2026-07-29
Сумма и разность скоростей как композиция доплеровских проекций
Часть 2. Различные внутренние состояния
Всегда ли наблюдаемый частотный сдвиг означает движение?
В первой части этот вопрос не возникал: сравниваемые состояния обладали одинаковой внутренней частотой, поэтому их общая внутренняя составляющая сокращалась. Отношение наблюдаемых частот определялось только внешним движением, и из него непосредственно восстанавливался релятивистский закон сложения скоростей.
Теперь ограничение снимается. Пусть внутренние показатели двух состояний различаются:
\[
\tag{1}
\boxed{
a_1(t)\ne a_2(t)
}.
\]
В этом случае наблюдаемое изменение частоты может иметь две разные причины. Первая связана с изменением самого внутреннего процесса, вторая — с внешним движением источника относительно наблюдателя:
\[
\tag{2}
\boxed{
\text{наблюдаемый частотный сдвиг}
=
\text{внутреннее изменение}
+
\text{внешняя доплеровская проекция}
}.
\]
Знак «плюс» в формуле (2) следует понимать в логарифмической координате. В обычном отношении частот эти два вклада не складываются, а перемножаются. Главная задача второй части — разделить их и показать, при каком условии из измеренной частоты действительно можно однозначно восстановить внешнюю скорость.
Это различение приводит и к экспериментальному вопросу. Если внутреннее состояние частицы зависит от направления движения или наблюдения, то дополнительный сдвиг может проявиться в опыте Айвса—Стилуэлла и его современных аналогах. Но если различаются только начальные фазы при одинаковой скорости внутреннего вращения, спектрального сдвига не возникает.
1. Общий оператор двух состояний
Оператор полного состояния в сплит-геометрии имеет вид
\[
\tag{3}
\boxed{
J(a,b)
=
\j^a(-\j)^b
=
\ep e^{i\pi b}
+
\em e^{i\pi a}
}.
\]
Идемпотенты \(\ep\) и \(\em\) задают две независимые комплексные плоскости:
\[
\tag{4}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Параметр \(a\) описывает внутреннее состояние, а параметр \(b\) — внешнее движение частицы. В общем случае два сравниваемых состояния записываются как
\[
\tag{5}
\boxed{
J_1
=
\j^{a_1}(-\j)^{b_1},
\qquad
J_2
=
\j^{a_2}(-\j)^{b_2}
}.
\]
В идемпотентном базисе формула (5) принимает особенно прозрачный вид:
\[
\tag{6}
J_k
=
\ep e^{i\pi b_k}
+
\em e^{i\pi a_k},
\qquad
k=1,2.
\]
Внешние показатели связаны с обычными скоростями принятой в модели параметризацией
\[
\tag{7}
b_k
=
\frac{1}{\pi}
\arcsin\beta_k,
\qquad
\beta_k
=
\frac{v_k}{c}
=
\sin(\pi b_k).
\]
Внутренние показатели представим в наиболее общем для постоянных частот виде
\[
\tag{8}
a_k(t)
=
\varpi_k t+\varphi_k,
\qquad
\omega_{0,k}
=
\pi\dot a_k
=
\pi\varpi_k.
\]
Следовательно, различие между \(a_1\) и \(a_2\) может содержаться как в начальных фазах \(\varphi_k\), так и во внутренних угловых частотах \(\omega_{0,k}\). Эти два случая имеют разные наблюдаемые следствия.
2. Что означает условие \(a_1\ne a_2\)
Сначала рассмотрим различие только начальных фаз:
\[
\tag{9}
\varpi_1=\varpi_2=\varpi,
\qquad
\varphi_1\ne\varphi_2.
\]
Тогда показатели действительно не совпадают, но их производные одинаковы:
\[
\tag{10}
a_1(t)\ne a_2(t),
\qquad
\dot a_1(t)=\dot a_2(t)=\varpi.
\]
Поэтому совпадают и собственные внутренние частоты:
\[
\tag{11}
\omega_{0,1}
=
\omega_{0,2}
=
\pi\varpi.
