесь берётся по времени покоя центра соответствующего источника; поэтому определяемая ниже \(\omega_{0,k}\) уже включает внутреннюю временную проекцию:
\[
\tag{8}
a_k(t)
=
\varpi_k t+\varphi_k,
\qquad
\omega_{0,k}
=
\pi\dot a_k
=
\pi\varpi_k.
\]
Следовательно, различие между \(a_1\) и \(a_2\) может содержаться как в начальных фазах \(\varphi_k\), так и во внутренних угловых частотах \(\omega_{0,k}\). Эти два случая имеют разные наблюдаемые следствия.
2. Что означает условие \(a_1\ne a_2\)
Сначала рассмотрим различие только начальных фаз:
\[
\tag{9}
\varpi_1=\varpi_2=\varpi,
\qquad
\varphi_1\ne\varphi_2.
\]
Тогда показатели действительно не совпадают, но их производные одинаковы:
\[
\tag{10}
a_1(t)\ne a_2(t),
\qquad
\dot a_1(t)=\dot a_2(t)=\varpi.
\]
Поэтому совпадают и частоты по времени покоя центров:
\[
\tag{11}
\omega_{0,1}
=
\omega_{0,2}
=
\pi\varpi.
\]
Другой случай возникает, если различаются скорости внутренних вращений:
\[
\tag{12}
\varpi_1\ne\varpi_2
\quad\Longrightarrow\quad
\dot a_1\ne\dot a_2
\quad\Longrightarrow\quad
\omega_{0,1}\ne\omega_{0,2}.
\]
Таким образом, само неравенство внутренних показателей ещё не доказывает различие внутренних частот:
\[
\tag{13}
\boxed{
a_1\ne a_2
\quad\not\Rightarrow\quad
\dot a_1\ne\dot a_2
}.
\]
Спектральный прибор измеряет скорость изменения фазы, а не абсолютное положение во внутреннем цикле. Поэтому постоянная разность фаз и непрерывно растущая разность фаз должны рассматриваться отдельно.
3. Разные фазы при одинаковой внутренней частоте
При выполнении условия (9) относительная внутренняя фаза равна
\[
\tag{14}
\Delta a_{2/1}
=
a_2-a_1
=
\varphi_2-\varphi_1
=
\operatorname{const}.
\]
Её производная обращается в ноль:
\[
\tag{15}
\frac{d}{dt}
\Delta a_{2/1}
=
\dot a_2-\dot a_1
=
0.
\]
Следовательно, постоянная разность внутренних фаз при одинаковых \(\omega_{0,k}\) не создаёт отдельного спектрального сдвига. Равенство частот уже относится к состояниям после внутренней проекции. В согласованной продольной схеме отношение наблюдаемых частот определяется только внешними доплеровскими масштабами:
\[
\tag{16}
\boxed{
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
\frac{D_2}{D_1}
}.
\]
Поэтому результат первой части сохраняется без изменений:
\[
\tag{17}
\boxed{
\beta_{2/1}
=
\frac{
\beta_2-\beta_1
}{
1-\beta_1\beta_2
}
}.
\]
Разность \(\varphi_2-\varphi_1\) может проявиться при когерентном сложении двух волн, поскольку определяет их интерференционную картину. Но она не изменяет положение спектральной линии, пока \(\dot a_1=\dot a_2\).
4. Разные внутренние частоты и проекции
Теперь рассмотрим общий случай \(\dot a_1\ne\dot a_2\). Частоты сравниваемых состояний по времени покоя центров равны
\[
\tag{18}
\omega_{0,1}
=
\pi\dot a_1,
\qquad
\omega_{0,2}
=
\pi\dot a_2.
\]
Для связи этих частот с первичной внутренней динамикой введём внутренние параметры \(\tau_k\). В кинематической реализации модели им сопоставляются нормированные внутренние скорости и соответствующие факторы:
\[
\tag{19}
\eta_k
=
\frac{v_{\mathrm{int},k}}{c},
\qquad
\gamma_{a,k}
=
\frac{1}{
\sqrt{1-\eta_k^2}
}.
\]
Внутренний коэффициент временной проекции каждого состояния обозначим через \(P_{m,k}\). Для согласования с обозначениями первой части сохраним также символ \(\mathcal D_{a,k}\):
\[\tag{20}
P_{m,k}=\mathcal D_{a,k}=\frac{d\tau_k}{dt}=\frac{1}{\gamma_{a,k}}.