\]
Другой случай возникает, если различаются скорости внутренних вращений:
\[
\tag{12}
\varpi_1\ne\varpi_2
\quad\Longrightarrow\quad
\dot a_1\ne\dot a_2
\quad\Longrightarrow\quad
\omega_{0,1}\ne\omega_{0,2}.
\]
Таким образом, само неравенство внутренних показателей ещё не доказывает различие внутренних частот:
\[
\tag{13}
\boxed{
a_1\ne a_2
\quad\not\Rightarrow\quad
\dot a_1\ne\dot a_2
}.
\]
Спектральный прибор измеряет скорость изменения фазы, а не абсолютное положение во внутреннем цикле. Поэтому постоянная разность фаз и непрерывно растущая разность фаз должны рассматриваться отдельно.
3. Разные фазы при одинаковой внутренней частоте
При выполнении условия (9) относительная внутренняя фаза равна
\[
\tag{14}
\Delta a_{2/1}
=
a_2-a_1
=
\varphi_2-\varphi_1
=
\operatorname{const}.
\]
Её производная обращается в ноль:
\[
\tag{15}
\frac{d}{dt}
\Delta a_{2/1}
=
\dot a_2-\dot a_1
=
0.
\]
Следовательно, постоянная разность внутренних фаз не создаёт отдельного спектрального сдвига. При одинаковых внутренних поперечных проекциях отношение наблюдаемых частот по-прежнему определяется только внешними доплеровскими масштабами:
\[
\tag{16}
\boxed{
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
\frac{D_2}{D_1}
}.
\]
Поэтому результат первой части сохраняется без изменений:
\[
\tag{17}
\boxed{
\beta_{2/1}
=
\frac{
\beta_2-\beta_1
}{
1-\beta_1\beta_2
}
}.
\]
Разность \(\varphi_2-\varphi_1\) может проявиться при когерентном сложении двух волн, поскольку определяет их интерференционную картину. Но она не изменяет положение спектральной линии, пока \(\dot a_1=\dot a_2\).
4. Разные внутренние частоты и проекции
Теперь рассмотрим общий случай \(\dot a_1\ne\dot a_2\). Собственные внутренние угловые частоты равны
\[
\tag{18}
\omega_{0,1}
=
\pi\dot a_1,
\qquad
\omega_{0,2}
=
\pi\dot a_2.
\]
Кроме различия самих частот, могут различаться и их внутренние поперечные проекции. Обозначим нормированные скорости внутренних движений через
\[
\tag{19}
\eta_k
=
\frac{v_{\mathrm{int},k}}{c},
\qquad
\gamma_{a,k}
=
\frac{1}{
\sqrt{1-\eta_k^2}
}.
\]
Внутренний поперечный множитель каждого состояния запишем как
\[
\tag{20}
\mathcal D_{a,k}
=
\frac{1}{\gamma_{a,k}}.
\]
Удобно объединить собственную частоту и её внутреннюю проекцию в один наблюдаемый внутренний масштаб:
\[
\tag{21}
\boxed{
\Omega_{0,k}
=
\omega_{0,k}\mathcal D_{a,k}
=
\frac{
\pi\dot a_k
}{
\gamma_{a,k}
}
}.
\]
Неравенство \(a_1\ne a_2\) само по себе не требует, чтобы \(\mathcal D_{a,1}\ne\mathcal D_{a,2}\). Различие поперечных множителей является дополнительной физической возможностью модели. Если внутренние скорости одинаковы, то \(\mathcal D_{a,1}=\mathcal D_{a,2}\), и отношение внутренних масштабов сводится к отношению собственных частот.
5. Полная наблюдаемая частота
Для внешнего движения каждого состояния введём направленный доплеровский масштаб
\[
\tag{22}
D_k
=
\sqrt{
\frac{1+\beta_k}
{1-\beta_k}
}.
\]
Полная наблюдаемая угловая частота является последовательной проекцией внутреннего и внешнего движений:
\[
\tag{23}
\boxed{
\omega_k
=
\omega_{0,k}
\mathcal D_{a,k}
D_k
=
\Omega_{0,k}D_k
}.
\]
Поэтому отношение двух наблюдаемых частот равно
\[
\tag{24}
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
\frac{\Omega_{0,2}}{\Omega_{0,1}}
\frac{D_2}{D_1}.
\]
Введём внутреннее отношение
\[
\tag{25}
\boxed{
I_{2/1}
=
\frac{\Omega_{0,2}}{\Omega_{0,1}}
=
\frac{\dot a_2}{\dot a_1}
\frac{
\mathcal D_{a,2}
}{
\mathcal D_{a,1}
}
}.
\]
Внешний относительный масштаб, как и в первой части, обозначим через
\[
\tag{26}
D_{2/1}
=
\frac{D_2}{D_1}.
\]
Тогда центральное разложение второй части принимает вид
\[
\tag{27}
\boxed{
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
I_{2/1}D_{2/1}
}.
\]
Один наблюдаемый частотный сдвиг содержит два независимых множителя. Поэтому без знания \(I_{2/1}\) невозможно однозначно определить, какая часть измеренного отношения возникла из-за изменения внутреннего состояния, а какая — из-за внешнего движения.
6. Выделение внешнего движения
Из формулы (27) внешний относительный масштаб находится нормировкой на внутреннее отношение:
\[
\tag{28}
\boxed{
D_{2/1}
=
\frac{
\omega_2/\omega_1
}{
I_{2/1}
}
=
\frac{
\omega_2\Omega_{0,1}
}{
\omega_1\Omega_{0,2}
}
}.
\]
Скорость однозначно восстанавливается из любого направленного доплеровского масштаба по формуле
\[
\tag{29}
\boxed{
\beta
=
\frac{D^2-1}{D^2+1}
}.
\]
Подставляя (28), получаем полную измерительную формулу для внешней относительной скорости:
\[
\tag{30}
\boxed{
\beta_{2/1}
=
\frac{
\left(
\dfrac{
\omega_2\Omega_{0,1}
}{
\omega_1\Omega_{0,2}
}
\right)^2
-1
}{
\left(
\dfrac{
\omega_2\Omega_{0,1}
}{
\omega_1\Omega_{0,2}
}
\right)^2
+1
}
}.
\]
После внутренней нормировки выражение в скобках равно \(D_2/D_1\). Поэтому, полностью раскрывая доплеровские масштабы, имеем
\[
\tag{31}
\left(D_{2/1}\right)^2
=
\frac{
(1+\beta_2)(1-\beta_1)
}{
(1-\beta_2)(1+\beta_1)
}.
\]
Обратное преобразование (29) снова приводит к релятивистской разности скоростей:
\[
\tag{32}
\boxed{
\beta_{2/1}
=
\frac{
\beta_2-\beta_1
}{
1-\beta_1\beta_2
}
}.
\]
Аналогично для последовательного сложения необходимо сначала выделить нормированные внешние масштабы каждого состояния:
\[
\tag{33}
D_k
=
\frac{\omega_k}{\Omega_{0,k}},
\qquad
D_{1\oplus2}
=
D_1D_2.
\]
После обратного преобразования получаем
\[
\tag{34}
\boxed{
\beta_{1\oplus2}
=
\frac{
\beta_1+\beta_2
}{
1+\beta_1\beta_2
}
}.
\]
Таким образом, различные внутренние частоты не изменяют закон суммы или разности внешних скоростей, если каждая наблюдаемая частота предварительно нормирована на собственный внутренний масштаб. Без такой нормировки внутреннее изменение ошибочно включается в результат как часть внешнего движения.
7. Полная логарифмическая координата
Мультипликативное разложение (27) становится аддитивным после логарифмирования. Введём полный наблюдаемый сдвиг
\[
\tag{35}
Q_{2/1}
=
\ln
\frac{\omega_2}{\omega_1}.
\]
Тогда
\[
\tag{36}
Q_{2/1}
=
\ln I_{2/1}
+
\ln D_2
-
\ln D_1.