\]
Одна и та же фаза удовлетворяет \(d(\pi a_k)=\omega_{\mathrm{int},k}d\tau_k=\omega_{0,k}dt\). Поэтому масштаб покоя записывается как
\[\tag{21}
\boxed{
\Omega_{0,k}=\omega_{0,k}=\pi\dot a_k
=P_{m,k}\omega_{\mathrm{int},k}.
}
\]
Неравенство \(a_1\ne a_2\) само по себе не требует \(P_{m,1}\ne P_{m,2}\). Проецированные частоты могут различаться из-за первичных частот, коэффициентов проекции или обоих факторов. Различия могут и компенсироваться: разные \(\omega_{\mathrm{int},k}\) не обязательно дают разные \(\Omega_{0,k}\). Поскольку \(\omega_{0,k}=\pi\dot a_k\) уже определена по внешнему для внутреннего процесса времени \(t\), повторно умножать её на \(P_{m,k}\) нельзя.
Соотношение \(P_{m,k}=1/\gamma_{a,k}\) принимается как внутренняя временная проекция модели, мотивированная релятивистским сравнением часов. Оно не выводится из одной ортогональности идемпотентных каналов. Для его буквальной интерпретации как поперечного эффекта Доплера потребовалось бы отдельно задать источник сигнала, приёмник, направление луча и системы отсчёта. Если первичный процесс является световой волной, \(\tau_k\) нельзя автоматически считать собственным временем фотона: это внутренний параметр модели, физический смысл которого требует отдельного обоснования.
5. Полная наблюдаемая частота
Для внешнего движения каждого источника относительно общего приёмника введём направленный доплеровский масштаб. Формула ниже относится к распространению света в вакууме вдоль одной общей оси. Знак \(\beta_k\) выбран так, что положительная скорость повышает принимаемую частоту:
\[
\tag{22}
D_k
=
\sqrt{
\frac{1+\beta_k}
{1-\beta_k}
}.
\]
При условии, что частота излучаемого сигнала в системе покоя источника равна \(\Omega_{0,k}\), наблюдаемая угловая частота равна
\[\tag{23}
\boxed{
\omega_k=D_k\Omega_{0,k}=D_k\omega_{0,k}
=D_kP_{m,k}\omega_{\mathrm{int},k}.
}
\]
Поэтому отношение двух наблюдаемых частот равно
\[
\tag{24}
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
\frac{\Omega_{0,2}}{\Omega_{0,1}}
\frac{D_2}{D_1}.
\]
Введём отношение частот покоя. Его можно выразить либо через уже проецированные частоты, либо через первичные частоты и коэффициенты проекции:
\[\tag{25}
\boxed{
I_{2/1}=\frac{\Omega_{0,2}}{\Omega_{0,1}}
=\frac{\dot a_2}{\dot a_1}
=\frac{P_{m,2}\omega_{\mathrm{int},2}}
{P_{m,1}\omega_{\mathrm{int},1}}.
}
\]
Внешний относительный масштаб, как и в первой части, обозначим через
\[
\tag{26}
D_{2/1}
=
\frac{D_2}{D_1}.
\]
Тогда центральное разложение второй части принимает вид
\[
\tag{27}
\boxed{
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
I_{2/1}D_{2/1}
}.
\]
Один наблюдаемый частотный сдвиг содержит два независимых множителя. Поэтому без знания \(I_{2/1}\) невозможно однозначно определить, какая часть измеренного отношения возникла из-за изменения внутреннего состояния, а какая — из-за внешнего движения.
Граница доплеровского описания. Наличие периодической фазы в \(J\) ещё не задаёт способ её регистрации. Для светового сигнала от источника к неподвижному приёмнику общий коэффициент равен \(D(\beta,\theta)=[\gamma(1-\beta\cos\theta)]^{-1}\), где угол задаётся в системе приёмника. Формула (22) использует продольный случай \(\theta=0\). Внутреннее отображение \(P_m\) и внешний эффект Доплера — разные операции; произведение в (23) не выводится из перпендикулярности фазовых плоскостей. Для скрытой внутренней периодичности дополнительно требуется физическая связь с принимаемым сигналом.