\]
Как было показано в первой части, логарифм внешнего доплеровского масштаба равен быстроте:
\[
\tag{37}
q_k
=
\ln D_k
=
\operatorname{artanh}\beta_k.
\]
Поэтому полный сдвиг имеет вид
\[
\tag{38}
\boxed{
Q_{2/1}
=
\ln I_{2/1}
+
\operatorname{artanh}\beta_2
-
\operatorname{artanh}\beta_1
}.
\]
Именно в этой координате символическое равенство (2) становится строгой математической формулой:
\[
\tag{39}
\boxed{
\text{полный сдвиг}
=
\text{внутренний сдвиг}
+
\text{внешний сдвиг}
}.
\]
Внешняя относительная быстрота выделяется вычитанием внутреннего вклада:
\[
\tag{40}
\boxed{
q_{2/1}
=
Q_{2/1}
-
\ln I_{2/1}
}.
\]
После этого \(\beta_{2/1}=\tanh q_{2/1}\), и формула разности скоростей снова принимает вид (32).
8. Эффективная скорость при неизвестном внутреннем состоянии
Предположим, что всё наблюдаемое отношение частот ошибочно принято за внешний доплеровский масштаб:
\[
\tag{41}
R_{\mathrm{full}}
=
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
I_{2/1}D_{2/1}.
\]
Тогда из измерения будет получена не истинная относительная скорость, а эффективная величина
\[
\tag{42}
\boxed{
\beta_{\mathrm{eff}}
=
\frac{
R_{\mathrm{full}}^2-1
}{
R_{\mathrm{full}}^2+1
}
}.
\]
Подставляя разложение (41), находим
\[
\tag{43}
\boxed{
\beta_{\mathrm{eff}}
=
\frac{
I_{2/1}^{,2}D_{2/1}^{,2}-1
}{
I_{2/1}^{,2}D_{2/1}^{,2}+1
}
}.
\]
Даже при отсутствии внешнего относительного движения, когда \(D_{2/1}=1\), различие внутренних состояний создаст ненулевую эффективную скорость:
\[
\tag{44}
D_{2/1}=1
\quad\Longrightarrow\quad
\beta_{\mathrm{eff}}
=
\frac{
I_{2/1}^{,2}-1
}{
I_{2/1}^{,2}+1
}.
\]
Следовательно, по одному отношению частот нельзя однозначно найти скорость, если собственная внутренняя частота источника неизвестна или изменяется. Для определения движения необходим либо известный внутренний эталон, либо независимое измерение \(I_{2/1}\).
9. Относительная фаза, биения и усреднение
Полное относительное внутреннее состояние определяется разностью показателей
\[
\tag{45}
\boxed{
\Delta a_{2/1}(t)
=
a_2(t)-a_1(t)
}.
\]
Для линейных фаз (8) получаем
\[
\tag{46}
\Delta a_{2/1}(t)
=
(\varpi_2-\varpi_1)t
+
(\varphi_2-\varphi_1).
\]
Скорость изменения относительной фазы задаёт угловую частоту биений:
\[
\tag{47}
\boxed{
\omega_{\mathrm{beat}}
=
\pi
\frac{d}{dt}
\Delta a_{2/1}
=
\omega_{0,2}-\omega_{0,1}
}.
\]
Здесь необходимо различать три величины. Постоянная разность фаз управляет интерференционной картиной, разность частот создаёт биения, а отношение частот входит во внутренний множитель \(I_{2/1}\) и влияет на восстановление скорости.
Пусть два когерентных сигнала складываются в обычном скалярном наблюдении. Их перекрёстный интерференционный член содержит
\[
\tag{48}
\cos
\left(
\Delta\omega\,t
+
\Delta\varphi
\right),
\qquad
\Delta\omega
=
\omega_{0,2}-\omega_{0,1}.
\]
Если время наблюдения равно \(T_{\mathrm{obs}}\), а разность частот удовлетворяет условию
\[
\tag{49}
\boxed{
|\Delta\omega|
T_{\mathrm{obs}}
\gg
2\pi
},
\]
то за время измерения интерференционный член совершает множество колебаний и усредняется практически до нуля:
\[
\tag{50}
\left\langle
\cos
\left(
\Delta\omega\,t
+
\Delta\varphi
\right)
\right\rangle_{T_{\mathrm{obs}}}
\approx
0.
\]
Внутренние частоты элементарных частиц могут быть чрезвычайно высокими по сравнению с обратной длительностью обычного наблюдения. Однако из большой величины \(\omega_1\) и \(\omega_2\) ещё не следует, что их разность также велика: две огромные частоты могут быть очень близки. Усреднение определяется именно произведением \(|\Delta\omega|T_{\mathrm{obs}}\), а не абсолютной величиной каждой частоты.
При выполнении условия (49) быстрые внутренние колебания не проявляются как медленные биения и регистрируются как независимые спектральные компоненты. Но отношение частот при этом не исчезает:
\[
\tag{51}
\boxed{
\text{быстрый интерференционный член}
\longrightarrow
0,
\qquad
I_{2/1}
=
\frac{\Omega_{0,2}}{\Omega_{0,1}}
\ne
0
}.
\]
Следовательно, высокая частота скрывает мгновенную фазовую картину, но не устраняет систематический частотный сдвиг. После правильной внутренней нормировки она не влияет на закон суммы или разности внешних скоростей; без нормировки её отношение остаётся в измеряемом результате.
10. Алгебраический и физический относительные операторы
Прямое алгебраическое отношение двух операторов (5) равно
\[
\tag{52}
\begin{aligned}
K_{2/1}
&=
J_2J_1^{-1}
\\[1mm]
&=
\j^{a_2-a_1}
(-\j)^{b_2-b_1}.
\end{aligned}
\]
Этот оператор точно описывает разность показателей двух исходных состояний. Однако показатель \(b_2-b_1\) не является показателем физической релятивистской относительной скорости. Причина состоит в том, что \(b\) связан со скоростью через \(\arcsin\beta\), тогда как внешние скорости преобразуются по дробно-линейному закону.
Физически восстановленная относительная скорость равна
\[
\tag{53}
\beta_{2/1}
=
\frac{
\beta_2-\beta_1
}{
1-\beta_1\beta_2
}.
\]
Ей соответствует внешний показатель
\[
\tag{54}
\boxed{
b_{2/1}
=
\frac{1}{\pi}
\arcsin
\left(
\frac{
\beta_2-\beta_1
}{
1-\beta_1\beta_2
}
\right)
}.
\]
Поэтому необходимо различать два объекта:
\[
\tag{55}
\boxed{
K_{2/1}
=
\j^{a_2-a_1}
(-\j)^{b_2-b_1}
}
\quad
\text{— алгебраическое отношение,}
\]
\[
\tag{56}
\boxed{
J_{2/1}
=
\j^{\Delta a_{2/1}}
(-\j)^{b_{2/1}}
}
\quad
\text{— физический относительный оператор.}
\]
В идемпотентном базисе физический относительный оператор имеет вид
\[
\tag{57}
J_{2/1}
=
\ep e^{i\pi b_{2/1}}
+
\em e^{i\pi\Delta a_{2/1}}.
\]
Первая компонента содержит восстановленную внешнюю относительную скорость, а вторая — действительную относительную внутреннюю фазу. Такое разделение сохраняет геометрический смысл обоих процессов и не подменяет релятивистскую композицию простой разностью показателей \(b_2-b_1\).
11. Частные случаи и проверки
Полностью одинаковые состояния.
\[
\tag{58}
a_1=a_2,
\qquad
b_1=b_2
\quad\Longrightarrow\quad
J_{2/1}=1.
\]
Разные постоянные фазы при одинаковых частотах и скоростях.
\[
\tag{59}
\dot a_1=\dot a_2,
\qquad
\beta_1=\beta_2
\quad\Longrightarrow\quad
J_{2/1}
=
\j^{\varphi_2-\varphi_1}.