6. Выделение внешнего движения
Из формулы (27) внешний относительный масштаб находится нормировкой на внутреннее отношение:
\[
\tag{28}
\boxed{
D_{2/1}
=
\frac{
\omega_2/\omega_1
}{
I_{2/1}
}
=
\frac{
\omega_2\Omega_{0,1}
}{
\omega_1\Omega_{0,2}
}
}.
\]
В принятой продольной схеме скорость однозначно восстанавливается из направленного доплеровского масштаба по формуле
\[
\tag{29}
\boxed{
\beta
=
\frac{D^2-1}{D^2+1}
}.
\]
Подставляя (28), получаем полную измерительную формулу для внешней относительной скорости:
\[
\tag{30}
\boxed{
\beta_{2/1}
=
\frac{
\left(
\dfrac{
\omega_2\Omega_{0,1}
}{
\omega_1\Omega_{0,2}
}
\right)^2
-1
}{
\left(
\dfrac{
\omega_2\Omega_{0,1}
}{
\omega_1\Omega_{0,2}
}
\right)^2
+1
}
}.
\]
После внутренней нормировки выражение в скобках равно \(D_2/D_1\). Поэтому, полностью раскрывая доплеровские масштабы, имеем
\[
\tag{31}
\left(D_{2/1}\right)^2
=
\frac{
(1+\beta_2)(1-\beta_1)
}{
(1-\beta_2)(1+\beta_1)
}.
\]
Обратное преобразование (29) снова приводит к релятивистской разности скоростей:
\[
\tag{32}
\boxed{
\beta_{2/1}
=
\frac{
\beta_2-\beta_1
}{
1-\beta_1\beta_2
}
}.
\]
Аналогично для последовательного сложения необходимо сначала выделить нормированные внешние масштабы каждого состояния:
\[
\tag{33}
D_k
=
\frac{\omega_k}{\Omega_{0,k}},
\qquad
D_{1\oplus2}
=
D_1D_2.
\]
После обратного преобразования получаем
\[
\tag{34}
\boxed{
\beta_{1\oplus2}
=
\frac{
\beta_1+\beta_2
}{
1+\beta_1\beta_2
}
}.
\]
Таким образом, различие частот покоя не изменяет закон суммы или разности внешних скоростей. Для сравнения двух источников их скорости и направления лучей должны относиться к согласованной общей системе. Произведение \(D_1D_2\) описывает последовательную коллинеарную композицию, а не простое сложение двух измеренных лабораторных скоростей. Без нормировки на \(\Omega_{0,k}\) внутреннее изменение ошибочно включается в результат как часть движения.
7. Полная логарифмическая координата
Мультипликативное разложение (27) становится аддитивным после логарифмирования. Введём полный наблюдаемый сдвиг
\[
\tag{35}
Q_{2/1}
=
\ln
\frac{\omega_2}{\omega_1}.
\]
Тогда
\[
\tag{36}
Q_{2/1}
=
\ln I_{2/1}
+
\ln D_2
-
\ln D_1.
\]
Как было показано в первой части, логарифм внешнего доплеровского масштаба равен быстроте:
\[
\tag{37}
q_k
=
\ln D_k
=
\operatorname{artanh}\beta_k.
\]
Поэтому полный сдвиг имеет вид
\[
\tag{38}
\boxed{
Q_{2/1}
=
\ln I_{2/1}
+
\operatorname{artanh}\beta_2
-
\operatorname{artanh}\beta_1
}.
\]
Именно в этой координате символическое равенство (2) становится строгой математической формулой:
\[
\tag{39}
\boxed{
\text{полный сдвиг}
=
\text{внутренний сдвиг}
+
\text{внешний сдвиг}
}.
\]
Внешняя относительная быстрота выделяется вычитанием внутреннего вклада:
\[
\tag{40}
\boxed{
q_{2/1}
=
Q_{2/1}
-
\ln I_{2/1}
}.
\]
После этого \(\beta_{2/1}=\tanh q_{2/1}\), и формула разности скоростей снова принимает вид (32).
8. Эффективная скорость при неизвестном внутреннем состоянии
Предположим, что всё наблюдаемое отношение частот ошибочно принято за внешний доплеровский масштаб:
\[
\tag{41}
R_{\mathrm{full}}
=
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
I_{2/1}D_{2/1}.