\]
В этом случае остаётся только постоянная относительная фаза, но нет ни внешней относительной скорости, ни внутренних биений.
Разные внутренние частоты без внешнего относительного движения.
\[
\tag{60}
\beta_1=\beta_2,
\qquad
\dot a_1\ne\dot a_2
\quad\Longrightarrow\quad
D_{2/1}=1,
\qquad
I_{2/1}\ne1.
\]
Наблюдается внутренний частотный сдвиг или биение, хотя внешняя относительная скорость равна нулю.
Одинаковые внутренние состояния при разных скоростях.
\[
\tag{61}
I_{2/1}=1
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
D_{2/1}.
\]
Это случай первой части статьи.
Одновременно различные внутренние и внешние состояния.
\[
\tag{62}
I_{2/1}\ne1,
\qquad
D_{2/1}\ne1
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
I_{2/1}D_{2/1}.
\]
Только после разделения этих множителей можно независимо восстановить внутреннее изменение и внешнюю относительную скорость.
12. Связь внутренней частоты с энергией и массой
В концепции волнового электричества внутренняя частота является не произвольным параметром, а энергетической характеристикой состояния:
\[
\tag{63}
E_k
=
\hbar\omega_{0,k}.
\]
Если энергия покоя связана с массой соотношением
\[
\tag{64}
E_k
=
m_kc^2,
\]
то собственная внутренняя частота равна
\[
\tag{65}
\boxed{
\omega_{0,k}
=
\frac{m_kc^2}{\hbar}
}.
\]
Для двух состояний получаем
\[
\tag{66}
\frac{
\omega_{0,2}
}{
\omega_{0,1}
}
=
\frac{m_2}{m_1}.
\]
С учётом внутренних поперечных проекций множитель (25) принимает вид
\[
\tag{67}
\boxed{
I_{2/1}
=
\frac{m_2}{m_1}
\frac{
\mathcal D_{a,2}
}{
\mathcal D_{a,1}
}
}.
\]
Следовательно, внутренний множитель может отражать реальное различие энергий или масс сравниваемых состояний. Он не должен автоматически приписываться внешнему движению. Для одной и той же частицы в одном и том же внутреннем состоянии отношение масс и внутренних проекций равно единице, и формулы переходят в результаты первой части.
13. Стандартная схема опыта Айвса—Стилуэлла
Опыт Айвса—Стилуэлла [1] позволяет отделить продольный доплеровский сдвиг первого порядка от изменения частоты второго порядка. Излучение одного и того же быстрого пучка наблюдается по направлению его движения и против движения. В стандартном случае обе линии принадлежат одному переходу с одной собственной частотой \(\nu_0\).
Для приближающегося и удаляющегося источника наблюдаемые частоты равны
\[
\tag{68}
\nu_+
=
\nu_0\gamma(1+\beta),
\qquad
\nu_-
=
\nu_0\gamma(1-\beta),
\]
где
\[
\tag{69}
\gamma
=
\frac{1}{
\sqrt{1-\beta^2}
}.
\]
Полуразность линий выделяет продольный эффект первого порядка:
\[
\tag{70}
\frac{
\nu_+-\nu_-
}{2}
=
\gamma\nu_0\beta.
\]
Их среднее значение устраняет линейные слагаемые:
\[
\tag{71}
\boxed{
\overline{\nu}
=
\frac{
\nu_++\nu_-
}{2}
=
\gamma\nu_0
}.
\]
При малых скоростях
\[
\tag{72}
\gamma
\approx
1+\frac{\beta^2}{2},
\]
и относительное смещение центра пары линий равно
\[
\tag{73}
\boxed{
\frac{
\overline{\nu}-\nu_0
}{
\nu_0
}
\approx
\frac{\beta^2}{2}
}.
\]
Постоянное различие внутренних фаз при этом не влияет на положение спектральных линий, если
\[
\tag{74}
\dot a_+
=
\dot a_-
\quad\Longrightarrow\quad
\nu_{0,+}
=
\nu_{0,-}
=
\nu_0.