\]
Тогда из измерения будет получена не истинная относительная скорость, а эффективная величина
\[
\tag{42}
\boxed{
\beta_{\mathrm{eff}}
=
\frac{
R_{\mathrm{full}}^2-1
}{
R_{\mathrm{full}}^2+1
}
}.
\]
Подставляя разложение (41), находим
\[
\tag{43}
\boxed{
\beta_{\mathrm{eff}}
=
\frac{
I_{2/1}^{\,2}D_{2/1}^{\,2}-1
}{
I_{2/1}^{\,2}D_{2/1}^{\,2}+1
}
}.
\]
Даже при отсутствии внешнего относительного движения, когда \(D_{2/1}=1\), различие внутренних состояний создаст ненулевую эффективную скорость:
\[
\tag{44}
D_{2/1}=1
\quad\Longrightarrow\quad
\beta_{\mathrm{eff}}
=
\frac{
I_{2/1}^{\,2}-1
}{
I_{2/1}^{\,2}+1
}.
\]
Следовательно, по одному отношению частот нельзя однозначно найти скорость, если собственная внутренняя частота источника неизвестна или изменяется. Для определения движения необходим либо известный внутренний эталон, либо независимое измерение \(I_{2/1}\).
9. Относительная фаза, биения и усреднение
Относительную внутреннюю фазу сначала сравним по согласованным аргументам времени покоя. Эта запись относится к эталонным фазовым функциям источников, а не непосредственно к двум сигналам у приёмника:
\[
\tag{45}
\boxed{
\Delta a_{2/1}(t)
=
a_2(t)-a_1(t)
}.
\]
Для линейных фаз (8) получаем
\[
\tag{46}
\Delta a_{2/1}(t)
=
(\varpi_2-\varpi_1)t
+
(\varphi_2-\varphi_1).
\]
Модуль скорости изменения этой относительной фазы задаёт частоту биений эталонных функций:
\[\tag{47}
\boxed{
\omega_{\mathrm{beat},0}
=\left|\pi\frac{d}{dt}\Delta a_{2/1}\right|
=|\Omega_{0,2}-\Omega_{0,1}|.
}
\]
Здесь необходимо различать три величины. Постоянная разность фаз управляет интерференционной картиной, разность частот создаёт биения, а отношение частот входит во внутренний множитель \(I_{2/1}\) и влияет на восстановление скорости.
Для реального сложения сигналов необходимо использовать частоты, принимаемые одним прибором, и общее время приёмника \(t_{\mathrm{rec}}\). Если сигналы когерентны, а их частоты и геометрия постоянны на интервале наблюдения, перекрёстный член содержит
\[\tag{48}
\cos(\Delta\omega\,t_{\mathrm{rec}}+\Delta\phi_{\mathrm{rec}}),
\qquad \Delta\omega=\omega_2-\omega_1.
\]
Если время наблюдения равно \(T_{\mathrm{obs}}\), а разность частот удовлетворяет условию
\[
\tag{49}
\boxed{
|\Delta\omega|
T_{\mathrm{obs}}
\gg
2\pi
},
\]
то за время измерения интерференционный член совершает множество колебаний и усредняется практически до нуля:
\[\tag{50}
\left\langle
\cos(\Delta\omega\,t_{\mathrm{rec}}+\Delta\phi_{\mathrm{rec}})
\right\rangle_{T_{\mathrm{obs}}}\approx0.
\]
Внутренние частоты элементарных частиц могут быть чрезвычайно высокими по сравнению с обратной длительностью обычного наблюдения. Однако из большой величины \(\omega_1\) и \(\omega_2\) ещё не следует, что их разность также велика: две огромные частоты могут быть очень близки. Усреднение определяется именно произведением \(|\Delta\omega|T_{\mathrm{obs}}\), а не абсолютной величиной каждой частоты.
При выполнении условия (49) быстрый перекрёстный член подавляется временным усреднением. Раздельное разрешение двух спектральных компонент дополнительно зависит от ширины линий, полосы прибора и длительности измерения. Само отношение частот покоя при таком усреднении не исчезает:
\[
\tag{51}
\boxed{
\text{быстрый интерференционный член}
\longrightarrow
0,
\qquad
I_{2/1}
=
\frac{\Omega_{0,2}}{\Omega_{0,1}}
\ne
0
}.
\]
Следовательно, высокая частота скрывает мгновенную фазовую картину, но не устраняет систематический частотный сдвиг. После правильной внутренней нормировки она не влияет на закон суммы или разности внешних скоростей; без нормировки её отношение остаётся в измеряемом результате.
10. Алгебраический и физический относительные операторы
Прямое алгебраическое отношение двух операторов (5) равно
\[
\tag{52}
\begin{aligned}
K_{2/1}
&=
J_2J_1^{-1}
\\[1mm]
&=
\j^{a_2-a_1}
(-\j)^{b_2-b_1}.
\end{aligned}
\]
Этот оператор точно описывает разность показателей двух исходных состояний. Однако показатель \(b_2-b_1\) не является показателем физической релятивистской относительной скорости. Причина состоит в том, что \(b\) связан со скоростью через \(\arcsin\beta\), тогда как внешние скорости преобразуются по дробно-линейному закону.
Физически восстановленная относительная скорость равна
\[
\tag{53}
\beta_{2/1}
=
\frac{
\beta_2-\beta_1
}{
1-\beta_1\beta_2
}.
\]
Ей соответствует внешний показатель
\[
\tag{54}
\boxed{
b_{2/1}
=
\frac{1}{\pi}
\arcsin
\left(
\frac{
\beta_2-\beta_1
}{
1-\beta_1\beta_2
}
\right)
}.
\]
Поэтому необходимо различать два объекта:
\[
\tag{55}
\boxed{
K_{2/1}
=
\j^{a_2-a_1}
(-\j)^{b_2-b_1}
}
\quad
\text{— алгебраическое отношение,}
\]
\[
\tag{56}
\boxed{
J_{2/1}
=
\j^{\Delta a_{2/1}}
(-\j)^{b_{2/1}}
}
\quad
\text{— физический относительный оператор.}
\]
В идемпотентном базисе физический относительный оператор имеет вид
\[
\tag{57}
J_{2/1}
=
\ep e^{i\pi b_{2/1}}
+
\em e^{i\pi\Delta a_{2/1}}.
\]
Первая компонента содержит восстановленную внешнюю относительную скорость, а вторая — относительную внутреннюю фазу в принятом соглашении сравнения. Здесь «физический относительный оператор» означает параметризацию этих двух характеристик, а не уже выведенный полный лоренцевский оператор преобразования поля или спинора. Она не подменяет релятивистскую композицию простой разностью показателей \(b_2-b_1\).
11. Частные случаи и проверки
Полностью одинаковые состояния.
\[
\tag{58}
a_1=a_2,
\qquad
b_1=b_2
\quad\Longrightarrow\quad
J_{2/1}=1.
\]
Разные постоянные фазы при одинаковых частотах и скоростях.
\[
\tag{59}
\dot a_1=\dot a_2,
\qquad
\beta_1=\beta_2
\quad\Longrightarrow\quad
J_{2/1}
=
\j^{\varphi_2-\varphi_1}.
\]
В этом случае остаётся только постоянная относительная фаза, но нет ни внешней относительной скорости, ни внутренних биений.
Разные внутренние частоты без внешнего относительного движения.
\[
\tag{60}
\beta_1=\beta_2,
\qquad
\dot a_1\ne\dot a_2
\quad\Longrightarrow\quad
D_{2/1}=1,
\qquad
I_{2/1}\ne1.
\]
Наблюдается внутренний частотный сдвиг или биение, хотя внешняя относительная скорость равна нулю.
Одинаковые внутренние состояния при разных скоростях.
\[
\tag{61}
I_{2/1}=1
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
D_{2/1}.
\]
Это случай первой части статьи.
Одновременно различные внутренние и внешние состояния.
\[
\tag{62}
I_{2/1}\ne1,
\qquad
D_{2/1}\ne1
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
I_{2/1}D_{2/1}.
\]
Только после разделения этих множителей можно независимо восстановить внутреннее изменение и внешнюю относительную скорость.
12. Связь внутренней частоты с энергией и массой
Для массовой периодичности необходимо различать первичный фазовый энергетический масштаб и энергию покоя. Первичной частоте соответствует
\[\tag{63}
\mathcal E_{\mathrm{ph},k}=\hbar\omega_{\mathrm{int},k}.