\]
Именно равенство собственных частот встречного и попутного наблюдений позволяет интерпретировать оставшееся смещение как стандартный эффект второго порядка.
14. Возможная внутренняя асимметрия
Теперь предположим, что собственная наблюдаемая частота внутреннего процесса зависит от направления:
\[
\tag{75}
\nu_{0,+}
\ne
\nu_{0,-}.
\]
Тогда две линии имеют вид
\[
\tag{76}
\nu_+
=
\nu_{0,+}\gamma(1+\beta),
\qquad
\nu_-
=
\nu_{0,-}\gamma(1-\beta).
\]
Введём среднюю собственную частоту
\[
\tag{77}
\overline{\nu}_0
=
\frac{
\nu_{0,+}+\nu_{0,-}
}{2}
\]
и безразмерную внутреннюю асимметрию
\[
\tag{78}
\delta_a
=
\frac{
\nu_{0,+}-\nu_{0,-}
}{
\nu_{0,+}+\nu_{0,-}
}.
\]
Отсюда
\[
\tag{79}
\nu_{0,+}
=
\overline{\nu}_0(1+\delta_a),
\qquad
\nu_{0,-}
=
\overline{\nu}_0(1-\delta_a).
\]
Подставляя формулу (79) в (76) и складывая две линии, получаем
\[
\tag{80}
\boxed{
\overline{\nu}
=
\frac{
\nu_++\nu_-
}{2}
=
\gamma\overline{\nu}_0
\left(
1+\beta\delta_a
\right)
}.
\]
При \(|\beta|\ll1\) и малой \(|\delta_a|\) относительное смещение равно
\[
\tag{81}
\boxed{
\frac{
\overline{\nu}
-
\overline{\nu}_0
}{
\overline{\nu}_0
}
\approx
\frac{\beta^2}{2}
+
\beta\delta_a
}.
\]
В формуле (81) видны два различных вклада:
\[
\tag{82}
\underbrace{
\frac{\beta^2}{2}
}_{
\text{стандартный эффект второго порядка}
}
+
\underbrace{
\beta\delta_a
}_{
\text{внутренняя направленная асимметрия}
}.
\]
Чтобы дополнительный вклад имел тот же порядок величины, что и стандартный эффект, необходимо приблизительно
\[
\tag{83}
\beta\delta_a
\sim
\frac{\beta^2}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{
\delta_a
\sim
\frac{\beta}{2}
}.
\]
Однако неравенство \(a_1\ne a_2\) само по себе не приводит к формуле (75). Направленная зависимость \(\dot a_+\ne\dot a_-\) должна быть отдельно выведена из геометрии модели или введена как проверяемая гипотеза.
15. Как экспериментально разделить два эффекта
Стандартный релятивистский вклад является чётной функцией скорости:
\[
\tag{84}
\beta
\longrightarrow
-\beta
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\beta^2}{2}
\longrightarrow
\frac{\beta^2}{2}.
\]
Дополнительный член \(\beta\delta_a\) при неизменном знаке \(\delta_a\) является нечётным:
\[
\tag{85}
\beta
\longrightarrow
-\beta
\quad\Longrightarrow\quad
\beta\delta_a
\longrightarrow
-\beta\delta_a.
\]
Поэтому измерения при противоположных направлениях пучка позволяют образовать чётную и нечётную комбинации наблюдаемого сдвига. Если обозначить измеренные относительные смещения через \(S(\beta)\) и \(S(-\beta)\), то
\[
\tag{86}
S_{\mathrm{even}}
=
\frac{
S(\beta)+S(-\beta)
}{2}
\approx
\frac{\beta^2}{2},
\]
\[
\tag{87}
S_{\mathrm{odd}}
=
\frac{
S(\beta)-S(-\beta)
}{2}
\approx
\beta\delta_a.
\]
Такое разложение превращает предположение о направленной внутренней асимметрии в проверяемое следствие. Отсутствие нечётной составляющей устанавливает верхнюю границу для \(|\delta_a|\), а её обнаружение потребовало бы исключить обычные систематические причины: неравенство геометрии наблюдения, электрические и магнитные поля, столкновительные сдвиги и различия спектральных линий.