\]
В соответствии с работой «Масса как геометрическая проекция замкнутой волны» энергия покоя задаётся отдельным физическим отображением:
\[\tag{64}
E_{0,k}=P_{m,k}\mathcal E_{\mathrm{ph},k}=m_kc^2.
\]
Следовательно, именно частота после массовой проекции отождествляется с комптоновской:
\[\tag{65}
\boxed{
\omega_{C,k}=\Omega_{0,k}=\omega_{0,k}
=P_{m,k}\omega_{\mathrm{int},k}
=\frac{m_kc^2}{\hbar}.
}
\]
Для первичных частот двух состояний при ненулевых коэффициентах проекции получаем
\[\tag{66}
\frac{\omega_{\mathrm{int},2}}{\omega_{\mathrm{int},1}}
=\frac{m_2}{m_1}\frac{P_{m,1}}{P_{m,2}}.
\]
После учёта проекций внутренний множитель (25) принимает вид
\[\tag{67}
\boxed{
I_{2/1}
=\frac{P_{m,2}\omega_{\mathrm{int},2}}
{P_{m,1}\omega_{\mathrm{int},1}}
=\frac{\omega_{C,2}}{\omega_{C,1}}
=\frac{m_2}{m_1}.
}
\]
Отношение масс уже включает массовые проекции. Дополнительно умножать его на \(\mathcal D_{a,2}/\mathcal D_{a,1}=P_{m,2}/P_{m,1}\) нельзя: это повторно учитывало бы один и тот же переход от первичной частоты к энергии покоя. Для электронной реализации принимается \(P_m=\alpha_{\mathrm{fs}}\). Перенос этого значения на другие типы частиц требует отдельного обоснования.
Отождествления (65)–(67) относятся только к массовой периодичности. Их наблюдение через световой сигнал требует отдельной модели связи. Для спектрального перехода частота покоя определяется разностью энергий уровней, а не полной энергией покоя частицы. Общие формулы (23)–(30) применяются и к спектральным сигналам, если \(\Omega_{0,k}\) обозначает частоту соответствующей линии, но равенство \(I_{2/1}=m_2/m_1\) в таком случае в общем виде не используется.
Далее рассматриваются реальные спектральные линии. Их частота покоя равна \(\nu_0=(E_i-E_f)/h\); она не отождествляется с комптоновской частотой \(m c^2/h\). Стандартные продольные доплеровские множители действуют на уже сформированную частоту линии; дополнительный внутренний коэффициент к ней повторно не применяется.
13. Стандартная схема опыта Айвса—Стилуэлла
Опыт Айвса—Стилуэлла [1] позволяет отделить продольный доплеровский сдвиг первого порядка от изменения частоты второго порядка. Излучение одного и того же быстрого пучка наблюдается по направлению его движения и против движения. В стандартном случае обе линии принадлежат одному переходу с одной собственной частотой \(\nu_0\).
В идеализированной продольной частотной схеме наблюдения одного пучка вдоль и против его движения принимаемые частоты равны
\[
\tag{68}
\nu_+
=
\nu_0\gamma(1+\beta),
\qquad
\nu_-
=
\nu_0\gamma(1-\beta),
\]
где
\[
\tag{69}
\gamma
=
\frac{1}{
\sqrt{1-\beta^2}
}.
\]
Полуразность линий выделяет продольный эффект первого порядка:
\[
\tag{70}
\frac{
\nu_+-\nu_-
}{2}
=
\gamma\nu_0\beta.
\]
Их среднее значение устраняет линейные слагаемые:
\[
\tag{71}
\boxed{
\overline{\nu}
=
\frac{
\nu_++\nu_-
}{2}
=
\gamma\nu_0
}.
\]
При малых скоростях
\[
\tag{72}
\gamma
\approx
1+\frac{\beta^2}{2},
\]
и относительное смещение центра пары линий равно
\[
\tag{73}
\boxed{
\frac{
\overline{\nu}-\nu_0
}{
\nu_0
}
\approx
\frac{\beta^2}{2}
}.
\]
Постоянная разность фаз не меняет частоту выбранной линии. Если \(a_+\) и \(a_-\) обозначают фазовые показатели именно этого перехода по времени покоя источника, то
\[
\tag{74}
\dot a_+
=
\dot a_-
\quad\Longrightarrow\quad
\nu_{0,+}
=
\nu_{0,-}
=
\nu_0.
\]
Именно равенство собственных частот встречного и попутного наблюдений позволяет интерпретировать оставшееся смещение как стандартный эффект второго порядка.
14. Возможная внутренняя асимметрия
Теперь в качестве отдельной гипотезы предположим, что частота спектрального перехода, заданная по времени покоя источника, зависит от направления излучения:
\[
\tag{75}
\nu_{0,+}
\ne
\nu_{0,-}.
\]
Тогда две линии имеют вид
\[
\tag{76}
\nu_+
=
\nu_{0,+}\gamma(1+\beta),
\qquad
\nu_-
=
\nu_{0,-}\gamma(1-\beta).
\]
Введём среднюю собственную частоту
\[
\tag{77}
\overline{\nu}_0
=
\frac{
\nu_{0,+}+\nu_{0,-}
}{2}
\]
и безразмерную внутреннюю асимметрию
\[
\tag{78}
\delta_a
=
\frac{
\nu_{0,+}-\nu_{0,-}
}{
\nu_{0,+}+\nu_{0,-}
}.
\]
Отсюда
\[
\tag{79}
\nu_{0,+}
=
\overline{\nu}_0(1+\delta_a),
\qquad
\nu_{0,-}
=
\overline{\nu}_0(1-\delta_a).
\]
Подставляя формулу (79) в (76) и складывая две линии, получаем
\[
\tag{80}
\boxed{
\overline{\nu}
=
\frac{
\nu_++\nu_-
}{2}
=
\gamma\overline{\nu}_0
\left(
1+\beta\delta_a
\right)
}.
\]
При \(|\beta|\ll1\) и малой \(|\delta_a|\) относительное смещение равно
\[
\tag{81}
\boxed{
\frac{
\overline{\nu}
-
\overline{\nu}_0
}{
\overline{\nu}_0
}
\approx
\frac{\beta^2}{2}
+
\beta\delta_a
}.
\]
В формуле (81) видны два различных вклада:
\[
\tag{82}
\underbrace{
\frac{\beta^2}{2}
}_{
\text{стандартный эффект второго порядка}
}
+
\underbrace{
\beta\delta_a
}_{
\text{внутренняя направленная асимметрия}
}.
\]
Чтобы дополнительный вклад имел тот же порядок величины, что и стандартный эффект, необходимо приблизительно
\[
\tag{83}
\beta\delta_a
\sim
\frac{\beta^2}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{
\delta_a
\sim
\frac{\beta}{2}
}.
\]
Однако неравенство \(a_1\ne a_2\) само по себе не приводит к формуле (75). Направленная зависимость частоты линии должна быть отдельно выведена из модели либо введена как проверяемая гипотеза. Для одного и того же перехода невозмущённого изотропного источника обычная теория такой зависимости не предполагает; угловая зависимость интенсивности сама по себе не означает различия частот.
15. Как экспериментально разделить два эффекта
Стандартный релятивистский вклад является чётной функцией скорости:
\[
\tag{84}
\beta
\longrightarrow
-\beta
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\beta^2}{2}
\longrightarrow
\frac{\beta^2}{2}.
\]
Дополнительный член \(\beta\delta_a\) при неизменном знаке \(\delta_a\) является нечётным:
\[
\tag{85}
\beta
\longrightarrow
-\beta
\quad\Longrightarrow\quad
\beta\delta_a
\longrightarrow
-\beta\delta_a.
\]
Поэтому измерения при противоположных направлениях пучка позволяют образовать чётную и нечётную комбинации наблюдаемого сдвига. Если обозначить измеренные относительные смещения через \(S(\beta)\) и \(S(-\beta)\), то
\[
\tag{86}
S_{\mathrm{even}}
=
\frac{
S(\beta)+S(-\beta)
}{2}
\approx
\frac{\beta^2}{2},
\]
\[
\tag{87}
S_{\mathrm{odd}}
=
\frac{
S(\beta)-S(-\beta)
}{2}
\approx
\beta\delta_a.
\]
Такое разложение превращает предположение о направленной внутренней асимметрии в проверяемое следствие. Отсутствие нечётной составляющей устанавливает верхнюю границу для \(|\delta_a|\), а её обнаружение потребовало бы исключить обычные систематические причины: неравенство геометрии наблюдения, электрические и магнитные поля, столкновительные сдвиги и различия спектральных линий.