Важно также учитывать возможную зависимость самой асимметрии от направления. Если \(\delta_a(-\beta)=-\delta_a(\beta)\), произведение \(\beta\delta_a\) станет чётным и не отделится простой сменой знака скорости. Поэтому экспериментальная проверка должна опираться не только на симметрию, но и на конкретно выведенный закон \(\delta_a(\beta)\).
16. Что получено во второй части
В первой части одинаковое внутреннее состояние служило общим частотным эталоном. Во второй части показано, что при \(a_1\ne a_2\) необходимо отдельно учитывать относительную фазу, отношение внутренних частот и внешнюю доплеровскую проекцию.
Полная последовательность разделения имеет вид
\[
\tag{88}
\boxed{
\begin{aligned}
J_1,J_2
&\longrightarrow
\omega_1,\omega_2
\\
&\longrightarrow
I_{2/1}
=
\frac{\Omega_{0,2}}{\Omega_{0,1}}
\\
&\longrightarrow
D_{2/1}
=
\frac{
\omega_2/\omega_1
}{
I_{2/1}
}
\\
&\longrightarrow
\beta_{2/1}
=
\frac{
D_{2/1}^{,2}-1
}{
D_{2/1}^{,2}+1
}
\\
&\longrightarrow
b_{2/1}
=
\frac{1}{\pi}
\arcsin\beta_{2/1}
\\
&\longrightarrow
J_{2/1}
=
\j^{a_2-a_1}
(-\j)^{b_{2/1}}.
\end{aligned}
}
\]
Центральный результат статьи можно записать двумя взаимно дополняющими способами:
\[
\tag{89}
\boxed{
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
I_{2/1}D_{2/1}
},
\qquad
\boxed{
\ln
\frac{\omega_2}{\omega_1}
=
\ln I_{2/1}
+
q_{2/1}
}.
\]
Заключение
Наблюдаемая частота сама по себе ещё не является скоростью. Если собственные внутренние состояния различаются, одно и то же частотное отношение одновременно содержит внутренний и внешний множители. Только после удаления внутреннего отношения \(I_{2/1}\) оставшийся доплеровский масштаб однозначно преобразуется во внешнюю относительную скорость.
При этом различие внутренних показателей не всегда означает спектральное различие. Постоянное \(a_2-a_1\) задаёт только относительную фазу. Наблюдаемое внутреннее смещение возникает лишь при \(\dot a_1\ne\dot a_2\) или при различии внутренних поперечных проекций.
Очень высокие внутренние частоты не нарушают закон композиции скоростей. Если разность частот велика по сравнению с обратным временем наблюдения, быстро осциллирующий интерференционный член усредняется. Однако отношение внутренних частот не исчезает и должно быть учтено при извлечении скорости из спектральных данных.
\[
\tag{90}
\boxed{
\text{для определения внешнего движения}
\quad
\frac{\omega_2}{\omega_1}
\;\longrightarrow\;
\frac{
\omega_2/\omega_1
}{
I_{2/1}
}
\;\longrightarrow\;
\beta_{2/1}
}.
\]
Особый интерес представляет возможная зависимость внутренней частоты от направления наблюдения. В схеме Айвса—Стилуэлла она дала бы дополнительный вклад к стандартному эффекту второго порядка. Такое предположение не следует автоматически из неравенства \(a_1\ne a_2\), но может быть сформулировано как самостоятельная проверяемая гипотеза модели.
Математическое происхождение оператора рассмотрено в статье «От формулы Эйлера к сплит-геометрии».
Связь внутренней частоты с массой подробно раскрыта в статье «Масса частицы как геометрическая проекция»,
а последовательное разделение внутреннего и внешнего движений применяется в работе «Геометрическое происхождение квадрата постоянной тонкой структуры и параметров атома Бора».
Используемые материалы
- An Experimental Study of the Rate of a Moving Atomic Clock. HERBERT E. IVES and G. R. STILWEL. [PDF]