Важно также учитывать возможную зависимость самой асимметрии от направления. Если \(\delta_a(-\beta)=-\delta_a(\beta)\), произведение \(\beta\delta_a\) станет чётным и не отделится простой сменой знака скорости. Поэтому экспериментальная проверка должна опираться не только на симметрию, но и на конкретно выведенный закон \(\delta_a(\beta)\).
16. Что получено во второй части
В первой части общий проецированный частотный масштаб служил эталоном. Во второй части разделены начальная фаза, первичная внутренняя частота, временная проекция и внешний доплеровский сдвиг. Для формул сравнения достаточно знания частот покоя \(\Omega_{0,k}\); одинаковые начальные фазы не требуются.
Полная последовательность разделения имеет вид
\[
\tag{88}
\boxed{
\begin{aligned}
J_1,J_2
&\longrightarrow
\omega_1,\omega_2
\\
&\longrightarrow
I_{2/1}
=
\frac{\Omega_{0,2}}{\Omega_{0,1}}
\\
&\longrightarrow
D_{2/1}
=
\frac{
\omega_2/\omega_1
}{
I_{2/1}
}
\\
&\longrightarrow
\beta_{2/1}
=
\frac{
D_{2/1}^{\,2}-1
}{
D_{2/1}^{\,2}+1
}
\\
&\longrightarrow
b_{2/1}
=
\frac{1}{\pi}
\arcsin\beta_{2/1}
\\
&\longrightarrow
J_{2/1}
=
\j^{a_2-a_1}
(-\j)^{b_{2/1}}.
\end{aligned}
}
\]
Центральный результат статьи можно записать двумя взаимно дополняющими способами:
\[
\tag{89}
\boxed{
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
I_{2/1}D_{2/1}
},
\qquad
\boxed{
\ln
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
\ln I_{2/1}
+
q_{2/1}
}.
\]
Заключение
Наблюдаемая частота сама по себе ещё не является скоростью. Если собственные внутренние состояния различаются, одно и то же частотное отношение одновременно содержит внутренний и внешний множители. Только после удаления внутреннего отношения \(I_{2/1}\) оставшийся доплеровский масштаб однозначно преобразуется во внешнюю относительную скорость.
При этом различие внутренних показателей не всегда означает спектральное различие. Постоянное \(a_2-a_1\) задаёт относительную фазу. Изменение частоты покоя \(\Omega_0=P_m\omega_{\mathrm{int}}\) определяется совместно первичной частотой и временной проекцией; при постоянном \(P_m\) оно соответствует изменению \(\dot a\).
Очень высокие внутренние частоты не нарушают закон композиции скоростей. Если разность частот велика по сравнению с обратным временем наблюдения, быстро осциллирующий интерференционный член усредняется. Однако отношение внутренних частот не исчезает и должно быть учтено при извлечении скорости из спектральных данных.
\[
\tag{90}
\boxed{
\text{для определения внешнего движения}
\quad
\frac{\omega_2}{\omega_1}
\;\longrightarrow\;
\frac{
\omega_2/\omega_1
}{
I_{2/1}
}
\;\longrightarrow\;
\beta_{2/1}
}.
\]
Особый интерес представляет гипотеза направленной зависимости частоты спектрального перехода в системе покоя источника. В идеализированной схеме Айвса—Стилуэлла она дала бы дополнительный вклад к стандартному эффекту второго порядка. Это самостоятельная проверяемая гипотеза, а не следствие фазовой ортогональности или одного неравенства \(a_1\ne a_2\).
Математическое происхождение оператора рассмотрено в статье «От формулы Эйлера к сплит-геометрии».
Связь внутренней частоты с массой подробно раскрыта в статье «Масса частицы как геометрическая проекция»,
а последовательное разделение внутреннего и внешнего движений применяется в работе «Геометрическое происхождение квадрата постоянной тонкой структуры и параметров атома Бора».
Используемые материалы
- H. E. Ives, G. R. Stilwell. An Experimental Study of the Rate of a Moving Atomic Clock. Journal of the Optical Society of America, 28, 215–226 (1938).
- Ted Jacobson. Phys410 Notes, Demos and Supplements. University of Maryland, 2011. Раздел от 8 ноября: частота наблюдателя и релятивистский эффект Доплера.